专题06 直线方程九类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建直线方程专项突破体系，聚焦四大核心概念，提炼九类题型通法，培养逻辑推理与直观想象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|倾斜角与斜率关系、截距式使用条件、图像验证临界值|从核心概念（倾斜角/斜率）到方程形式，构建“概念-性质-应用”逻辑链| |题型归纳|9题型（每题型1典例+3变式）|倾斜角范围用正切函数单调性，斜率范围结合图像临界，距离公式转化应用|按“基础计算-几何应用-最值问题”递进，题型与方法一一对应| |压轴挑战|16题（选择/填空/解答）|欧拉线综合、面积最值优化、动态距离转化|融合跨知识点综合应用，提升数学建模与创新思维|

专题06 直线方程 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求倾斜角的范围 题型六、求直线方程与坐标轴围成的三角形面积最值 题型二、直线与线段的相交关系求斜率的范围 题型七、直线定点与距离最值问题 题型三、斜率公式的应用 题型八、求中线，高线，角平分线有关的直线方程 题型四、直线的平行垂直在几何中的应用 题型九、两点距离，点到直线的距离，平行线间距离应用 题型五、由直线截距关系求直线方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线方程题型围绕倾斜角与斜率、直线方程形式、位置关系、距离公式四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是倾斜角取值范围，斜率在处不存在；二是使用截距式方程必须满足横纵截距均不为0，所有范围类题型一定要画出图像辅助验证临界情况. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求倾斜角的范围 典例1 （24-25高二上·天津红桥·阶段检测）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 题型模版 1.特征：已知斜率范围求倾斜角范围或由直线位置约束求解倾斜角范围 2.方法：①牢记 ②正切函数在与分段单调递增 ③斜率不存在对应倾斜角 ④画正切函数图像辅助取值注意间断点 变式1-1（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-2（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 变式1-3（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型二、直线与线段的相交关系求斜率的范围 典例2 （25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 题型模版 1.特征：过定点的直线与给定线段相交求直线斜率取值区间 2.方法：①求出定点与线段两端点连线的斜率 ②结合图像判断倾斜角变化顺序 ③重点区分直线垂直x轴（斜率不存在）临界情况 ④相交分为两段区间注意取舍临界斜率 变式2-1（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 变式2-2（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-3（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三、斜率公式的应用 典例3 （2025高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 题型模版 1.特征：已知两点坐标求斜率利用斜率相等证明三点共线斜率几何意义转化斜率为割线倾斜程度 2.方法：①斜率公式斜率不存在 ②三点共线等价于任意两点斜率相等 ③代数式结构形如可看作点与连线斜率 变式3-1（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是_______.    变式3-2（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 变式3-3已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型四、直线的平行垂直在几何中的应用 典例4 已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：依托平行、垂直条件求解直线参数结合三角形、四边形图形求值 2.方法：① 平行；垂直 ②一般式 平行： 垂直： ③留意一条斜率存在一条斜率不存在的垂直情形 变式4-1（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 变式4-2在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    变式4-3数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（　 　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0 题型五、由直线截距关系求直线方程 典例5 经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 题型模版 1.特征：给出x轴截距、y轴截距等式、倍数、正负条件求直线 2.方法：①截距式使用前提 ②优先讨论截距为0（直线过原点）的情况 ③设截距建立方程求解参数最后回代写出直线方程 变式5-1过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 变式5-2（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 变式5-3（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 题型六、求直线方程与坐标轴围成的三角形面积最值 典例6 （2026高一上·广东江门·竞赛）已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 题型模版 1.特征：直线过定点与两坐标轴相交形成三角形求面积最大值或最小值 2.方法：①设直线方程求出横截距a纵截距b ②面积 ③可用均值不等式或函数法求最值 ④检验截距不能为0（不能构成三角形） 变式6-1（2026高三·全国·专题练习）一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 变式6-2（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知关于的方程表示一个直线系. (1)证明：直线过定点，并求出定点坐标； (2)若该直线系中的某条直线分别与轴的正半轴交于两点，求面积的最小值. 变式6-3（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知直线l经过点. (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距3倍，求直线l的方程； (3)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，求当的面积取得最小值时直线l的方程. 题型七、直线定点与距离最值问题 典例7 （25-26高二上·上海·期中）已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为___________． 题型模版 1.特征：含参数直线恒过定点求定点外一点到动直线距离的最大、最小值 2.方法：①整理直线方程为参数合并形式令参数系数与常数项同时为0解出定点 ②定点记为M外部定点P 点P到动直线距离最大值为|PM|最小值为0（直线经过P时） 变式7-1（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B是直线上的两点，且，，则的面积的最大值为___________，此时，__________. 变式7-2（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为__________. 变式7-3（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为__________. 题型八、求中线，高线，角平分线有关的直线方程 典例8 （25-26高二上·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 题型模版 1.特征：已知三角形顶点坐标求解中线、高线、内角平分线直线 2.方法：中线：先求对边中点两点式写方程 高线：高线与对应边垂直利用垂直求出斜率+过顶点 角平分线：可利用到角公式或距离相等（角平分线上点到两边距离相等） 变式8-1（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 变式8-2（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)求的面积. 变式8-3（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 题型九、两点距离，点到直线的距离，平行线间距离应用 典例9 已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______. 题型模版 1.特征：直接或间接利用三类距离公式求值、求参数、判断位置 2.方法：两点距离： 点到直线距离： 两平行直线距离： 注意平行线方程x、y系数必须化为完全一致 变式9-1（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 变式9-2（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为________． 变式9-3（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，直线的方程为，则边上的高所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知的顶点，高所在直线方程为，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程________. 6．（25-26高一下·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 7．（22-23高二上·江苏南通·阶段检测）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 8．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 9．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 10．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 11．（24-25高二上·湖北·阶段检测）已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 三、解答题 12．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知点， (1)求的面积； (2)是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 13．（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 14．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 15．（2026高三下·全国·专题练习）直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求面积的最小值和周长的最小值． 16．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线方程 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求倾斜角的范围 题型六、求直线方程与坐标轴围成的三角形面积最值 题型二、直线与线段的相交关系求斜率的范围 题型七、直线定点与距离最值问题 题型三、斜率公式的应用 题型八、求中线，高线，角平分线有关的直线方程 题型四、直线的平行垂直在几何中的应用 题型九、两点距离，点到直线的距离，平行线间距离应用 题型五、由直线截距关系求直线方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线方程题型围绕倾斜角与斜率、直线方程形式、位置关系、距离公式四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是倾斜角取值范围，斜率在处不存在；二是使用截距式方程必须满足横纵截距均不为0，所有范围类题型一定要画出图像辅助验证临界情况. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求倾斜角的范围 典例1 （24-25高二上·天津红桥·阶段检测）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】当时，，所以； 当时，，即； 所以的取值范围是. 题型模版 1.特征：已知斜率范围求倾斜角范围或由直线位置约束求解倾斜角范围 2.方法：①牢记 ②正切函数在与分段单调递增 ③斜率不存在对应倾斜角 ④画正切函数图像辅助取值注意间断点 变式1-1（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 变式1-2（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 变式1-3（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 类型二、直线与线段的相交关系求斜率的范围 典例2 （25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 题型模版 1.特征：过定点的直线与给定线段相交求直线斜率取值区间 2.方法：①求出定点与线段两端点连线的斜率 ②结合图像判断倾斜角变化顺序 ③重点区分直线垂直x轴（斜率不存在）临界情况 ④相交分为两段区间注意取舍临界斜率 变式2-1（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【详解】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 变式2-2（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 变式2-3（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】由题， 如图，由图可知直线斜率. 故选：B 题型三、斜率公式的应用 典例3 （2025高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是 图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 题型模版 1.特征：已知两点坐标求斜率利用斜率相等证明三点共线斜率几何意义转化斜率为割线倾斜程度 2.方法：①斜率公式斜率不存在 ②三点共线等价于任意两点斜率相等 ③代数式结构形如可看作点与连线斜率 变式3-1（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是_______.    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    变式3-2（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 变式3-3已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 题型四、直线的平行垂直在几何中的应用 典例4 已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 题型模版 1.特征：依托平行、垂直条件求解直线参数结合三角形、四边形图形求值 2.方法：① 平行；垂直 ②一般式 平行： 垂直： ③留意一条斜率存在一条斜率不存在的垂直情形 变式4-1（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明如下： 由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 变式4-2在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 变式4-3数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（　 　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0 【答案】B 【分析】先由A（4，0），B（0，2）求出线段AB的垂直平分线，再由AC＝BC判断出其即为△ABC的欧拉线. 【详解】因为A（4，0），B（0，2）， 所以线段AB的中点为（2，1）， 所以线段AB的垂直平分线为：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0， ∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上， 因此△ABC的欧拉线方程为2x﹣y﹣3＝0. 故选：B. 题型五、由直线截距关系求直线方程 典例5 经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 题型模版 1.特征：给出x轴截距、y轴截距等式、倍数、正负条件求直线 2.方法：①截距式使用前提 ②优先讨论截距为0（直线过原点）的情况 ③设截距建立方程求解参数最后回代写出直线方程 变式5-1过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 变式5-2（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 变式5-3（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 题型六、求直线方程与坐标轴围成的三角形面积最值 典例6 （2026高一上·广东江门·竞赛）已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入得坐标，根据斜率公式及斜率与倾斜角的关系，即可求解； （2）设直线，代入坐标可得，利用均值不等式可得，进而求得面积的最小值； （3）直线的倾斜角为，设，设直线的方程为，将代入直线方程中，可用表示，，进而利用三角换元求解. 【详解】（1）由题，，当时，为， 则斜率， 因为直线经过x轴的正半轴，y轴的正半轴， 所以设直线的倾斜角为，则， 所以. （2）由题，， 设直线，将点代入方程可得， 所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以的最小值为. （3）由（1），直线的倾斜角为，设， 则直线的方程为， 将代入可得，， 所以斜边长 ，则设 令 ，则， 所以， 由 ，所以， 当且仅当 ，即 时取等， 此时 . 题型模版 1.特征：直线过定点与两坐标轴相交形成三角形求面积最大值或最小值 2.方法：①设直线方程求出横截距a纵截距b ②面积 ③可用均值不等式或函数法求最值 ④检验截距不能为0（不能构成三角形） 变式6-1（2026高三·全国·专题练习）一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，利用可得所求直线斜率，从而可用点斜式得到直线方程. （2）设直线方程为，将点代入得，利用基本不等式得，从而得到面积的最小值及此时的直线方程. 【详解】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，， 从而所求直线方程为，即． （2）设直线方程为，，， 代入，得，得， 当且仅当即时等号成立，从而， 此时直线方程为，即． 变式6-2（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知关于的方程表示一个直线系. (1)证明：直线过定点，并求出定点坐标； (2)若该直线系中的某条直线分别与轴的正半轴交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为 (2)面积的最小值为12 【分析】（1）将直线的方程改写成的形式，解方程组，求出定点坐标后即可得证； （2）结合条件（1）中的定点，可将直线设为，求出两点的坐标并得到的关系式，表示出的面积，利用基本不等式即可求出面积的最小值. 【详解】（1）依题意，直线的方程可化成，由，得， 所以直线过定点，且定点坐标为； （2）依题意，直线分别与轴的正半轴交于两点，所以直线在两坐标轴上的截距均存在且为正， 故可设直线的方程为，则，； 由（1）知，直线过定点，所以； 因为，所以， 所以面积，当且仅当，即时取等号； 故面积的最小值为12. 变式6-3（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知直线l经过点. (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距3倍，求直线l的方程； (3)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，求当的面积取得最小值时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）利用直线l与直线垂直，求得直线l的斜率，由点斜式可求直线l的方程； （2）讨论两种情况：直线过原点时求得斜率，由斜截式可得直线方程；直线不过原点时，设出截距式方程，将代入方程，结合直线l在轴上的截距是轴上的截距倍，列方程可得结果; （3）设直线方程为，可得，利用基本不等式得，，当，从而可得结果. 【详解】（1）由直线的斜率为，根据直线l与直线垂直， 可知直线l的斜率为， 则由点斜式可知直线l为， 整理得l的直线方程为：; （2）当直线过原点时，可设直线方程为， 将点坐标代入可得，直线方程为 直线不过原点时，设直线方程为， 由题意得，解得直线方程为， 故所求直线方程为或. （3）由题意可设直线l方程为，由直线l经过点， 可得，从而得， 所以三角形面积，当时取等号， 所以三角形最小面积为12， 此时，直线方程为. 题型七、直线定点与距离最值问题 典例7 （25-26高二上·上海·期中）已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为___________． 【答案】 【分析】求出定点的坐标，分析两直线垂直，然后利用勾股定理和基本不等式求的最大值. 【详解】易知点， ，令，则，所以， 当时，，，两直线垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. ①当P点与A点或B点重合时，； ②当P点异于点A、B时， 为直角三角形，则， 所以（当且仅当时取等号）， 此时点P在线段AB的垂直平分线上， ，点， 所以，解得或. 所以当或时，取得最大值. 故答案为： 题型模版 1.特征：含参数直线恒过定点求定点外一点到动直线距离的最大、最小值 2.方法：①整理直线方程为参数合并形式令参数系数与常数项同时为0解出定点 ②定点记为M外部定点P 点P到动直线距离最大值为|PM|最小值为0（直线经过P时） 变式7-1（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B是直线上的两点，且，，则的面积的最大值为___________，此时，__________. 【答案】 20 【分析】求出直线所过的定点，直线l与直线PC垂直时点P到直线l的距离最大，的面积取得最大值，求出即可求得. 【详解】由，得. 令，得，则直线l过定点， 从而点P到直线l的距离最大值为， 故的面积最大值为， 当的面积取得最大值时，直线l与直线PC垂直，即， 所以，解得. 故答案为：20， 变式7-2（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】因为，所以，根据两角差的正切公式，结合各点坐标，可得的表达式，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】直线可表示为，可知其过定点. 设，设，注意到， 则， 而， 故， 于是，当且仅当时，等号成立， 故答案为：. 变式7-3（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为__________. 【答案】1 【分析】根据题意直线方程可得，，分析可知，即可得结果. 【详解】因为动直线过定点，动直线过定点， 且，可知，即， 所以. 故答案为：1. 题型八、求中线，高线，角平分线有关的直线方程 典例8 （25-26高二上·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 题型模版 1.特征：已知三角形顶点坐标求解中线、高线、内角平分线直线 2.方法：中线：先求对边中点两点式写方程 高线：高线与对应边垂直利用垂直求出斜率+过顶点 角平分线：可利用到角公式或距离相等（角平分线上点到两边距离相等） 变式8-1（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据直线垂直和经过的点坐标求出直线的方程. （2）联立两直线方程即可求得交点坐标. （3）根据点到直线的距离公式和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由题可设直线的方程为， 把点代入可得，解得. 直线的方程为. （2）设，则，，联立解得，.. 设，则，，联立解得，. . （3）是的中点，，到的距离， 又点到的距离，.    变式8-2（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得中线，与边所在高线均过A点，据此可得点A坐标，从而可得答案； （2）设，由中点在上，边与其高线垂直，可得C坐标，然后由（其中表示到BC距离）可得答案. 【详解】（1）由题可得中线，与边上的高线均过A点， 则A点坐标满足：，解得. 又，则，从而AB方程为： （2）设，由题可得中点在上， 则.边与其高线垂直，斜率为1， 则.将两方程化简联立：，则. 从而，其中， 表示到BC距离，又BC 方程斜率为，BC方程为：， 则，. 变式8-3（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求出直线的方程，再结合条件，即可求解； （2）设点，根据条件，求出，即可求解. 【详解】（1）由于，且的直线方程为， 所以，故，又的顶点， 所以所在的直线方程为，即， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得，故点. （2）设点，则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上，所以， 故，解得，即点， 所以，可得， 化简得，故直线的方程为. 题型九、两点距离，点到直线的距离，平行线间距离应用 典例9 已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意可得，，的等量关系，由两点间距离公式可知为原点到距离的平方.结合题意，点在直线上，即可由点到直线距离公式求得的最小值. 【详解】，，为某一直角三角形的三边长，为斜边 则 点在直线：上， 表示原点到的距离平方， 当取最小值时，即为原点到直线：的距离平方最小 则由点到直线距离公式可得 所以的最小值为9 故答案为：. 【点睛】本题考查了两点间距离公式的意义及应用，点到直线距离公式的应用，属于中档题. 题型模版 1.特征：直接或间接利用三类距离公式求值、求参数、判断位置 2.方法：两点距离： 点到直线距离： 两平行直线距离： 注意平行线方程x、y系数必须化为完全一致 变式9-1（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【分析】化简得到，然后根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为， 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线， 以及与直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，，. 变式9-2（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为________． 【答案】 【分析】采用数形结合的方法求函数的最大值. 【详解】因为， 所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值． 如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以，此时． 故答案为： 变式9-3（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式将方程有两组实数解问题转化为判断定点到动直线的距离等于定长的直线条数，进而求解即可. 【详解】不妨令，此时有， 所以， 即点与点到直线的距离相等，且有且仅有两条这样的直线． 此时或重合或者过中点． 又，当过中点时，，当时，与为同一条直线； 当时，， 当时，有4条直线满足条件（与平行2条，过中点2条），不合题意； 当时，有3条直线满足条件（与平行2条，过中点1条），不合题意； 所以要有且仅有两条直线，必然有， 由于不过原点，则过原点且与平行时只有一条，直线，则， 所以的取值范围为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求得重心与外心坐标，进而利用直线的两点式方程可求的欧拉线方程. 【详解】因为，所以的重心，即， 又因为，，所以， 所以，所以的外心为的中点，即， 所以直线的方程为，即， 又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：B. 2．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，直线的方程为，则边上的高所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的直线方程，与的直线方程联立求点的坐标，根据题意求得点的坐标，再求出直线的斜率，再利用点斜式方程求解即可． 【详解】联立与的方程， 得，解得：； 设，则， 即， 将代入得， ， 联立①②，解得：，即， 直线的斜率为， 高的斜率为：， 所以直线的方程为：， ， 故选：D． 3．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】结合表示点到原点的距离，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】表示点到原点的距离, 点到原点距离的最小值为原点到直线的距离. 故选：C 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知直线过定点， 如图所示，可知， 所以当直线与线段有公共点时，的取值范围为. 二、填空题 5．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知的顶点，高所在直线方程为，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程________. 【答案】. 【分析】先求出直线的斜率，从而求出直线的方程，由此能求出点坐标；由，，根据夹角公式求出，最后利用点斜式求出直线的方程即可． 【详解】的顶点，高所在直线方程为， 角B的平分线所在直线方程为， 直线的斜率， 直线的方程为:，即， 联立，得， B点坐标为; ，，角B的平分线所在直线方程为， ， ，解得或（舍）， 直线的方程为:，即. 故答案为:. 6．（25-26高一下·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【答案】或 【分析】首先求出直线过定点，利用斜率计算公式求出，，再数形结合即可得解． 【详解】直线过定点，如图，    由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 7．（22-23高二上·江苏南通·阶段检测）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据图象，求出直线的斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围. 【详解】如图，当过点时，，当过点时，， 故直线和连接点的线段总有公共点，则， 又，所以 故答案为：    8．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【分析】分斜率存在与否两种情况进行分析，并根据斜率和倾斜角的关系确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，， 当时，； 当时，，或. 当时，直线的斜率， 所以，得； 当时，直线的斜率， 所以，得. 所以. 故答案为：. 9．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 10．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 11．（24-25高二上·湖北·阶段检测）已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 【答案】 【分析】分类讨论，当直线与线段交于点时，经计算得不合题意，当直线与线段交于点时，根据可求得点的坐标，即可得到直线的斜率. 【详解】    由题意得，直线过定点，. 如图1，当直线与线段交于点时，， ，不合题意. 如图2，当直线与线段交于点时， 由，得直线方程为，即. 中，设边上的高为，则，即，解得，故. ∵点在直线上，∴，即， ∴. 故答案为：. 三、解答题 12．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知点， (1)求的面积； (2)是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）先求直线方程，在根据点到直线的距离公式求高，最后利用面积公式计算即可； （2）分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可 【详解】（1），则， 即，， 点到直线的距离， 则； （2）设点． ，， 与不垂直， 若，则， ，解得， 点． 若，则， ， 解得，点， 综上，存在点，使四边形为直角梯形，或. 13．（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)4，． 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论； （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 14．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 15．（2026高三下·全国·专题练习）直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求面积的最小值和周长的最小值． 【答案】8， 【详解】已知， 令，解得，则， 令，解得，则，则： , 由于，令，则， 根据基本不等式：，当且仅当时等号成立， 即，. ， 其中，， 则， 当且仅当时等号成立，即，. 16．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）方程转化成，由且，得到，再由，得到； （2）由中点坐标公式得到的中点坐标即可求解； （3）法一：由动点在上运动和动点在上运动，由斜率的几何意义即可求解；法二：确定线段的方程为且，设，联立得到，即可求解. 【详解】（1） 由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点         设，则， 故则， 解得，故 （2）由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 （3）法一：设与轴的交点为， ①当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以.   ②当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以，             综上可得.        法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③     设，其中不为0， 得代入③化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $