3.4《 圆周角》同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 《圆周角》同步练习通过基础选择填空、中档综合计算、高阶证明探究的三层设计，实现从单一定理应用到多知识点融合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆周角定理及推论|单选题直接考查角度计算，填空题结合直径性质，强化概念理解| |能力提升|垂径定理、内接四边形性质|中档题引入图形折叠、中点证明，需两步推理，发展逻辑思维| |综合应用|定理综合证明、动态问题|解答题融合网格作图、多步推理及定理证明，培养创新意识与模型观念|

3.4《圆周角》同步练习 一、单选题 1.如图，⊙0是△ABC的外接圆，连接OB,OC,若∠0BC=34°，则∠BAC的度数为() 4 0 A.56° B.660 C.112° D.32° 2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙0上的两点，CB=6,AF=4,且OD∥BC,AC与OD 相交于点F,则⊙0的半径为() D A.3 B.5 C.8 D.10 3.如图，AB是O0的直径，弦CD交AB于点E,已知∠BAD=60°，∠BOC=II0°，则∠AED的度 数为() B D A.110° B.85o C.70° D.60° 4.如图，AB是⊙O的直径，C在圆周上，连接AC,将弦AC沿直径AB对折，落点记为D, 连接CO延长交圆于E、交AD于F,连DE,若DE=DF,则∠ACO的度数为() B A.28° B.32° C.360 D.40° 5.如图，点A、B、C在⊙O上，OA∥BC,连接BO并延长交⊙0于点D,连接AC、DC.若 D=40°，则4C8的大小为() B A.25° B.30° C.35 D.40° 二、填空题 6.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若∠C=70°，则∠BAD的度数是 0 D 7.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠BCD=67.5°，且AB=2AD,AB=12,则⊙0 半径的长为 B 8.如图，在⊙0中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD,连接AD,OC,若∠A=25°，则∠C的 度数是 D 9.以AB为直径的半圆0上，点C,D的位置如图所示，若∠CAB=22°，则LD=°. D 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D为BC边上一动点（不与点B、C重 合)，CE垂直AD交AB于点E,垂足为点H,连接BH并延长交AC于点F,则BH的最小值 为 D H 三、解答题 11.由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点.△ABC的顶点都在格点上， ⊙0 经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图 痕迹) B 图① 图② (1)图①中，画出⊙0的圆心0. (2)图②中，在BC边上找到一点D,使得AD平分∠BAC; 12.如图，AB是⊙0的一条弦，OD1AB于点C,交⊙0于点D,点E在O0上. B (1)若AB=DE,求证：点B是DE的中点； (2)若CD=2,AB=8,求⊙0的半径r. 13.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙0上的两点，连接AC,BD,∠BAC+2LABD=90°. B (I)求证：AD=CD; (2)若AD=2V2,BC=4,求⊙0的半径. 14.如图，AB是⊙O的直径，点C,D是圆上两点（在直径AB两侧），连接AC,BC,AD, BD ,如果∠B1D=45°，MC:BC=4:3,连接CD交圆的直径B于点M. B D (1)求证：CD平分∠ACB; (2)已知AB=15,求CM长度； 15.综合与实践： 课本在证明定理“在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角度数的两倍”时经历了如下过 程： 如图1：证明：，OA=OB（已知)， ∴.∠A=∠OBA(等边对等角)， 又.∠COB=∠A+∠OBA(), ∴.∠COB=2∠A. 如图2：要证明∠BOC=2∠A,课本采用了作辅助线帮助证明，连接AO延长交于⊙0点D: 证明：OA=OB, ∴.∠OAB=∠OBA 又：'∠BOD=∠OAB+∠OBA .∴.∠BOD=2∠BAD 0 B D 图1 图1 图3 (1)在上面大括号中填写的理由是 (填入你选择的选项字母) A.等角对等边B.同弧所对圆周角相等 C.三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和 D.等量加等量和相等 (2)请补充完成余下证明； (3)如图3，根据图1的理论和图2作辅助线的方式，证明：∠BOC=2∠A. 参考答案 一、单选题 1.A 解：0B=0C,∠0BC=34°， ∴.∠OCB=∠OBC=34° ∴.∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=112° .∠BAC ∠BOC BC 和 所对的弧是 :∠BAC=2 ∠B0C=56°」 2.B 解：AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° .OD∥BC .∠AF0=90° .OA=OBOD∥BC 为aAB ∴.OF 的中位线， OF-inc-3 AF=4 :0A=VMF+OF=5,即圆的半径为5. 3.B 解：：∠BOC=110°， .∠AOC=180°-∠BOC=70° 由圆周角定理行，∠ADC=40C=35°， ,∠BAD=60° .∠AED=180°-∠ADC-∠BAD=180°-35°-60°=85°B 4.C 解：，将弦AC沿直径AB对折，点C落点记为点D, ∴.∠BAC=∠BAD, ..OA=OC, ∴.∠BAC=∠BAD=∠C, ∴.∠CAD=2LC, DE =DF, ∴.∠E=∠DFE, .∠AFC=∠DFE, .∠AFC=∠E, .∠E=∠CAD， ∴.∠AFC=∠CAD=2∠C, .∠AFC+∠CAD+∠C=180° ∴.2∠C+2∠C+∠C=180°， .∴∠AC0=36° 5.A 解：如图，连接OC A B D .∠D=40°，BC=BC, ∴.∠B0C=2∠D=80°， .BD是⊙O的直径 ∴.∠BCD=90° ∴.∠B=90°-∠D=50° .OA∥BC ∴.∠AOB=∠B=50° ∴.∠AOC=∠AOB+∠BOC=130° .OA=OC :A=∠4c0=080P-∠40c)=25° .OA∥BC .∴.∠ACB=∠A=25° 二、填空题 6.20 解：如图所示，连接BD, B D ,AD是⊙O的直径， .∠ABD=90°， AB=AB, ∴.∠ADB=∠C=70°， ∴.∠BAD=90°-∠ADB=20°. 7.62 解：连接OA,OB,OD, .∠BCD=67.5°， ∴.∠B0D=2∠BCD=2×67.5°=135°， .AB=2AD, ..∠AOB=2∠AOD, .∠AOB+∠AOD=∠BOD, .∠A0B=90°， B 设⊙0半径为”， O+OB2=AB2,AB=12, .r2+r2=122, 解得r=62,r=62(舍去)， 因此半径为6W2. 8.40° 解：在OO中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD, 由垂径定理可得点B平分⑦，即C=D】 ,即 ∴.∠B0C=2∠A=2×25°=50° 如图所示： B E <O 在RtACE0中，∠CE0=90°，∠B0C=50°，则∠C=90°-50°=40°. 9.112 解：连接BC, ,AB为圆O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∠CAB=22°， .∠ABC=90°-∠CAB=68°， .四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴.∠ADC=180°-∠ABC=112° D 10.25-2 解：CE⊥AD, ∴.CH⊥AH “点月在以MC为直径的圆上， 当BH最短时，点F为AC的中点， CF-4C-2 :BF=VCF2+BC2=V22+42=√20=2V5 “BH的最小值为 W5-2 三、解答题 11.(1)解：如图，点0即为所求： B 理由：.∠ACB为90 AB为直径， :A0=B0=V22+P=V5 点O为圆心； (2)解：如图，点D即为所求： A D G 理由：：OG⊥BC, ..CG-BG, ∴.∠CAG=∠BAG, .AD平分∠BAC 12.(1)证明：DE=AB, .AB=DE :AB-BD=DE-BD .AD=BE OD⊥ABOD 是半径， :AD=BD .BD=BE B为DE的中点； (2)解：连接OA. D 设⊙O的半径为r,即OA=OD=r, OD⊥AB,AB=8 4C=Bc==4 ,CD=2 ∴.OC=OD-CD=r-2 在Rt△A0C中，AO2=OC2+AC2, ∴r2=(r-22+42 解得r=5 .∴.⊙0 的半径为5. 13.(1)证明：AB是⊙0的直径， ∴.∠ACB=90° ∴.∠BAC+∠ABC=90° :∠BAC+2∠ABD=90° .∴.∠ABC=2∠ABD .∠ABD=∠CBD .AD=CD (2)解：设OD与AC相交于点E, 由(1)知AD=CD, ∴.OD⊥ACAE=CE .OA=OB 设⊙0的半径为I,则OA=OD=r, ∴.DE=r-2 在Rt△ADE中，AE2=AD2-DE2, 在Rt△AOE中，AE2=OA-OE2, .AD2-DE2=OA2-OE2 (22-(r-2}2=r2-2 解得5=1+5,5=1-5（负值舍去）， ∴.⊙0 +V5 的半径为 14.(1)证明：AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上， ∴.∠ADB=∠ACB=90° 又：∠BAD=45°， ∴.∠ABD=45° .AD=BD ∴.∠ACD=∠DCB ∴.CD ∠ACB 平分 36V2 (2)7 (2)解：如下图所示，过点M作MF⊥AC于点F,ME⊥BC于点E, E 小 D 则四边形MECF是矩形， .CD ∠ACB 平分 ∴.MF=ME 四边形 ECF 是正方形， :AC:BC=4:3 设1C= ，则 BC=3k .AB=AC2+BC2 =5k 又：AB=15, .5k=15 解得k=3, .BC=9AC=12 在△ABC中，SAARC=S△MMc+SARMC, CCCMFRC.ME 2 :.x12x9-x12xMF+x9xME 1 2 2 MF-ME-36 7, 在正方形MECF中，对角线 CM=V2MF=362 7 15.(1)C (2)证明：0A=0C, ∴.∠OAC=∠OCA 又：∠COD=∠OAC+∠OCA, ∴.∠COD=2∠CAD ∴.∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAD+2∠CAD=2∠BAC (3)证明：如图，连接AO并延长交⊙0于点D, B OA=OC .∴.∠OAC=∠OCA 又∠COD=∠OAC+∠OCA, .∴.∠COD=2∠CAD ·.OA=OB .∴.∠OAB=∠OBA 又：∠BOD=∠OAB+∠OBA, .∴.∠BOD=2∠BAD ∴.∠BOC=∠COD-∠BOD=2∠CAD-2∠BAD=2∠BAC