机械能守恒定律的应用4种高频考点 专项训练 -2027届高三物理一轮复习

**基本信息** 聚焦机械能守恒定律在曲线运动、杆/绳连接系统、弹簧类问题四大高频应用场景，通过典例与变式构建从单一物体到多体系统的递进训练体系，渗透能量观念与模型建构思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |曲线运动应用|6题（含平抛/圆周运动）|结合轨道约束与临界条件分析|从单物体机械能守恒拓展到曲线运动中的动能定理综合应用| |杆连接系统应用|6题（含多体关联运动）|涉及杆端速度分解与系统能量转化|通过轻杆模型建立多体速度关联，深化系统机械能守恒条件理解| |绳连接系统应用|6题（含轻绳约束问题）|注重绳长变化与功的计算|以轻绳不可伸长特性为切入点，强化能量转化与守恒的推理过程| |弹簧类问题应用|6题（含弹性势能计算）|包含弹簧压缩/伸长的动态分析|结合胡克定律与弹性势能公式，构建弹力做功与机械能变化的定量关系|

2027届高三物理一轮复习专项训练 机械能守恒定律的应用4种高频考点专项训练 考点目录 机械能守恒定律在曲线运动中的应用 机械能守恒定律在杆连接系统中的应用 机械能守恒定律在绳连接系统中的应用 机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用 考点一 机械能守恒定律在曲线运动中的应用 例1．（2026·江西新余·三模）如图，半径为的圆盘匀速转动，光滑斜槽下口与圆盘边缘最高位置平滑接触无摩擦，滑块滑入圆盘时，速度方向与圆盘边缘相切，物块从倾斜滑槽静止滑下到达倾斜圆盘的上边缘，恰好与圆盘保持相对静止，物块能随圆盘转动到最低位置，在最低位置恰好能不脱离圆盘，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，物块与圆盘的动摩擦因数，圆盘倾角为，取，。试回答： (1)求滑块由光滑斜槽静止下滑的高度； (2)调整倾斜圆盘的角度可使得物块随圆盘转动而不脱离，求滑块下滑的最大高度。 【答案】(1)0.375m (2)0.4m 【详解】（1）设物块在光滑斜槽下滑的高度为，根据机械能守恒 物块恰好与圆盘保持相对静止， 物块在圆盘最低位置恰好能不脱离圆盘，则 摩擦力 可解得 （2）滑块在圆盘上随圆盘转动，当圆盘水平时，物块最不易滑出。当时滑出， 得 得 解得时滑出圆盘，所以不滑出圆盘的下滑最大高度为0.4m。 例2．（2026·天津河北·三模）如图，半径的光滑圆弧轨道与足够长的粗糙轨道在处平滑连接，为圆弧轨道的圆心，点为圆弧轨道的最低点，半径、与的夹角分别为和；在高的光滑水平平台上，一质量的小物块压缩弹簧后被锁扣锁住，储存了一定量的弹性势能，若打开锁扣，小物块将以一定的水平速度向右飞下平台，做平抛运动恰从点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度取，，，求： (1)飞下平台时的速度和弹簧储存的弹性势能； (2)物块经过点时的速度的大小； (3)物块在轨道上运动的路程。 【答案】(1)， (2) (3)2.7m 【详解】（1）小物块离开平台后做平抛运动，竖直方向有 解得物块到达点时的竖直分速度为 物块从点沿切线方向进入圆弧轨道，则物块做平抛运动的初速度为 由能量守恒可得弹簧储存的弹性势能为 （2）物块从水平面运动到B点的过程，由机械能守恒可得 所以经过B点时 （3）物块从B运动到C过程由机械能守恒定律得 解得 物块沿轨道向上作匀减速运动的最大位移为，根据动能定理可得 解得 由于，可知物块速度减为零后，反向加速下滑，设物块可以回到点，根据动能定理可得 可得 可知物块返回时可以从点离开轨道，所以物块在轨道上运动的路程为 例3．（2026·江西赣州·模拟预测）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，下端恰好与粗糙水平面MN平滑对接，与水平面等高且绷紧的水平传送带在电动机带动下始终以恒定速度顺时针运行。质量为的小物块由圆弧轨道顶端P点无初速度释放，滑到M点后向左运动，经N点滑上传送带，经一段时间后小物块又返回至传送带的右端。已知M、N两点间的距离，小物块与水平面和传送带间的动摩擦因数均为，g取，传送带足够长，不计空气阻力，小物块可视为质点，不考虑小物块由水平面滑上传送带的能量损失。求： (1)小物块运动到圆弧轨道底端时对圆弧轨道的压力大小； (2)全过程中小物块与传送带间因摩擦产生的热量。 【答案】(1)15N (2)4J 【详解】（1）小物块从圆弧轨道顶端滑到圆弧轨道底端的过程中，根据机械能守恒定律有 解得 在点，对小物块，根据牛顿第二定律有 解得圆弧轨道底端对小物块的支持力 根据牛顿第三定律，小物块运动到圆弧轨道底端时对圆弧轨道的压力大小为15N。 （2）小物块在水平面上运动的加速度为 小物块从M点到N点，根据运动学公式有 解得小物块向左运动第一次到达N点时的速度大小 设小物块在传送带上向左运动的时间为，位移大小为，小物块的位移大小为 小物块向左运动过程中传送带的位移大小 设小物块在传送带上向右匀加速运动的时间为，则小物块的位移大小为 小物块向右匀加速过程中传送带的位移大小 因 则小物块不会再返回到传送带上，小物块相对传送带的总路程 小物块与传送带间因摩擦产生的热量为 变式1．（2026·江苏南通·模拟预测）某同学想估测手机相机的曝光时间（极短），他用长度L的轻质细线系悬挂一个质量为m的小球，将小球拉至细线水平位置静止释放，在小球经过最低点附近时用相机拍摄。照片上小球的像留下了一段模糊的弧线，经测量，这段弧线对应的圆心角为θ（单位：rad，θ极小）。已知重力加速度为g。试估算。 (1)小球在最低点时的速度大小v； (2)曝光时间Δt。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球下摆过程只有重力做功，由机械能守恒定律 解得最低点速度 （2）由几何关系，模糊弧线对应的弧长为 极小，小球在最低点附近运动时速度变化极小，可近似为匀速运动,则 代入，解​得 变式2．（2026·福建漳州·三模）一次联合教研活动中，物理老师们在科技馆参观时完成了如下实验：如图所示，是一长为的水平传送带，以顺时针匀速转动，传送带左端与半径的光滑圆轨道相切，右端与放在光滑水平桌面上的长木板上表面平齐。木板长为，的右端带有挡板，在上放有小物块，开始时和静止，到挡板的距离为。现将小物块从圆弧轨道最高点由静止释放，小物块与传送带间的动摩擦因数，、之间及、之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。、、的质量均为，重力加速度为，所有的碰撞均为弹性正碰。求： (1)A到达点的速度大小； (2)A通过传送带过程产生的内能； (3)A与B发生弹性正碰之后各自的速度大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）小物块A由静止运动到圆轨道最低点，由动能定理 解得 （2）设经时间t1小物块A与传送带共速，由动量定理 解得 在时间t1内A、传送带发生的位移为， 小物块A通过传送带过程产生的内能 （3）对物块B和长木板C整体受力分析，由牛顿第二定律 物块B和长木板C整体加速度为 对A，由牛顿第二定律 可得，A的加速度为 设A滑上C后经时间t2物块A与B碰撞 解得 A、B碰撞前速度分别为v1、v2，碰后速度分别为v3、v4，则， A、B碰撞过程，由动量守恒和能量守恒，得， 解得， 变式3．（2026·云南玉溪·模拟预测）如图所示，半径R＝0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10m/s2。 (1)能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？ (2)能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？ (3)若小球以4m/s的速度从A点冲上竖直半圆环，小球离开半圆环的位置距水平地面的高度是多少？ 【答案】(1) (2) (3)m 【详解】（1）小球在点的速度为最小速度时，重力提供向心力 解得 （2）沿轨道运动到B点飞出，做平抛运动，水平方向 竖直方向 解得 （3）假设小球在半圆环的D点处离开，DO与竖直方向间的夹角为θ，小球在D点处，由牛顿第二定律得 小球从A点运动到D点的过程，根据机械能守恒定律得 解得 D点距水平地面的高度 所以 m 考点二 机械能守恒定律在杆连接系统中的应用 例1．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图所示，质量均为m的光滑小球A、B，通过铰链用长为L的轻杆连接，竖直地紧靠墙壁放置，B球位于水平地面上，A球受到微扰向右倾倒初速度视为，经过时间t，杆与竖直方向夹角为已知重力加速度为g，求： (1)此时A球速度大小； (2)此时墙壁对B球作用力大小F； (3)上述过程中，地面对B球的冲量大小 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理 解得 （2）以A球为研究对象，由向心力公式 代入数据解得 对B球受力分析可得 （3）对A、B系统，取竖直向下为正方向竖直方向，由动量定理得 代入数据解得 例2．（2026·吉林白城·模拟预测）如图所示，倾角为的光滑斜面体A放在光滑的水平面上，已知A的质量为2m，高为h；细长直杆B的质量为m，受固定的光滑套管C约束，只能在竖直方向上自由运动。初始时，A在水平推力F作用下处于静止状态，此时B杆下端正好压在A的顶端。现撤去推力F，A、B便开始运动。重力加速度为g，求： (1)推力F的大小； (2)当B杆的下端刚滑到斜面底端时，斜面体A的速度大小； (3)B杆滑下的过程中，斜面体对B杆做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）静止时对只有垂直斜面向上的支持力，对有水平向右的作用力，对受力分析，如图1所示 由平衡条件可知，竖直方向上有 可得 由牛顿第三定律可知，静止时对只有垂直斜面向下的压力，大小为 对受力分析，如图2示，由平衡条件，水平方向上有 解得 （2）当在很短时间内光滑直杆下落高度，由几何知识可知，斜面体向右发生的位移大小为，所以光滑直杆与斜面体的速度大小之比为始终为，当杆滑到斜面底端时，设杆的速度大小为，斜面体的速度大小为，由系统机械能守恒有 由速度关系 解得 （3）由（2）得 杆滑下过程，由动能定理得 解得 例3．（2026·河南安阳·一模）如图所示，光滑水平面上立着一根两端分别固定有小球A、B（均视为质点）的轻杆，A球、B球与竖直光滑墙面恰好接触。由于轻微扰动，A球开始沿水平面向右滑动，B球随之下降，此过程中两球始终在同一竖直平面内。已知轻杆的长度为，两球的质量均为，重力加速度大小为，不计空气阻力，从B球开始下滑到B球落地过程中，求： (1)竖直墙壁对B球的冲量大小； (2)B球的最大动能。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）轻杆与水平方向的夹角为时，两小球的速度大小分别为、，根据关联速度可知，两小球沿杆方向速度相等，可得 即 根据机械能守恒，有 运用数学知识，整理得 当时，球的动能最大， 竖直墙壁对B球的冲量大小 （2）B球离开墙壁直到落地瞬间，两球的水平方向动量守恒，设B球着地瞬间A球的速度大小为，则 解得 B球着地瞬间动能最大，B球离开墙壁直到落地瞬间，两球的机械能守恒，故 解得B球的最大动能为 变式1．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图所示，竖直平面内固定一半径为R的光滑圆环，质量分别为4m、3m的A、B两小球套在圆环上，用长度为的轻杆连接。开始时，对小球A施加竖直向上的外力，使A、B均处于静止状态，且球A恰好与圆心O等高；然后撤去外力，A、B沿圆环运动。已知重力加速度为g，取光滑圆环最低处为零势面。求： （1）外力的大小F； （2）B球重力势能的最大值； （3）A球速度最大时，其加速度的大小a。    【答案】（1）4mg；（2）；（3） 【详解】（1）当外力F作用在A球上时，对小球B受力分析可知，小球B受重力和环给B竖直向上的弹力处于平衡状态，则杆对B、A均无作用力，A球受重力和外力处于平衡状态，则F=4mg （2）当B球上升到最大高度时，如图所示 以圆环最低点为参考面，由系统机械能守恒有 可得 B球重力势能的最大值 （3）当轻杆运动至平衡位置时，切向加速度为零，A、B球速度最大且均为v， 对A由相似三角形关系可知 对B 可得 可得 设OA与竖直方向夹角为θ，由正弦定理 可得 即 由机械能守恒有 加速度 解得 变式2．（2026·陕西商洛·一模）如图所示，A、C两球的质量均为4m，B球的质量为M，A、B两球分别用长为l的轻杆通过轻质铰链与C球连接，A、B两球静止于光滑水平地面上，两杆竖直并拢。受到微小扰动后，A、B两球分别向左右两边运动，两杆始终保持在同一竖直面内，三小球可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度为g，求； (1)若，C球落地时的速度大小； (2)若，C球落地过程中水平位移的大小； (3)若，C球机械能最小时距离地面的高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）C球落地时，A、B速度为零，系统机械能守恒有 解得 （2）C球落地过程中，系统水平方向动量守恒，则有 因，，，B、C的位移满足 A、C的位移满足 解得 （3）设两杆与水平面夹角为时，C球机械能最小，此时A、B动能最大，三小球的速度及其分速度如图所示 水平方向动量守恒有 又 解得， 沿杆方向根据运动速度的关联规律有 联立解得 据机械能守恒定律有 解得 令，对其求导得 当该导数等于0时，解得，此时取最大值，A、B的动能最大，C的机械能最小，此时C的高度为 变式3．（2026·江西九江·一模）如图，a、b、c三个小球质量分别为3m、2m、m，杆长均为L，地面光滑。甲图中a、c两个小球与轻杆固定连接，乙图中a、b两球与轻杆的一端固定，轻杆另一端通过铰链与c球固定，现c受到扰动。 (1)甲图中，当c球着地时，求a、c两球的位移大小和速度大小； (2)乙图中，a、b分别向左右两侧移动，当c球着地时，求a、b、c三球的位移大小和速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由杆长约束和水平方向动量守恒，有 解得， a球位移大小 c球位移大小 由机械能守恒 水平方向动量守恒 由约束关系 解得 （2）由杆长约束和水平方向动量守恒，有， 解得，， a球位移大小 b球位移大小 c球位移大小 由机械能守恒 水平方向动量守恒 由约束关系 解得 考点三 机械能守恒定律在绳连接系统中的应用 例1．（2026·山东枣庄·一模）如图所示，由内壁光滑的细管制成的四分之三圆形轨道竖直固定，圆心在O点，轨道半径为R（远大于细管内径）。小球A的质量为m，直径略小于细管内径，初始位于Q点，由穿过细管的轻绳与重物B栓接。小球A由静止释放，运动至最高点P时对细管恰无作用力。已知重力加速度为g，OQ与竖直线PO的夹角为60°，求： (1)小球A运动到P点的速度大小v； (2)小球A从Q运动至P的过程中，重物B克服轻绳拉力做的功W。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球A运动至最高点P时，根据牛顿第二定律，有 解得 （2）方法一： 设重物B的质量为M，根据系统机械能守恒 对重物B，由动能定理 联立解得 方法二： 运动过程中，轻绳对小球A做的功与重物B克服轻绳拉力做的功W相等即 对小球A，根据动能定理 联立解得 例2．（2025·甘肃白银·三模）如图所示，长度为L的轻杆一端连接质量为3m的小球A，另一端固定在水平转轴P上，轻杆可以在竖直面内自由转动。质量为m的物块B由绕过小定滑轮Q的细绳与小球相连，定滑轮Q与转轴P间的水平距离，初始时轻杆水平，滑轮与小球间的细绳跟轻杆共线。已知细绳足够长，忽略一切摩擦，取重力加速度为g。由静止释放小球，在轻杆转过30°角的过程中，求： (1)物块B的重力势能变化量； (2)轻杆转过30°角时，小球A与物块B的瞬时速度大小之比； (3)轻绳对小球A做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图所示 由几何关系可知，当在轻杆转过30°角的过程中，此时细绳与水平方向夹角也为30°角，则物块B的重力势能增加 （2）轻杆转过30°角时，将小球A的速度分解为沿细绳方向的速度和垂直于细绳方向的速度，可知 即小球A与物块B的瞬时速度大小之比为 （3）对系统由机械能守恒定律 解得， 物块B的机械能增加了 则细绳对B做功为 细绳对系统不做功，可知细绳对A做功为 例3．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图所示，将内壁光滑的细管弯成四分之三圆形的轨道并竖直固定，轨道半径为R，细管内径远小于R。轻绳穿过细管连接小球A和重物B，小球A的质量为m，直径略小于细管内径，用手托住重物B使小球A静止在Q点。松手后，小球A运动至最高点P点时对细管恰无作用力，重力加速度为g，取π=3，求： (1)小球A运动到P点时的速度大小v； (2)重物B的质量M； (3)小球A到达P点时轻绳的拉力大小FT。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球A运动至最高点P点时对细管恰无作用力，此时重力刚好提供向心力，则有 解得小球A运动到P点时的速度大小 （2）从Q点到P点，根据系统机械能守恒可得 解得重物B的质量为 （3）设小球A到达P点时切向方向的加速度为，对A由牛顿第二定律可得 对B由牛顿第二定律可得 联立解得轻绳的拉力大小为 变式1．（2025·山西临汾·三模）建筑工地上，有一种简易打桩机。如图所示，打桩锤C和重物A、B通过不可伸长的轻质钢绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置），C到两定滑轮的距离均为。重物A、B和打桩锤C均可视为质点，A、B的质量均为，C质量为。系统可以在如图中虚线位置保持静止（C、D恰不接触）。某次打桩时，将C由图中实线位置静止释放，运动到虚线位置时，与质量为的静止桩D发生弹性碰撞，碰撞时间极短。碰撞后桩D进入泥土，受到泥土的阻力随深度x变化的关系式为（k为常量），桩D进入泥土的最大深度。取重力加速度。求： (1)打桩锤C从静止运动到虚线位置时，C下降的高度H； (2)打桩锤C从静止运动到虚线时位置，C获得的速度； (3)常量k的值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）打桩锤C静止在虚线位置时，合力为0，此时绳与竖直方向夹角为，以C为研究对象，根据平衡条件 得， 打桩锤C从静止下降到虚线位置时下降的高度 解得 （2）打桩锤C从静止下降到虚线位置时的速度，则A、B的速度 A、B上升的高度 根据机械能守恒定律 得 （3）打桩锤C和静止桩D发生弹性碰撞，碰后C的速度，D的速度，根据动量守恒定律 根据能量守恒定律 得 桩D进入泥土，根据动能定理 其中克服阻力做功 解得 变式2．（2025·江苏南京·二模）如图，足够长的细线一端与倾角为α=37°的斜面A相连，另一端跨过墙面上和斜面顶端的三个小滑轮与小滑块B相连，一水平推力作用于A上，使A、B系统保持静止，四段细线分别与水平地面、竖直墙面或斜面平行，A的质量M=0.63kg，B的质量m=0.21kg，B距离水平面的高度h=0.6m，不计一切摩擦，取重力加速度g=10m/s2．（sin37°=0.6，cos37°=0.8） (1)求细线对B的拉力大小； (2)撤去水平推力，求A滑动的位移m时，B的位移大小； (3)若撤去水平推力的同时剪断细线，求B沿斜面运动的过程中对A做的功。 【答案】(1)1.26N (2)0.6m (3)0.18J 【详解】（1）对B受力分析，受到重力G、斜面的支持力FN、细线的拉力T 则T=mgsinα 代入数据得T=1.26N （2）当A滑动x时，B沿斜面下滑2x， 设B的位移大小s，则 代入数据解的：m （3）设B运动到斜面底端水平速度为，竖直速度为，A的速度为。 由水平方向动量守恒得， 由B相对A的速度方向沿斜面向下得， 代入数据可得 由A、B系统机械能守恒定律得 B沿斜面运动的过程中对A做的功 代入数据可得J 变式3．（25-26高三上·江苏镇江·期中）如图所示，长为4l的轻杆一端连接在水平固定铰链O上，另一端连接一个质量为2m小球P。轻绳穿过水平固定轻质滑轮，一端与小球P相连接，另一端系着质量为m的小球Q。开始时对小球P施加竖直向上拉力F，使小球P处于静止，静止时轻杆与水平方向夹角为37°，轻绳与水平方向夹角为53°。撤去拉力F，小球P、Q带动轻杆绕O转动。不计一切摩擦，取sin37°=0.6，sin53°=0.8，重力加速度取g，求： (1)竖直拉力F的大小； (2)撤去拉力瞬间小球P的加速度a； (3)撤去拉力后，当小球P运动到O点正下方时，小球Q的动能Ek。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）球Q处于平衡状态，则 对球P受力分析，如图所示 根据平衡条件可得 解得 （2）对球Q，根据牛顿第二定律可得 对球P，沿绳子方向 球P、Q沿绳子方向加速度 解得 （3）球P下落高度为 球Q上升高度为 根据系统的机械能守恒 即 如图所示 小球P运动到O点正下方时，球P的速度和球Q的速度关系 解得小球Q的动能 考点四 机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用 例1．（2026·宁夏吴忠·三模）质量为的小球b静止在光滑水平地面上，右端连接一水平轻质弹簧，半径的四分之一光滑圆弧槽锁定在地面上，现将质量为的另一小球a从圆弧槽顶端由静止释放。小球a接触弹簧到弹簧压缩到最短过程，弹簧的压缩量与弹性势能的数值关系为，重力加速度取，求： (1)小球a在圆弧槽末端对槽的压力； (2)弹簧被压缩至最短时，弹簧的压缩量； 【答案】(1)，方向竖直向下 (2) 【详解】（1）小球从顶端静止释放到底端，由机械能守恒： 代入题给数据，可解得 在圆弧槽末端（最低点），小球做圆周运动，支持力与重力的合力提供向心力（竖直向上为正）： 解得 根据牛顿第三定律，小球对槽的压力大小，方向竖直向下。 （2）小球离开圆弧槽后以速度水平向左运动，与静止的小球（连接弹簧）发生相互作用 弹簧压缩至最短时，两球速度相同，设为 系统水平方向动量守恒： 代入题给数据，解得 由于系统机械能守恒，弹簧弹性势能等于系统减少的动能： 代入题给数据，解得 由题给关系 解得 例2．（2026·江苏镇江·二模）如图所示，质量均为m的物块A和B通过竖直轻弹簧相连处于静止状态，弹簧劲度系数为k，B、C通过轻质细绳绕过光滑定滑轮相连，C置于倾角为30°的光滑斜面上，C的质量为4m。初始时用手托住C，细绳刚好拉直但无张力，B静止，重力加速度为g。释放C后，C沿斜面下滑，斜面足够长，求： (1)刚释放C的瞬间，C的加速度大小； (2)当A刚要离开地面时，B的速度大小； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）初始状态细绳无张力，则B所受重力与弹簧弹力相互平衡。假设此时弹簧形变量为则根据胡克定律有 刚释放C的瞬间弹簧弹力不会突变，B和C之间有轻绳连接，具有相同大小的加速度a 和速度v 对C列牛顿第二定律有 以向上为正方向，对B列牛顿第二定律公式有 联立解得 （2）由上一小问可知弹簧劲度系数 当A刚要离开地面时其所受弹簧向上的拉力等于其重力。此时弹簧处于伸长状态，相对于原长的形变量为，根据可知弹性势能没有变化。 弹簧长度变化了，则B向上位移为，C沿斜面向下的位移为 对整体列动能定理有 解得 例3．（2026·云南·模拟预测）2026年我国物流运行实现良好开局，呈现稳步回升、结构优化的态势。如图所示为快递分拣站一倾角的轨道，底端固定轻质缓冲弹簧。一质量的快递包裹从轨道上点静止滑下，下滑后到达点，与处于原长的弹簧接触（弹簧的上端位于点），然后继续向下压缩弹簧至速度为零。已知弹簧劲度系数，、间距离，，，，弹簧弹性势能与形变量的关系为：，弹簧始终在弹性限度内。求： (1)包裹与轨道间的动摩擦因数； (2)弹簧的最大压缩量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由牛顿第二定律有 匀加速直线运动 联立解得 （2）设最大压缩量为，由动能定理有 解得 变式1．（2026·福建福州·三模）如图所示，一倾角的光滑斜面固定放置，斜面顶端固定一光滑小滑轮。一劲度系数的轻弹簧一端连接在斜面底端的固定挡板上，另一端连接滑块A。一根轻绳绕过滑轮一端与滑块A相连，另一端连接穿在光滑水平滑杆上的小球B，小滑轮距离水平滑杆的高度。初始时将小球B锁定在位置P，此时弹簧处于伸长状态，伸长量，轻绳与滑杆的夹角也为。解除小球B的锁定后，小球B由P运动至轻绳与滑杆夹角的位置Q。已知滑块A的质量，小球B的质量，取重力加速度，不计滑轮大小，，，计算结果可用根号表示。求： (1)小球B锁定时，求轻绳上的拉力大小； (2)小球B由P运动至Q，弹簧弹性势能的变化量； (3)小球B运动至Q时，滑块A的速度大小。 【答案】(1)65N (2)0 (3) 【详解】（1）对滑块A由平衡条件得 代入数据解得 （2）B由P到Q，A下滑 B到Q时弹簧压缩量 由于 弹簧弹性势能的变化量 （3）B由P到Q，对A、B系统根据机械能守恒定律得     且 解得 变式2．（2026·北京海淀·一模）如图1所示，将轻弹簧竖直固定在水平地面上。质量为m的小球由弹簧的正上方h处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为x时，小球下落到最低点。弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，已知重力加速度为g。 (1)求小球速度最大时，弹簧的形变量大小。 (2)小球从接触弹簧开始到压缩弹簧至最低点过程中，分析说明小球速度最大的位置处在最大形变量中点上方还是下方。 (3)以竖直向下为正方向，从小球接触弹簧开始计时，在图2中画出小球压缩弹簧至最低点过程中合力F随下降距离x的变化图线，并分析小球在压缩弹簧至最低点时受到的弹力大小和重力的关系。 【答案】(1) (2) 见解析 (3) ，见解析 【详解】（1）小球由静止下落到最低点，根据机械能守恒有 小球速度最大时合力为零，此时弹簧的形变量大小为 联立解得 （2）小球速度最大时弹簧的形变量大小为 整理得 又知 所以，故小球速度最大的位置处在最大形变量中点的上方。 （3）小球压缩弹簧至最低点的过程中，合力，合力F随下降距离x的变化图线如图所示 图线与横轴围成的面积等于合力做的功，在合力由变化到的过程中，图线与横轴围成的面积为零，合力做的总功为零，根据动能定理有 所以 当时小球的速度等于刚接触弹簧时的速度，小球还会继续下降，小球所受合力的大小继续增大，故小球下降到最低点时合力的大小 又知合力的大小 联立解得，小球在压缩弹簧至最低点时受到的弹力大小 变式3．（2026·北京朝阳·一模）如图所示，光滑水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相切，导轨半径为R=0.4m。一质量为m=1kg的物体（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一速度后脱离弹簧，之后沿半圆形导轨恰好运动至最高点C，该过程损失的机械能为=8J，重力加速度取g=10m/s²。不计空气阻力影响。求： (1)物体在C点的速度大小vC； (2)弹簧最初压缩时储存的弹性势能Ep； (3)物体离开C点后落地点距离C点的水平位移大小x。 【答案】(1)2m/s (2)18J (3)0.8m 【详解】（1）物体恰好运动至半圆形导轨最高点，此时重力提供圆周运动的向心力，由向心力公式 代入， 解得 （2）根据能量守恒，弹簧的弹性势能，等于过程损失的机械能与物体在点的机械能之和。点相对于水平面的高度为，因此 代入， 得 （3）物体离开点后做平抛运动： 竖直方向自由下落 解得运动时间 水平方向匀速运动，水平位移 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三物理一轮复习专项训练 机械能守恒定律的应用4种高频考点专项训练 考点目录 机械能守恒定律在曲线运动中的应用 机械能守恒定律在杆连接系统中的应用 机械能守恒定律在绳连接系统中的应用 机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用 考点一 机械能守恒定律在曲线运动中的应用 例1．（2026·江西新余·三模）如图，半径为的圆盘匀速转动，光滑斜槽下口与圆盘边缘最高位置平滑接触无摩擦，滑块滑入圆盘时，速度方向与圆盘边缘相切，物块从倾斜滑槽静止滑下到达倾斜圆盘的上边缘，恰好与圆盘保持相对静止，物块能随圆盘转动到最低位置，在最低位置恰好能不脱离圆盘，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，物块与圆盘的动摩擦因数，圆盘倾角为，取，。试回答： (1)求滑块由光滑斜槽静止下滑的高度； (2)调整倾斜圆盘的角度可使得物块随圆盘转动而不脱离，求滑块下滑的最大高度。 例2．（2026·天津河北·三模）如图，半径的光滑圆弧轨道与足够长的粗糙轨道在处平滑连接，为圆弧轨道的圆心，点为圆弧轨道的最低点，半径、与的夹角分别为和；在高的光滑水平平台上，一质量的小物块压缩弹簧后被锁扣锁住，储存了一定量的弹性势能，若打开锁扣，小物块将以一定的水平速度向右飞下平台，做平抛运动恰从点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度取，，，求： (1)飞下平台时的速度和弹簧储存的弹性势能； (2)物块经过点时的速度的大小； (3)物块在轨道上运动的路程。 例3．（2026·江西赣州·模拟预测）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，下端恰好与粗糙水平面MN平滑对接，与水平面等高且绷紧的水平传送带在电动机带动下始终以恒定速度顺时针运行。质量为的小物块由圆弧轨道顶端P点无初速度释放，滑到M点后向左运动，经N点滑上传送带，经一段时间后小物块又返回至传送带的右端。已知M、N两点间的距离，小物块与水平面和传送带间的动摩擦因数均为，g取，传送带足够长，不计空气阻力，小物块可视为质点，不考虑小物块由水平面滑上传送带的能量损失。求： (1)小物块运动到圆弧轨道底端时对圆弧轨道的压力大小； (2)全过程中小物块与传送带间因摩擦产生的热量。 变式1．（2026·江苏南通·模拟预测）某同学想估测手机相机的曝光时间（极短），他用长度L的轻质细线系悬挂一个质量为m的小球，将小球拉至细线水平位置静止释放，在小球经过最低点附近时用相机拍摄。照片上小球的像留下了一段模糊的弧线，经测量，这段弧线对应的圆心角为θ（单位：rad，θ极小）。已知重力加速度为g。试估算。 (1)小球在最低点时的速度大小v； (2)曝光时间Δt。 变式2．（2026·福建漳州·三模）一次联合教研活动中，物理老师们在科技馆参观时完成了如下实验：如图所示，是一长为的水平传送带，以顺时针匀速转动，传送带左端与半径的光滑圆轨道相切，右端与放在光滑水平桌面上的长木板上表面平齐。木板长为，的右端带有挡板，在上放有小物块，开始时和静止，到挡板的距离为。现将小物块从圆弧轨道最高点由静止释放，小物块与传送带间的动摩擦因数，、之间及、之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。、、的质量均为，重力加速度为，所有的碰撞均为弹性正碰。求： (1)A到达点的速度大小； (2)A通过传送带过程产生的内能； (3)A与B发生弹性正碰之后各自的速度大小。 变式3．（2026·云南玉溪·模拟预测）如图所示，半径R＝0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10m/s2。 (1)能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？ (2)能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？ (3)若小球以4m/s的速度从A点冲上竖直半圆环，小球离开半圆环的位置距水平地面的高度是多少？ 考点二 机械能守恒定律在杆连接系统中的应用 例1．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图所示，质量均为m的光滑小球A、B，通过铰链用长为L的轻杆连接，竖直地紧靠墙壁放置，B球位于水平地面上，A球受到微扰向右倾倒初速度视为，经过时间t，杆与竖直方向夹角为已知重力加速度为g，求： (1)此时A球速度大小； (2)此时墙壁对B球作用力大小F； (3)上述过程中，地面对B球的冲量大小 例2．（2026·吉林白城·模拟预测）如图所示，倾角为的光滑斜面体A放在光滑的水平面上，已知A的质量为2m，高为h；细长直杆B的质量为m，受固定的光滑套管C约束，只能在竖直方向上自由运动。初始时，A在水平推力F作用下处于静止状态，此时B杆下端正好压在A的顶端。现撤去推力F，A、B便开始运动。重力加速度为g，求： (1)推力F的大小； (2)当B杆的下端刚滑到斜面底端时，斜面体A的速度大小； (3)B杆滑下的过程中，斜面体对B杆做的功。 例3．（2026·河南安阳·一模）如图所示，光滑水平面上立着一根两端分别固定有小球A、B（均视为质点）的轻杆，A球、B球与竖直光滑墙面恰好接触。由于轻微扰动，A球开始沿水平面向右滑动，B球随之下降，此过程中两球始终在同一竖直平面内。已知轻杆的长度为，两球的质量均为，重力加速度大小为，不计空气阻力，从B球开始下滑到B球落地过程中，求： (1)竖直墙壁对B球的冲量大小； (2)B球的最大动能。 变式1．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图所示，竖直平面内固定一半径为R的光滑圆环，质量分别为4m、3m的A、B两小球套在圆环上，用长度为的轻杆连接。开始时，对小球A施加竖直向上的外力，使A、B均处于静止状态，且球A恰好与圆心O等高；然后撤去外力，A、B沿圆环运动。已知重力加速度为g，取光滑圆环最低处为零势面。求： （1）外力的大小F； （2）B球重力势能的最大值； （3）A球速度最大时，其加速度的大小a。    变式2．（2026·陕西商洛·一模）如图所示，A、C两球的质量均为4m，B球的质量为M，A、B两球分别用长为l的轻杆通过轻质铰链与C球连接，A、B两球静止于光滑水平地面上，两杆竖直并拢。受到微小扰动后，A、B两球分别向左右两边运动，两杆始终保持在同一竖直面内，三小球可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度为g，求； (1)若，C球落地时的速度大小； (2)若，C球落地过程中水平位移的大小； (3)若，C球机械能最小时距离地面的高度。 变式3．（2026·江西九江·一模）如图，a、b、c三个小球质量分别为3m、2m、m，杆长均为L，地面光滑。甲图中a、c两个小球与轻杆固定连接，乙图中a、b两球与轻杆的一端固定，轻杆另一端通过铰链与c球固定，现c受到扰动。 (1)甲图中，当c球着地时，求a、c两球的位移大小和速度大小； (2)乙图中，a、b分别向左右两侧移动，当c球着地时，求a、b、c三球的位移大小和速度大小。 考点三 机械能守恒定律在绳连接系统中的应用 例1．（2026·山东枣庄·一模）如图所示，由内壁光滑的细管制成的四分之三圆形轨道竖直固定，圆心在O点，轨道半径为R（远大于细管内径）。小球A的质量为m，直径略小于细管内径，初始位于Q点，由穿过细管的轻绳与重物B栓接。小球A由静止释放，运动至最高点P时对细管恰无作用力。已知重力加速度为g，OQ与竖直线PO的夹角为60°，求： (1)小球A运动到P点的速度大小v； (2)小球A从Q运动至P的过程中，重物B克服轻绳拉力做的功W。 例2．（2025·甘肃白银·三模）如图所示，长度为L的轻杆一端连接质量为3m的小球A，另一端固定在水平转轴P上，轻杆可以在竖直面内自由转动。质量为m的物块B由绕过小定滑轮Q的细绳与小球相连，定滑轮Q与转轴P间的水平距离，初始时轻杆水平，滑轮与小球间的细绳跟轻杆共线。已知细绳足够长，忽略一切摩擦，取重力加速度为g。由静止释放小球，在轻杆转过30°角的过程中，求： (1)物块B的重力势能变化量； (2)轻杆转过30°角时，小球A与物块B的瞬时速度大小之比； (3)轻绳对小球A做的功。 例3．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图所示，将内壁光滑的细管弯成四分之三圆形的轨道并竖直固定，轨道半径为R，细管内径远小于R。轻绳穿过细管连接小球A和重物B，小球A的质量为m，直径略小于细管内径，用手托住重物B使小球A静止在Q点。松手后，小球A运动至最高点P点时对细管恰无作用力，重力加速度为g，取π=3，求： (1)小球A运动到P点时的速度大小v； (2)重物B的质量M； (3)小球A到达P点时轻绳的拉力大小FT。 变式1．（2025·山西临汾·三模）建筑工地上，有一种简易打桩机。如图所示，打桩锤C和重物A、B通过不可伸长的轻质钢绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置），C到两定滑轮的距离均为。重物A、B和打桩锤C均可视为质点，A、B的质量均为，C质量为。系统可以在如图中虚线位置保持静止（C、D恰不接触）。某次打桩时，将C由图中实线位置静止释放，运动到虚线位置时，与质量为的静止桩D发生弹性碰撞，碰撞时间极短。碰撞后桩D进入泥土，受到泥土的阻力随深度x变化的关系式为（k为常量），桩D进入泥土的最大深度。取重力加速度。求： (1)打桩锤C从静止运动到虚线位置时，C下降的高度H； (2)打桩锤C从静止运动到虚线时位置，C获得的速度； (3)常量k的值。 变式2．（2025·江苏南京·二模）如图，足够长的细线一端与倾角为α=37°的斜面A相连，另一端跨过墙面上和斜面顶端的三个小滑轮与小滑块B相连，一水平推力作用于A上，使A、B系统保持静止，四段细线分别与水平地面、竖直墙面或斜面平行，A的质量M=0.63kg，B的质量m=0.21kg，B距离水平面的高度h=0.6m，不计一切摩擦，取重力加速度g=10m/s2．（sin37°=0.6，cos37°=0.8） (1)求细线对B的拉力大小； (2)撤去水平推力，求A滑动的位移m时，B的位移大小； (3)若撤去水平推力的同时剪断细线，求B沿斜面运动的过程中对A做的功。 变式3．（25-26高三上·江苏镇江·期中）如图所示，长为4l的轻杆一端连接在水平固定铰链O上，另一端连接一个质量为2m小球P。轻绳穿过水平固定轻质滑轮，一端与小球P相连接，另一端系着质量为m的小球Q。开始时对小球P施加竖直向上拉力F，使小球P处于静止，静止时轻杆与水平方向夹角为37°，轻绳与水平方向夹角为53°。撤去拉力F，小球P、Q带动轻杆绕O转动。不计一切摩擦，取sin37°=0.6，sin53°=0.8，重力加速度取g，求： (1)竖直拉力F的大小； (2)撤去拉力瞬间小球P的加速度a； (3)撤去拉力后，当小球P运动到O点正下方时，小球Q的动能Ek。 考点四 机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用 例1．（2026·宁夏吴忠·三模）质量为的小球b静止在光滑水平地面上，右端连接一水平轻质弹簧，半径的四分之一光滑圆弧槽锁定在地面上，现将质量为的另一小球a从圆弧槽顶端由静止释放。小球a接触弹簧到弹簧压缩到最短过程，弹簧的压缩量与弹性势能的数值关系为，重力加速度取，求： (1)小球a在圆弧槽末端对槽的压力； (2)弹簧被压缩至最短时，弹簧的压缩量； 例2．（2026·江苏镇江·二模）如图所示，质量均为m的物块A和B通过竖直轻弹簧相连处于静止状态，弹簧劲度系数为k，B、C通过轻质细绳绕过光滑定滑轮相连，C置于倾角为30°的光滑斜面上，C的质量为4m。初始时用手托住C，细绳刚好拉直但无张力，B静止，重力加速度为g。释放C后，C沿斜面下滑，斜面足够长，求： (1)刚释放C的瞬间，C的加速度大小； (2)当A刚要离开地面时，B的速度大小； 例3．（2026·云南·模拟预测）2026年我国物流运行实现良好开局，呈现稳步回升、结构优化的态势。如图所示为快递分拣站一倾角的轨道，底端固定轻质缓冲弹簧。一质量的快递包裹从轨道上点静止滑下，下滑后到达点，与处于原长的弹簧接触（弹簧的上端位于点），然后继续向下压缩弹簧至速度为零。已知弹簧劲度系数，、间距离，，，，弹簧弹性势能与形变量的关系为：，弹簧始终在弹性限度内。求： (1)包裹与轨道间的动摩擦因数； (2)弹簧的最大压缩量。 变式1．（2026·福建福州·三模）如图所示，一倾角的光滑斜面固定放置，斜面顶端固定一光滑小滑轮。一劲度系数的轻弹簧一端连接在斜面底端的固定挡板上，另一端连接滑块A。一根轻绳绕过滑轮一端与滑块A相连，另一端连接穿在光滑水平滑杆上的小球B，小滑轮距离水平滑杆的高度。初始时将小球B锁定在位置P，此时弹簧处于伸长状态，伸长量，轻绳与滑杆的夹角也为。解除小球B的锁定后，小球B由P运动至轻绳与滑杆夹角的位置Q。已知滑块A的质量，小球B的质量，取重力加速度，不计滑轮大小，，，计算结果可用根号表示。求： (1)小球B锁定时，求轻绳上的拉力大小； (2)小球B由P运动至Q，弹簧弹性势能的变化量； (3)小球B运动至Q时，滑块A的速度大小。 变式2．（2026·北京海淀·一模）如图1所示，将轻弹簧竖直固定在水平地面上。质量为m的小球由弹簧的正上方h处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为x时，小球下落到最低点。弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，已知重力加速度为g。 (1)求小球速度最大时，弹簧的形变量大小。 (2)小球从接触弹簧开始到压缩弹簧至最低点过程中，分析说明小球速度最大的位置处在最大形变量中点上方还是下方。 (3)以竖直向下为正方向，从小球接触弹簧开始计时，在图2中画出小球压缩弹簧至最低点过程中合力F随下降距离x的变化图线，并分析小球在压缩弹簧至最低点时受到的弹力大小和重力的关系。 变式3．（2026·北京朝阳·一模）如图所示，光滑水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相切，导轨半径为R=0.4m。一质量为m=1kg的物体（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一速度后脱离弹簧，之后沿半圆形导轨恰好运动至最高点C，该过程损失的机械能为=8J，重力加速度取g=10m/s²。不计空气阻力影响。求： (1)物体在C点的速度大小vC； (2)弹簧最初压缩时储存的弹性势能Ep； (3)物体离开C点后落地点距离C点的水平位移大小x。 2 学科网（北京）股份有限公司 $