周周测08 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（数学人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 2026-2027学年高二上数学周测聚焦直线与圆位置关系，通过单选、多选、解答题等多样题型，覆盖切线长、对称圆、公共弦等核心知识点，分层考查运算能力、几何直观与推理意识，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|切线长、对称圆方程、最短弦长|基础巩固，考查数学眼光下的空间形式抽象| |多选|3/18|直线过定点、切线长最值、弦长范围|能力提升，体现数学思维的推理与批判性| |填空|3/15|公切线条数、参数取值范围、切线交点距离|创新应用，培养数学语言的简洁表达| |解答|5/77|公共弦方程、轨迹方程、切线证明|综合探究，发展数学建模与逻辑论证能力|

2026-2027学年高二上学期数学周周测08 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 答案：C 【分析】根据圆的方程可得已知圆的圆心坐标和半径；求得圆心关于直线的对称点坐标，即为所求圆的圆心，又半径不变，从而可得圆的方程. 【详解】圆化为标准方程为， 可知圆心坐标为，半径为， 设圆心关于直线的对称点为， 则有，解得，即所求圆圆心为， 所求圆的方程为：. 故选： 2．直线：被圆：截得的最短弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 答案：C 【分析】首先确定直线过的定点，然后明确直线何种情况下被圆截得的弦长最炫，由此计算即可. 【详解】直线：即为 ， 当时， ，故直线线过定点 ，设该点为P, 又，故点在圆内， 当圆心和P点连线垂直于直线l时，l被圆解得的弦长最短， 而即 ，半径 ，圆心为 , 故 , 故弦长为 ， 故答案为：2. 3．圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 答案：C 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 4．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 答案：C 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系． 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：，即，圆心，半径， 两圆的圆心距，显然，即， 所以圆与圆相交. 故选：C 5．已知圆，直线l：，圆上有且只有2个点到直线l的距离为1，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 答案：B 【分析】由题意可得圆心到直线的距离，利用距离公式列出不等式求解即可. 【详解】圆的圆心是，半径， 圆上恰有两个点到直线的距离等于； 所以圆心到直线的距离， 则，解得：或. 即实数的取值范围是. 故选：B 6．已知圆和圆外切（其中），则的最大值为（   ） A．4 B． C．8 D． 答案：B 【分析】将圆的一般方程变形为标准方程，可得圆心坐标和半径，由两圆外切，可得的关系，由均值不等式即可求解. 【详解】圆的标准方程为，则，半径， 圆的标准方程为，则，半径， 因为两圆外切，所以，即，所以， ， 则， 所以的最大值为，当且仅当时等号成立. 故选：B. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 答案：ABD 【详解】对于A，可整理为： ， 令，则，故直线l过定点，故A正确. 对于B，当时，，圆C：的圆心为 ， 到直线的距离为：， 所以直线l被圆C所截的弦长为，B正确； 对于C，因为，直线l恒过定点在圆内， 所以直线l与圆C必然相交， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率 ，且 ， 则，所以直线l的方程为，化简可得，故C错误； 对于D，由C知直线l与圆C必然相交，直线过圆心时，相交弦最长， 所以 ，解得：，故D正确. 8．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．的最小值是1 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是3 D．直线被圆截得的弦长取值范围为 答案：BCD 【分析】由圆心到直线的距离可判断，当的值最小时，则，可判断，当时，切线长最小，可判断，可知直线过定点，可判断． 【详解】圆，，圆心，半径，圆心到直线的距离为：， 直线与圆相离，故A错误； 当的值最小时，则， 的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故B正确； 从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故C正确； 直线过定点，所以直线被圆截得的弦长最长时，所截弦长为过点和圆心的圆的直径，即弦长的最大值为8， 最短的弦长为垂直与该直径的弦长，和圆心的距离为，最短弦长为， 故直线被圆截得的弦长取值范围为，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 答案：6 【分析】由两圆有3条公切线，确定两圆外切，再由圆心距等于半径之和，列出等式求解即可. 【详解】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 10． 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是____________． 答案： 【分析】作出图形，考查直线过点以及直线与曲线相切时实数的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得，整理可得， 即，其中， 故曲线表示圆的下半圆， 作出直线与曲线的图形如下图所示： 当直线过点时，， 当直线与曲线相切时，， 圆的圆心坐标为，半径为. 由题意,可得，且，解得， 结合图形可知，当时，直线与曲线有公共点， 因此b的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知直线和圆. (1)求证：对任意实数，直线和圆总有两个不同的交点； (2)设直线和圆交于，两点. ①若，求的倾斜角； ②求弦的中点的轨迹方程. 答案：(1)证明见解析 (2)①或；②，其中 【分析】（1）解法1，联立消元，根据，即可得证； 解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明； 解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明； （2）①求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可； ②联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数，即可得解； 【详解】（1）解法1：将代入， 得，因为， 故直线和圆C总有两个不同的交点. 解法2：圆心到直线的距离， 于是直线和圆C总有两个不同的交点. 解法3：由已知，直线，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以点P在圆C内， 于是直线和圆C总有两个不同的交点. （2）①圆心到直线的距离， 由弦长公式，即，解得， 即直线的斜率为，于是的倾斜角为或. ②将代入， 得，设，，显然， 所以，则， 则，， 所以， 消去得， 即，其中. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测08 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．过点作圆的切线，则切线的长为（    ） A． B． C． D． 2．圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．直线：被圆：截得的最短弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 6．已知圆，直线l：，圆上有且只有2个点到直线l的距离为1，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆和圆外切（其中），则的最大值为（   ） A．4 B． C．8 D． 8．已知圆及直线，给出下列结论：①圆被轴截得的弦长为；②直线恒过定点：③时，直线被圆截得弦长取最大值；④直线被圆截得弦长最小值为.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 10．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（    ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．当最小时，直线方程为 D．直线恒过定点 11．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．的最小值是1 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是3 D．直线被圆截得的弦长取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 13．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是____________． 14．已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 16．已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为 (1)求该圆的方程； (2)求过点A的该圆的切线方程 17．已知点和以点Q为圆心的圆． （1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程； （2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？ （3）求直线AB的方程． 18．已知直线被圆截得的弦长为． (1)求圆C的方程； (2)若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系． 19．已知直线和圆. (1)求证：对任意实数，直线和圆总有两个不同的交点； (2)设直线和圆交于，两点. ①若，求的倾斜角； ②求弦的中点的轨迹方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测08 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．直线：被圆：截得的最短弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 5．已知圆，直线l：，圆上有且只有2个点到直线l的距离为1，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆和圆外切（其中），则的最大值为（   ） A．4 B． C．8 D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 8．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．的最小值是1 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是3 D．直线被圆截得的弦长取值范围为 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 10．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知直线和圆. (1)求证：对任意实数，直线和圆总有两个不同的交点； (2)设直线和圆交于，两点. ①若，求的倾斜角； ②求弦的中点的轨迹方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测08 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．过点作圆的切线，则切线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，求出到圆心的距离即可求出切线长. 【详解】由可得，所以圆心，半径， 则, 所以切线的长为. 故选：C. 2．圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程可得已知圆的圆心坐标和半径；求得圆心关于直线的对称点坐标，即为所求圆的圆心，又半径不变，从而可得圆的方程. 【详解】圆化为标准方程为， 可知圆心坐标为，半径为， 设圆心关于直线的对称点为， 则有，解得，即所求圆圆心为， 所求圆的方程为：. 故选： 3．直线：被圆：截得的最短弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】首先确定直线过的定点，然后明确直线何种情况下被圆截得的弦长最炫，由此计算即可. 【详解】直线：即为 ， 当时， ，故直线线过定点 ，设该点为P, 又，故点在圆内， 当圆心和P点连线垂直于直线l时，l被圆解得的弦长最短， 而即 ，半径 ，圆心为 , 故 , 故弦长为 ， 故答案为：2. 4．圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 5．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系． 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：，即，圆心，半径， 两圆的圆心距，显然，即， 所以圆与圆相交. 故选：C 6．已知圆，直线l：，圆上有且只有2个点到直线l的距离为1，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得圆心到直线的距离，利用距离公式列出不等式求解即可. 【详解】圆的圆心是，半径， 圆上恰有两个点到直线的距离等于； 所以圆心到直线的距离， 则，解得：或. 即实数的取值范围是. 故选：B 7．已知圆和圆外切（其中），则的最大值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程变形为标准方程，可得圆心坐标和半径，由两圆外切，可得的关系，由均值不等式即可求解. 【详解】圆的标准方程为，则，半径， 圆的标准方程为，则，半径， 因为两圆外切，所以，即，所以， ， 则， 所以的最大值为，当且仅当时等号成立. 故选：B. 8．已知圆及直线，给出下列结论：①圆被轴截得的弦长为；②直线恒过定点：③时，直线被圆截得弦长取最大值；④直线被圆截得弦长最小值为.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】结合题设可得圆心，半径，进而求出圆与轴的交点即可判断①；求出直线的定点可判断②；结合圆的结合性质求解判断③④. 【详解】由圆，则圆心，半径， 则圆与轴的交点为， 则圆被轴截得的弦长为，故①正确； 由直线，即直线， 由，解得，即直线恒过定点，故②错误； 由，则点在圆内部， 当直线过圆心时，直线被圆截得弦长最大， 此时，即，故③正确； 当时，直线被圆截得弦长最小， 此时， 则直线被圆截得弦长最小值为，故④正确. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 【答案】ABD 【详解】对于A，可整理为： ， 令，则，故直线l过定点，故A正确. 对于B，当时，，圆C：的圆心为 ， 到直线的距离为：， 所以直线l被圆C所截的弦长为，B正确； 对于C，因为，直线l恒过定点在圆内， 所以直线l与圆C必然相交， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率 ，且 ， 则，所以直线l的方程为，化简可得，故C错误； 对于D，由C知直线l与圆C必然相交，直线过圆心时，相交弦最长， 所以 ，解得：，故D正确. 10．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（    ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．当最小时，直线方程为 D．直线恒过定点 【答案】AC 【分析】根据圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，可判断A选项，根据切线长的几何意义可判断B选项，再根据两圆公共弦方程求法可判断CD选项. 【详解】 由圆，得圆心，半径圆， A选项：点到直线的距离为，又，即， 所以圆上恰有两个点到直线的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，，所以，B选项错误； D选项：由切线的性质可知，在以为直径的圆上，设， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 圆的方程为，即， 又，在圆上，则， 得，则，解得， 所以恒过定点，D选项错误； C选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线方程为，即， 联立，解得，故，则， 所以，即，C选项正确； 故选：AC. 11．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．的最小值是1 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是3 D．直线被圆截得的弦长取值范围为 【答案】BCD 【分析】由圆心到直线的距离可判断，当的值最小时，则，可判断，当时，切线长最小，可判断，可知直线过定点，可判断． 【详解】圆，，圆心，半径，圆心到直线的距离为：， 直线与圆相离，故A错误； 当的值最小时，则， 的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故B正确； 从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故C正确； 直线过定点，所以直线被圆截得的弦长最长时，所截弦长为过点和圆心的圆的直径，即弦长的最大值为8， 最短的弦长为垂直与该直径的弦长，和圆心的距离为，最短弦长为， 故直线被圆截得的弦长取值范围为，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【分析】由两圆有3条公切线，确定两圆外切，再由圆心距等于半径之和，列出等式求解即可. 【详解】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 13．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】作出图形，考查直线过点以及直线与曲线相切时实数的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得，整理可得， 即，其中， 故曲线表示圆的下半圆， 作出直线与曲线的图形如下图所示： 当直线过点时，， 当直线与曲线相切时，， 圆的圆心坐标为，半径为. 由题意,可得，且，解得， 结合图形可知，当时，直线与曲线有公共点， 因此b的取值范围为. 故答案为：. 14．已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】设出两条切线后，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，根据两点在两条切线上且纵坐标已知，写出两点的横坐标，作差后结合韦达定理求出最值. 【详解】 易知直线的斜率均不可能为0，故可设直线与直线的方程分别为：,又与圆相切， 所以即.易知为该方程的两个解, 所以 , 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程； （2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程. 【详解】（1）解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为． （2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 16．已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为 (1)求该圆的方程； (2)求过点A的该圆的切线方程 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用弦长公式求得半径即可； （2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】（1）解：圆C的圆心到直线的距离为： ， 则弦长为，解得， 所以圆的方程为：； （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为：， 则圆心到直线的距离为，复合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：， 综上：该圆的切线方程为：或 17．已知点和以点Q为圆心的圆． （1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程； （2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？ （3）求直线AB的方程． 【答案】(1)作图见解析，； (2)证明见解析；(3) . 【分析】(1)求出中点的坐标即为圆心的坐标，线段长度的一半即为圆的半径，从而求出圆的方程； (2)根据直径对的圆周角为来证明垂直关系； (3)两圆相减消去二次项即为公共弦所在的直线方程. 【详解】(1)易知，所以PQ的中点， 又因为 ，圆的半径为， 所以圆的方程为.作图如下： (2)因为PQ为直径，在圆Q上，所以, 所以直线PA，PB是圆Q的切线. (3) 圆的方程可化为， 圆Q的方程可化为， 两圆方程相减，得， 所以直线AB的方程为. 18．已知直线被圆截得的弦长为． (1)求圆C的方程； (2)若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系． 【答案】(1)； (2)相交. 【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式进行求解即可； （2）根据直线方程的特征求出直线l所过的定点，结合该点到圆心的距离与圆半径大小关系进行求解即可. 【详解】（1）由题可得圆的圆心C的坐标为，半径为． ∵圆心C到直线的距离为， 直线被圆C截得的弦长为， ∴，解得或1． ∵，∴， 故圆C的方程为； （2）∵l的方程可化为， ∴ 解得即l恒过定点． ∵圆心为， ∴点A在圆C内，从而直线l与圆C恒相交． 19．已知直线和圆. (1)求证：对任意实数，直线和圆总有两个不同的交点； (2)设直线和圆交于，两点. ①若，求的倾斜角； ②求弦的中点的轨迹方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)①或；②，其中 【分析】（1）解法1，联立消元，根据，即可得证； 解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明； 解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明； （2）①求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可； ②联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数，即可得解； 【详解】（1）解法1：将代入， 得，因为， 故直线和圆C总有两个不同的交点. 解法2：圆心到直线的距离， 于是直线和圆C总有两个不同的交点. 解法3：由已知，直线，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以点P在圆C内， 于是直线和圆C总有两个不同的交点. （2）①圆心到直线的距离， 由弦长公式，即，解得， 即直线的斜率为，于是的倾斜角为或. ②将代入， 得，设，，显然， 所以，则， 则，， 所以， 消去得， 即，其中. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $