周周测10 4.3-4.4 对数与对数函数（数学人教B版必修第二册）

**基本信息** 聚焦对数与对数函数，通过天文学普森公式情境题（第7题）及函数性质综合题（第16、19题），考查运算能力、推理意识与应用意识，适配高一学生周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|对数运算、函数单调性|基础巩固，如第1题对数式求值| |多选|3/18|函数奇偶性、对称性|能力提升，如第11题结合反函数考查奇偶性与最值| |填空|3/15|定义域、对数化简|细节考查，如第13题复合函数定义域| |解答|5/77|单调性、最值、不等式恒成立|综合应用，如第19题奇偶性证明与恒成立问题，体现数学思维|

2026-2027学年高一上学期数学周周测10 4.3-4.4 对数与对数函数 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数式的真数大于0求得原函数的定义域，再求出内层函数二次函数的增区间，则答案可求. 【详解】由，得或， 则原函数的定义域为或， 令，其对称轴方程为，该函数在上单调递增， 又函数是定义域内的增函数， ∴函数的单调递增区间是. 故选：D. 2．已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 3．已知，，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：D. 4．已知，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性可得出、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，由此可得出合适的选项. 【详解】对函数求导得，其中， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即，可得，所以，. 因为，则，可得，即，所以，. 故选：C. 5．函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 【答案】A 【分析】证得与互为反函数，由反函数的图象关于直线对称可直接得答案. 【详解】的反函数满足，化简可得， 所以，因为反函数的图象关于直线对称， 即与关于直线对称， 故选：A. 6．已知函数，若，且a，b是的图象与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】画出函数的图象，得出关系式后，利用基本不等式得结果. 【详解】根据题意画出图象如下图所示： 易知，又，可知， 所以，即，∴， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为4. 故选： 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】应用对数运算计算判断A；应用复合函数单调性判断B；反证法判断偶函数即可求参判断C；应用对数函数值域计算得出参数判断D. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：若，函数，函数，都是定义域上的增函数， 则由复合函数的单调性知，在定义域内是增函数，B选项正确； 对于C：若存在实数，使得为偶函数，则， 即， ， 而偶函数定义要求等式对定义域内所有成立，不仅仅是， 故不存在实数使得为偶函数， 所以不存在实数，使得为偶函数，C选项正确； 对于D：若的值域为，则要取遍所有正数， 所以或，解得，D选项错误； 故选：ABC. 8．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数 【答案】BC 【分析】求出的解析式后可研究函数的奇偶性、单调性和最值等性质，从而可得正确的选项. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以，则，， ， 则函数为偶函数，图象关于轴对称，所以B正确，A错误； 函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以C正确，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知函数的定义域是，则函数的定义域为______． 【答案】. 【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，故， 因为有意义， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 10．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据题意解决一元二次不等式恒成立问题，根据对数函数和二次函数的性质求得结果即可． 【详解】由题意可得在上恒成立， 时，不等式为，恒成立； 时，应满足 解得， 综上知，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数 (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1) 分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，即可求解； (2) 设，则因为函数的值域为，求的值，利用单调性和定义域解对数不等式. 【详解】（1））① 当时，在上单调递减， 所以,解之可得， ② 当时，在上单调递减， 所以，可得， 综上所述：或. （2）设，则， 因为函数的值域为，即， 所以， 即，得， 根据是单调递增函数，设 则， 所以实数t的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测10 4.3-4.4 对数与对数函数 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 4．已知，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 6．已知函数，若，且a，b是的图象与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 8．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知函数的定义域是，则函数的定义域为______． 10．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数 (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测10 4.3-4.4 对数与对数函数 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 【答案】B 【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可. 【详解】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数式的真数大于0求得原函数的定义域，再求出内层函数二次函数的增区间，则答案可求. 【详解】由，得或， 则原函数的定义域为或， 令，其对称轴方程为，该函数在上单调递增， 又函数是定义域内的增函数， ∴函数的单调递增区间是. 故选：D. 3．已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 4．已知，，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：D. 5．已知，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性可得出、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，由此可得出合适的选项. 【详解】对函数求导得，其中， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即，可得，所以，. 因为，则，可得，即，所以，. 故选：C. 6．函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 【答案】A 【分析】证得与互为反函数，由反函数的图象关于直线对称可直接得答案. 【详解】的反函数满足，化简可得， 所以，因为反函数的图象关于直线对称， 即与关于直线对称， 故选：A. 7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，代入，结合对数的运算性质求出的值，即为所求. 【详解】两颗星的星等与亮度满足， 令，，，， 因此，太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为. 故选：B. 8．已知函数，若，且a，b是的图象与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】画出函数的图象，得出关系式后，利用基本不等式得结果. 【详解】根据题意画出图象如下图所示： 易知，又，可知， 所以，即，∴， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为4. 故选： 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【分析】利用反函数性质判断A，利用函数的单调性求解参数范围发现矛盾判断B，结合代入法判断对称性求解C，D即可. 【详解】对于A，由反函数性质得指数函数与对数函数互为反函数， 则其图象关于直线对称，故A正确； 对于B，对于，由对数函数性质得， 对于，当时，函数变为，当时，函数变为， 由图象可得在上单调递增，在上单调递减， 得到，解得，产生矛盾，故B错误， 对于C，令，， 由换底公式得， 设点在上，则在上， 可得与关于轴对称，故C正确， 对于D，如图，作出的图象，    由反函数性质得函数与函数的图象关于直线对称， 而，设点在上，则在上， 得到函数与函数的图象关于轴对称，故D正确． 故选：ACD 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】应用对数运算计算判断A；应用复合函数单调性判断B；反证法判断偶函数即可求参判断C；应用对数函数值域计算得出参数判断D. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：若，函数，函数，都是定义域上的增函数， 则由复合函数的单调性知，在定义域内是增函数，B选项正确； 对于C：若存在实数，使得为偶函数，则， 即， ， 而偶函数定义要求等式对定义域内所有成立，不仅仅是， 故不存在实数使得为偶函数， 所以不存在实数，使得为偶函数，C选项正确； 对于D：若的值域为，则要取遍所有正数， 所以或，解得，D选项错误； 故选：ABC. 11．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数 【答案】BC 【分析】求出的解析式后可研究函数的奇偶性、单调性和最值等性质，从而可得正确的选项. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以，则，， ， 则函数为偶函数，图象关于轴对称，所以B正确，A错误； 函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以C正确，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．___________. 【答案】 【分析】利用对数的运算性质、对数恒等式与换底公式化简求值. 【详解】 故答案为：. 13．已知函数的定义域是，则函数的定义域为______． 【答案】. 【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，故， 因为有意义， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据题意解决一元二次不等式恒成立问题，根据对数函数和二次函数的性质求得结果即可． 【详解】由题意可得在上恒成立， 时，不等式为，恒成立； 时，应满足 解得， 综上知，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，利用对数的运算法则和性质，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得： ； （2）解：由对数的运算法则，可得 16．已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若的最小值为0，求a的值. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2) 【分析】（1）先根据求出的值，再由复合函数单调性可得单调区间； （2）的最小值为0，转化为的最小值为，结合二次函数图象与性质即可求解的值. 【详解】（1）因为，所以，因此，则. 这时 由得，即函数f（x）的定义域为. 令，由，， 则在上单调递增，在上单调递减. 又在上单调递增， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）若的最小值为0，则有最小值，且最小值为1， 因此有，解得 故a的值为. 17．已知函数 (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1) 分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，即可求解； (2) 设，则因为函数的值域为，求的值，利用单调性和定义域解对数不等式. 【详解】（1））① 当时，在上单调递减， 所以,解之可得， ② 当时，在上单调递减， 所以，可得， 综上所述：或. （2）设，则， 因为函数的值域为，即， 所以， 即，得， 根据是单调递增函数，设 则， 所以实数t的取值范围是. 18．已知函数 (1)求与的值； (2)若，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1); (2) (3) 【分析】(1)根据分段函数求函数值即可；(2)分情况讨论解不等式即可；(3)解指数不等式即可求解. 【详解】（1）,. （2）若，解得， 若，，即解得， 所以的取值范围为. （3）当时，, 即解得，所以的取值范围为. 19．已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. (2). 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）略 （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测10 4.3-4.4 对数与对数函数 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知，，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 5．已知，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，且a，b是的图象与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 11．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．___________. 13．已知函数的定义域是，则函数的定义域为______． 14．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．计算下列各式的值： (1)； (2)． 16．已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若的最小值为0，求a的值. 17．已知函数 (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 18．已知函数 (1)求与的值； (2)若，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 19．已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $