4.3 指数函数与对数函数的关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 知识点一　反函数的概念 1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为(　　) A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0) C．y＝ln x(x>0) D．y＝ln (2x)(x>0) 答案：C 解析：∵y＝e2x>0，2x＝ln y，x＝ln y，∴y＝e2x的反函数为y＝ln x，x>0. 2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是(　　) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1) 答案：D 解析：∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1. 3．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋，则(　　) A．a＝－6，b＝ B．a＝1，b＝ C．a＝6，b＝－ D．a＝，b＝－ 答案：B 解析：∵函数y＝3x－2a，∴x＝，互换x，y，得函数y＝3x－2a的反函数是y＝x＋，x∈R.∵函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋，∴解得故选B. 知识点二　反函数的图象与性质 4．如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图象是(　　) 答案：C 解析：由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝log3x＋1，∴图象为C. 5．已知x>0，f(x)＝log3x2的值域是[－1，1]，则它的反函数f－1(x)的值域是(　　) A．[－1，1] B．(0，＋∞) C．∪ D． 答案：D 解析：∵f(x)＝log3x2的值域是[－1，1]，∴－1≤log3x2≤1，即≤x2≤3，而x>0，∴x∈.∵反函数的值域为原函数的定义域，∴反函数f－1(x)的值域是. 6．已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1，3)，其反函数y＝f－1(x)的图象过点(2，0)，则f(x)的表达式为________． 答案：f(x)＝2x＋1 解析：∵y＝f－1(x)的图象过点(2，0)，∴y＝f(x)的图象过点(0，2)，∴2＝a0－k，∴k＝－1，∴f(x)＝ax＋1.又y＝f(x)的图象过点(1，3)，∴3＝a1＋1，∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1. 知识点三　指数函数与对数函数的综合应用 7．设a，b，c均为正数，且2a＝loga，＝logb，＝log2c，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 答案：A 解析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝，y＝log2x，y＝logx的图象，如图所示，则a，b，c分别为两个图象交点的横坐标，根据图象可知a<b<c. 8．已知函数f(x)＝log2(1－2x)． (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)求证：函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称． 解：(1)要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义，则1－2x>0， 即2x<1，故x<0，此时0<1－2x<1， 所以f(x)＝log2(1－2x)<0， 故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)． (2)证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－2y)， 故原函数的反函数为y＝log2(1－2x)，与原函数相同， 所以函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称． 一、单项选择题 1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是(　　) A．y＝1＋log2x(x>0) B．y＝log2(x－1)(x>1) C．y＝－1＋log2x(x>0) D．y＝log2(x＋1)(x>－1) 答案：C 解析：由y＝2x＋1⇒x＋1＝log2y⇒x＝－1＋log2y，又原函数的值域为{y|y>0}，故其反函数是y＝－1＋log2x(x>0)． 2．若函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为(　　) A．2 B． C．2或 D．3 答案：B 解析：解法一：函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数即y＝logax，故y＝logax的图象过点(，a)，则a＝loga＝. 解法二：由题意得，函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过点(a，)，即aa＝＝a，故a＝. 3．如果函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数是增函数，那么函数y＝－loga(x＋1)的图象大致是(　　) 答案：C 解析：∵函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数是增函数，∴y＝ax为增函数，∴a>1，∴y＝f(x)＝－loga(x＋1)为减函数，可排除B，D；又f(0)＝0，∴排除A.故选C. 4．已知函数y＝f(x)的定义域是[－1，1]，其图象如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤的解集是(　　) A． B． C．[－2，0)∪ D．[－1，0]∪ 答案：C 解析：由题意，可得－1≤f－1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域．当－1≤x＜0时，由题图可知f(x)∈[－2，0)，当0≤x≤时，由题图可知f(x)∈.故不等式－1≤f－1(x)≤的解集为[－2，0)∪. 5．如果函数f(x)＝|lg | 2x－1||在定义域的某个子区间(k－1，k＋1)上不存在反函数，则k的取值范围为(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 答案：D 解析：画出函数f(x)＝|lg | 2x－1||的图象，如图所示，定义域为.子区间满足定义域，则k－1≥或k＋1≤，解得k≥或k≤－.当k≥时，不存在反函数，则k－1<1，得k<2，即≤k<2；当k≤－时，不存在反函数，则k＋1>0，得k>－1，即－1<k≤－.综上所述，k∈∪.故选D. 二、多项选择题 6．已知函数y＝－logax(a>0，a≠1)和y＝(a>0，a≠1)，以下结论正确的是(　　) A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换 C．它们的单调性相反 D．它们的图象关于直线y＝x对称 答案：ABD 解析：函数y＝－logax＝logx，则其与函数y＝互为反函数，故A正确；函数y＝logx的定义域为(0，＋∞)，值域为R，函数y＝的定义域为R，值域为(0，＋∞)，故B正确；当a>1时，两函数均在定义域上单调递减，当0<a<1时，两函数均在定义域上单调递增，故C错误；两函数互为反函数，则函数图象关于直线y＝x对称，故D正确．故选ABD. 7．已知函数f(x)＝的图象与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则下列关于函数h(x)的说法正确的是(　　) A．函数h(x)的图象关于原点对称 B．函数h(x)为偶函数 C．函数h(x)的最小值为0 D．函数h(x)在(0，1)上为减函数 答案：BC 解析：由题意，知g(x)＝logx，则h(x)＝g(1－|x|)＝log(1－|x|)(－1<x<1)，所以h(－x)＝log(1－|－x|)＝log(1－|x|)＝h(x)，又h(x)的定义域关于原点对称，所以h(x)是偶函数，故A错误，B正确；因为h(x)＝log(1－|x|)≥log1＝0，所以C正确；因为u＝1－|x|在(0，1)上为减函数，y＝logu为减函数，所以h(x)在(0，1)上为增函数，故D错误．故选BC. 三、填空题 8．已知函数f(x)与函数g(x)＝logx的图象关于直线y＝x对称，则函数f(x2＋2x)的单调增区间是________． 答案：(－∞，－1] 解析：由题意得f(x)＝，∴f(x2＋2x)＝，∵f(x)在R上是减函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为t＝x2＋2x的单调减区间，即(－∞，－1]． 9．若不等式4x－logax＜0，当x∈时恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：要使不等式4x＜logax在x∈时恒成立，即函数y＝logax的图象在内恒在函数y＝4x图象的上方，而y＝4x的图象过点.由图可知，loga≥2，显然这里0＜a＜1，∴函数y＝logax单调递减．又loga≥2＝logaa2，∴a2≥，又0<a<1，∴≤a<1.∴实数a的取值范围为. 10．已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(x)的图象过定点(1，2023)，则y＝f－1(x＋1)的图象过定点________． 答案：(0，2024) 解析：∵g(x)的图象过定点(1，2023)，∴f(x＋1)的图象过定点(2023，1)．又f(x)的图象可以看作由f(x＋1)的图象向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)的图象过定点(2024，1)．又f(x)与f－1(x)互为反函数，∴f－1(x)的图象过定点(1，2024)．再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，f－1(x＋1)的图象过定点(0，2024)． 四、解答题 11．已知y＝f(x)是R上的增函数，点A(－1，1)，B(1，3)在它的图象上，y＝f－1(x)是它的反函数，解不等式|f－1(log2x)|<1. 解：∵y＝f(x)是R上的增函数， ∴y＝f－1(x)也是增函数． ∵f(－1)＝1，f(1)＝3， ∴f－1(1)＝－1，f－1(3)＝1. 由|f－1(log2x)|<1，得－1<f－1(log2x)<1， ∴f－1(1)<f－1(log2x)<f－1(3)， ∴1<log2x<3， ∴2<x<8， 即所求不等式的解集为{x|2<x<8}． 12．已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0. (1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的反函数； (3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)＞log2. 解：(1)由f(0)＝0，得a＝1， 所以f(x)＝. 因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数． (2)因为f(x)＝y＝＝1－， 所以2x＝(－1＜y＜1)， 所以f－1(x)＝log2(－1＜x＜1)． (3)因为f－1(x)＞log2， 即log2＞log2， 所以所以 当0＜k＜2时，原不等式的解集为{x|1－k＜x＜1}； 当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}． 13．已知正实数a，b，c满足a＋log2a＝b＋2b＝2c＋log2c＝4，则以下结论正确的是(　　) A．b>a B．a>2c C．c>b D．b>2c 答案：C 解析：设f(x)＝x＋2x，g(x)＝2x＋log2x，则f(x)在R上单调递增，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．由a＋log2a＝b＋2b＝log2a＋2log2a，得f(b)＝f(log2a)，则b＝log2a，即a＝2b.∵f(1)＝3，f(2)＝6，f(b)＝4，∴f(1)<f(b)<f(2)，∴1<b<2，又a＝2b，∴2<a<4，∴a>b，故A错误；∵g(1)＝2，g(2)＝5，g(c)＝4，∴g(1)<g(c)<g(2)，∴1<c<2，则log2c<1<c，∴b＋2b＝2c＋log2c<2c＋c，即f(b)<f(c)，∴b<c，a＝2b<2c，故C正确，B错误；由1<b<2，1<c<2，得2<2c<4，∴2c>b，故D错误．故选C. 14．已知函数f(x)＝3x，且y＝f(x)的反函数为y＝g(x)． (1)求f(log32)＋g(18)－g(2)的值； (2)若函数h(x)＝[g(x)]2－2g(x)－k＋2(k∈R)，问：h(x)是否存在零点？若存在，请求出零点及相应实数k的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意可知g(x)＝log3x， 所以f(log32)＋g(18)－g(2)＝3log32＋log318－log32＝2＋log3＝4. (2)因为h(x)＝(log3x)2－2log3x－k＋2， 令t＝log3x，则t∈R，设y＝t2－2t－k＋2， 则Δ＝4－4(2－k)＝4k－4. ①当Δ＝4k－4<0， 即k<1时，函数h(x)无零点； ②当Δ＝4k－4＝0， 即k＝1时， h(x)＝(log3x)2－2log3x＋1， 由h(x)＝0，得log3x＝1， 解得x＝3， 此时函数h(x)的零点为x＝3； ③当Δ＝4k－4>0，即k>1时，t2－2t－k＋2＝0的根为t1＝1－，t2＝1＋， 由h(x)＝0，得log3x＝1－或log3x＝1＋， 解得x＝3或x＝3. 此时函数h(x)的零点为x＝3和x＝3. 综上所述，当k<1时，函数h(x)无零点； 当k＝1时，函数h(x)的零点为x＝3； 当k>1时，函数h(x)的零点为x＝3和x＝3. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$