精品解析：山西朔州市怀仁市第一中学校2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试卷

怀仁一中2026～2027学年上学期高三年级摸底考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（ ） 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A. B. C. D. 5. 已知向量，，与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（ ） A. 70 B. 65 C. 55 D. 50 7. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 直线l与双曲线交于P，Q两点，线段PQ的中点为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. F的坐标为 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合 D. 若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为 11. 已知和分别为函数的极小值点和极大值点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若展开式共有11项，则展开式中的常数项为______． 13. 已知数列 满足，且，则________ 14. 如图，点均在球的表面上，，，平面平面，则球的体积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行. （1）求； （2）若，，求△ABC的面积. 16. “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表： 男性 女性 总计 爱好 30 不爱好 10 总计 100 （1）请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关； （2）若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 17. 设 （1）求函数的单调递增、递减区间； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点． ①求面积的最大值以及此时直线的方程； ②若直线分别与轴交于两点，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁一中2026～2027学年上学期高三年级摸底考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，复数，则， 因此在复平面内对应的点位于第一象限. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式求出集合，根据交集的定义计算即可. 【详解】由题，， 故，故D正确. 3. 已知，则“”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若过点有两条直线与圆相切，可知点在圆外，即可得的取值范围，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断. 【详解】若过点有两条直线与圆相切， 可知点在圆外，则，解得或， 显然是的真子集， 所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（ ） 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心点，将其代入回归直线方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】由表格中的数据，可得，， 又样本中心点必在线性回归直线上，将代入回归直线方程， 可得，解得. 故选：D. 5. 已知向量，，与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，即， ，， 故，可看出，解得， 故. 6. 记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（ ） A. 70 B. 65 C. 55 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量与性质求解公差，从而可得通项公式，再由等差数列的前项和公式求解. 【详解】由等差数列，设，为公差， 由于，则，化简得， 由于数列单调递增，因此，解出，因此，则. 故选：B. 7. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式结合奇函数定义证明为奇函数，再说明当时，，由此确定结论. 【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以是奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 当时，， 选项ACD都不能同时满足以上要求，选项B满足以上要求， 故函数的图象大致是选项B中的图象， 故选：B. 8. 直线l与双曲线交于P，Q两点，线段PQ的中点为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，，由图可知 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为1，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. F的坐标为 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线方程，结合抛物线的定义可判断A；结合抛物线的焦半径公式可判断BCD. 【详解】因为抛物线方程为，故， 选项A：易得F的坐标为，故A错误； 选项B：由得，故，故B正确； 选项C：由，得，从而， 故，故C错误； 选项D：由于，又，故，故D正确. 故选：BD 10. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合 D. 若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以对于都有， 即恒成立， 所以，因为，所以，A正确； 对于B，，所以的图象关于点对称，B正确； 对于C，由A选项可知， 将其图象向右平移个单位长度后所得函数为， 与的图象不重合，C错误； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 因为关于轴对称，所以， 解得，因为， 所以当时，的最小值为. 11. 已知和分别为函数的极小值点和极大值点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】当时，利用导数可以得到的单调性，从而得到，且和，即可判断AB；当时，联立可以得到，再代回即可判断C；由选项C得到，代入即可判断D. 【详解】对于A，当时，函数，则， 令，则，令，解得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以的最小值在处取得，最小值为， 又因为时，；时，， 因此先正再负后正，即先正再负后正，所以先单调递增，再单调递减，最后单调递增， 因此有极小值点和极大值点，满足和，并且， 当时，恒成立，且， ，所以， 又因为，，所以， 所以，故A正确， 对于B，由选项A可知，，由于， 且二次函数在上单调递增，且最大值趋近于，但，所以，故B错误； 对于C，已知函数，， 当时，即，又因为，即， 所以 ，解得， 代入，可得， 令，则 ，当时，，所以，即，故C正确； 对于D，由选项C可知，，， 方程 ，根为和（）， 所以， 当时，在上递增，最大值趋近于， 但，所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若展开式共有11项，则展开式中的常数项为______． 【答案】45 【解析】 【详解】因为的展开式共有11项，所以， 则展开式的通项公式为， 令，则，所以展开式中的常数项为：． 13. 已知数列 满足，且，则________ 【答案】1 【解析】 【分析】由与递推关系逐项求出，得到周期规律，再利用周期求解即可. 【详解】因为，且，则， ， ， 所以是以6为周期的数列. 因为，所以. 故答案为：. 14. 如图，点均在球的表面上，，，平面平面，则球的体积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理和性质、勾股定理的逆定理、平行线的性质建立空间直角坐标系，结合球的性质，利用空间两点间距离公式、球的体积公式进行求解即可. 【详解】取的中点为， 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为，， 所以，因此， 因为平面，平面， 所以，因为平面， 所以平面，而平面， 所以，， . 在平面内，过作，交于点， 所以， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系， 于是有， 设，显然有， 所以有， 所以球的半径为， 所以球的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行. （1）求； （2）若，，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案. （2）利用余弦定理计算得到，再计算面积即可. 【小问1详解】 （1）向量与平行， 所以， 由正弦定理可知：， ，， 所以，， 可得； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理可得：， 可得， 解得或（舍）， 的面积为． 16. “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表： 男性 女性 总计 爱好 30 不爱好 10 总计 100 （1）请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关； （2）若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 【答案】（1） 列联表如下： 男性 女性 总计 爱好 30 40 70 不爱好 20 10 30 总计 50 50 100 无关 （2）的分布列为 0 1 2 的数学期望为【解析】 【分析】（1）首先补充列联表，再计算，根据临界值参考数据，即可判断； （2）根据超几何概率公式求解概率，再写出分布列，并求解期望. 【小问1详解】 根据男，女员工各50人，可以补充列联表， 男性 女性 总计 爱好 30 40 70 不爱好 20 10 30 总计 50 50 100 零假设为：爱好运动与性别相互独立，即爱好运动与性别无关， 由已知数据可求得 ，根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即爱好运动与性别无关，由此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 的取值可能为. ， 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望为 . 17. 设 （1）求函数的单调递增、递减区间； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求导，分别由和求解. （2）根据时，恒成立，则由求解即可. 【详解】（1）， 令，解得或， 当或时，，为增函数， 当时， ，为减函数 综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为. （2）当时，恒成立， 只需使在上最大值小于m即可 由（1）知最大值为、端点值中的较大者. ∴在上的最大值为, ∴， 所以实数m的取值范围是 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法： 若在区间D上有最值，则；； 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可. 【小问1详解】 由题意，则， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点． ①求面积的最大值以及此时直线的方程； ②若直线分别与轴交于两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）①面积的最大值为，或； ②，直线的方程为：， 令，所以，则； 直线的方程为：，令，所以， 则 所以 ， 所以为定值，且定值为． 【解析】 【分析】（1）运用点到直线的距离公式和三角形面积公式，结合椭圆顶点坐标建立关于、的方程组，通过解方程组并利用确定椭圆的标准方程； （2）①设直线方程为，联立椭圆方程后利用韦达定理和弦长公式表示三角形面积，通过换元转化为基本不等式求最值，并回代求直线方程； ②利用点斜式写出直线和的方程并求与轴的交点坐标，将与的乘积表达式用韦达定理化简，证明该表达式为与参数无关的常数. 【小问1详解】 ，所以， 因为坐标原点到直线的距离为，所以①， 又因为的面积为，所以，即②， 由①②及得，，所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 （i）由（1）知焦点的坐标为， 因为直线的斜率不为0，则可设直线的方程为， 联立方程组，消去，得， ， 设，则， ， 令，则，当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为． 令，解得，所以此时直线的方程为或； （ii）①面积的最大值为，此时直线的方程为或； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $