精品解析：山西吕梁市2027届高三上学期第一次学情调研数学试卷

吕梁市2026年秋高三年级第一次学情调研 数学试卷 考试时间：120分钟　　分值：150分 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 设是两个随机事件，且，，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，则（　　） A. 最小值为1 B. 最小值为2 C. D. 最小值为4 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 的个位数是9 D. 11. 函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 零点个数大于1 三、填空题 12. 若幂函数在上单调递增，则实数m的值为________． 13. 命题“，为假命题”，则实数的取值范围为______. 14. 已知定义在上的偶函数与奇函数满足．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 四、解答题 15. 设关于的不等式解集为A． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的取值范围． 16. 化简并计算下列各式： （1）； （2）； （3）. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． （1）求实数，的值； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的取值范围． 18. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 19. 共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立． （1）求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率； （2）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吕梁市2026年秋高三年级第一次学情调研 数学试卷 考试时间：120分钟　　分值：150分 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数单调性解不等式可化简集合A，后由并集定义可得答案. 【详解】，则，又， 则. 故选：C . 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，即，故选项A正确. 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性，判断函数在区间上是否有最小值. 【详解】对于函数，其定义域为，关于原点对称，令， 则是偶函数. 当时，， 在区间上单调递减，所以在区间上无最小值，故选项A错误； 对于函数，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以是偶函数， 当时，，令， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 根据复合函数的单调性可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故选项B正确； 对于，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以是奇函数，不符合题意，故选项C错误； 对于，其定义域为，关于原点对称，令， 则，所以函数为偶函数. 由，得，因为在区间上， 所以，所以在区间上单调递增， 当时，，但始终大于1，所以该函数在区间上没有最小值，故选项D错误. 故选：B 4. 若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】设他经过个小时后血液中酒精含量为， 则， 当时，，即， 解得， 因为时间必须大于小时才能使酒精含量低于，结合选项为整数，故至少需要经过小时才能驾驶.故选项C正确. 6. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用是奇函数，可得，再用赋值法可求，，，然后结合是偶函数，可求出参数，即可求值. 【详解】由是奇函数可知：， 再令得：， 又因为当时，，所以， 再令得：，又因为是偶函数，所以， 即可得，又因为，所以， 再令得：，所以， 又因为当时，，所以， 即当时，，则， 故选：A. 7. 设是两个随机事件，且，，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选项A：利用对立事件概率关系，由已知的补事件概率直接推导并集概率；选项B：通过计算两事件各自概率的乘积，并与已知交事件概率比较，验证独立性条件；选项C：分别计算条件概率与另一条件下的条件概率，对比两者是否相等来判定；选项D：依据条件概率定义，通过交事件概率与另一事件概率的比值进行验证，判断其是否满足题设关系. 【详解】选项A：，选项A正确； 已知，又， 故， 由可得：， 再由，代入得：； 选项B：，等式成立，选项B正确； 选项C：； ，等式成立，选项C正确； 选项D：，选项D错误. 8. 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，换元构造函数，分析函数的奇偶性、单调性，再解不等式即得. 【详解】令，则，原函数化为， 令，显然， 即函数是奇函数，又函数都是上的增函数， 因此函数是上的增函数，不等式， 则， 于是，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9. 已知，则（　　） A. 最小值为1 B. 最小值为2 C. D. 最小值为4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 的个位数是9 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】赋值法求系数和判断A、B；由，结合展开式通项得个位数由决定，即可判断C；由并应用二项式定理求对应项系数判断D. 【详解】由题设，令，则，A错； 令，则， 所以，即，B对； 由，展开式通项为， 显然个位数由决定，即个位数是1，C错； 由， 展开式通项为，， 当时，，即， D对. 故选：BD 11. 函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 零点个数大于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别令以及，即可得出；令，代入结合已知即可判断B项；令，代入已知化简即可判断C项；令，可得.依次令，求出的值.然后令，，求出的值.然后根据零点存在定理即可判断D项. 【详解】对于A项，令，由已知可得，，解得. 令，由已知可得，， 解得.故A正确； 对于B项，令，代入已知条件可得， . 又，所以有.故B错误； 对于C项，令，代入已知条件可得， . 因为， 所以有， 所以，是奇函数.故C正确； 对于D项，令，代入已知有. . 令，由可得， . 令，，由可得， . 因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且，根据零点存在定理，可知在，使得. 根据函数为奇函数，可知. 所以，函数至少存在三个零点.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 若幂函数在上单调递增，则实数m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数概念及单调性即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以， 解得或， 又因为幂函数在上单调递增， 所以，故舍去，所以， 故答案为： 13. 命题“，为假命题”，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用导数求函数的最大值即可求得解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题. 即，成立. 令, 因为， 所以是单调递增函数， ， 所以，即. 故答案为：. 14. 已知定义在上的偶函数与奇函数满足．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，化为，设，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由定义在上的偶函数与奇函数满足， 可得，即， 联立方程组，解得， 由不等式，可得， 即，转化为， 设，则函数为单调递增函数，可得， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 设关于的不等式解集为A． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 不等式化简为，∵， 所以，∴ 【小问2详解】 由（1）可知，即， 则，解得. ∴实数的取值范围. 16. 化简并计算下列各式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2）1 （3）19 【解析】 【分析】使用指对运算法则求解. 【小问1详解】 ，， ， ， 原式 【小问2详解】 【小问3详解】 令， 则 ， 又，，， 原式. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． （1）求实数，的值； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【小问1详解】 由题意得，解得，． 【小问2详解】 由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 【小问3详解】 因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 18. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的值域可得，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以， 即，即，解得， 因为，所以. 当时，，此时的定义域为， 关于原点对称，满足题意. 综上，. 【小问2详解】 由题意得，， 由（1）知，， 易得在上单调递增，故. ， 当时，，所以， 所以， 解得，即实数的取值范围为. 19. 共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立． （1）求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率； （2）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式． 【答案】（1） （2）的分布列为 3 4 5 6 （3）， 【解析】 【分析】（1）由二项分布的概率计算公式可得结果； （2）由二项分布的概率公式和数学期望的计算公式可得结果； （3）方法1：由累计积分恰为分的概率和积分不到分的概率相加为1可得，利用构造法可求得数列的通项公式；方法2：由，利用构造法可求得与之间的关系以及数列的通项公式. 【小问1详解】 设事件为“某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分”，则 ． 【小问2详解】 依题意：随机变量的可能取值为3，4，5，6，则 ，， ，． 的分布列为 3 4 5 6 所以数学期望． 【小问3详解】 方法1：使用共享交通工具的累计积分恰为分的概率为， 积分跳过分的情况只有先积分，再积2分，概率为，其中， 因为，即， 所以， 故是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 方法2：由题意可知， 则，因为， 所以，即， 所以， 故是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $