感生电动势4种高频考点 专项训练-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 聚焦感生电动势四大高频考点，从磁感应强度变化（公式/图像）到感生电场运动及与动生并存，形成递进式知识逻辑，题型覆盖计算、运动分析及综合应用，强化科学推理与模型建构。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知B-t关系式求电动势|例3+变式3|结合电路、力学综合计算|从法拉第电磁感应定律基础应用，拓展到多场景能量转化| |由B-t图像计算电动势|例3+变式3|图像斜率与电动势关联，涉及受力平衡|通过图像信息提取，强化科学论证能力| |小球在感生电场中的运动|例3+变式3|圆周运动与涡旋电场结合|体现运动和相互作用观念，深化电磁感应本质理解| |感生与动生电动势并存|例3+变式3|双电动势叠加，复杂运动分析|综合应用电磁感应规律，培养综合问题解决能力|

感生电动势4种高频考点专项训练 感生电动势4种高频考点专项训练 考点目录 已知磁感应强度随时间的变化的关系式求电动势 由B-t图像计算感生电动势的大小 小球在感生电场中的运动 感生电动势与动生电动势并存 考点一 已知磁感应强度随时间的变化的关系式求电动势 例1．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）如图所示，两根形状相同的光滑金属轨道abcd和平行固定，轨道间距为，轨道段和段位于水平面内，段和段位于竖直平面内，段和段是半径为的圆弧，圆心分别在与、等高的、点，金属轨道两端由阻值为的电阻丝和连接，金属轨道的电阻可忽略不计，在两轨道间存在竖直向上的有界匀强磁场，磁感应强度为，磁场的边界为矩形，不计空气阻力及一切摩擦，重力加速度为。 (1)若磁感应强度（为常数且），试求电阻丝上的电流大小与方向； (2)若磁感应强度恒定不变，将一根长度稍大于，质量为，接入电路的阻值为的导体棒P（图中未画出）从处紧靠轨道由静止释放，导体棒P沿轨道下滑至处时，其对轨道的总压力为，试求该过程中导体棒P上产生的焦耳热； (3)条件与（2）中相同，将导体棒P（图中未画出）从轨道的端以速度向右滑进磁场，并对P施加一大小方向时刻变化的外力，使其能匀速率地沿轨道运动至处，试求该过程中此外力所做的功。 例2．（2026·云南昆明·三模）电磁弹射是我国最新研究的重大科技项目，创造了世界领先的关键技术，原理可用下述模型说明。如图甲所示，虚线MN右侧存在一个竖直向上的匀强磁场，边长为的正方形单匝金属线框放在光滑水平面上，电阻为，质量为，边紧靠虚线边界且在磁场外。从时刻起，磁感应强度随时间的变化规律是（为大于零的常量），同时用一水平外力使线框保持静止状态。 (1)求线框中感应电流的大小和方向； (2)写出所加水平外力的大小随时间变化的关系式； (3)若用完全相同的金属线绕制成相同大小的匝线框，并在线框上加一质量为的负载，如图乙所示，当时撤去外力释放线框，求刚撤去外力时线框的加速度大小。 例3．（25-26高二下·浙江舟山·期末）如图甲所示为电流天平，其右臂通过轻杆连接着一定质量的矩形线圈，匝数，总电阻，线圈的水平边长，下边处于垂直线圈平面向外的匀强磁场（可调）内。 (1)未通电时天平已调平，当且在左盘放置砝码时，需在线圈中通以多大的电流可使天平再次平衡，并说明所通电流方向为顺时针还是逆时针； (2)未通电时天平未平衡，仅调节的大小后保持不变，当线圈中通过的逆时针方向电流时，左盘砝码调整为能使天平平衡，若仅使电流反向，则左盘砝码调整为能使天平平衡，求调节后的大小； (3)若，线圈无外接电流且闭合，调节天平平衡，在其上部另加一垂直纸面向里宽度为的匀强磁场（），如图乙所示。只要满足左、右盘砝码的质量差，天平能平衡，求的比例系数。 变式1．（25-26高二下·山东济宁·期中）如图甲所示，将一硬质细导线构成直径为D的单匝圆形导体框，并固定在水平纸面内。虚线MN恰好将导体框分为左右对称的两部分，在虚线MN左侧的空间内存在与纸面垂直的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，规定垂直于纸面向里为磁场的正方向。已知圆形导体框的电阻为。 (1)求导体框中产生的感应电流I的大小和方向； (2)求在时间内，导体框产生的焦耳热。 变式2．（2026·河南·三模）如图（a）所示，在光滑绝缘水平面内建立xOy直角坐标系，在区域Ⅰ（，）内分布着垂直该平面向外的匀强磁场；在区域Ⅱ（，）内分布着垂直该平面向外的匀强磁场。该平面内有长为3a、宽为2a，电阻为R、质量为m、匝数为n的长方形金属框，其MN边与y轴重合，N点与坐标原点O重合。时刻区域Ⅰ的磁场从0开始均匀增大，此过程中金属线框在外力F作用下处于静止状态，F随t变化的规律如图（b）所示，已知，，，，，。 (1)写出的时间内区域Ⅰ磁场的磁感应强度随时间t变化的规律； (2)求的时间内金属框上产生的焦耳热Q； (3)若在时，撤去外力F且区域Ⅰ的磁场保持该时刻的大小不再变化，同时使金属框以2m/s的初速度开始向右运动，MN边运动到处恰好停止，运动过程中MN边始终与y轴平行，求区域Ⅱ磁场的磁感应强度的大小（结果可用根号表示）。 变式3．（25-26高二下·山东聊城·阶段检测）如图所示，在一个匝数为N、横截面积为S、阻值为R的圆形螺线管内充满方向与线圈平面垂直、磁感应强度大小B1随时间均匀变化的匀强磁场，其变化率为k。螺线管右侧连接有位于同一水平面的光滑平行导轨AP、A′P′和倾角为θ=30°的光滑倾斜导轨PQ、P′Q′，导轨间距均为L，其中轨道转弯处P、P′由绝缘材料把水平导轨和倾斜导轨连接开来。倾斜导轨的顶端Q、接有一阻值为R的电阻。水平导轨处于磁感应强度B2=B垂直于轨道平面向下的匀强磁场中。倾斜导轨处于磁感应强度B3=B垂直于轨道平面向下的匀强磁场中，长为L质量为m电阻为R的导体棒垂直于导轨静止放置于水平导轨上。闭合开关K后，导体棒由静止开始运动，导体棒运动到P、P′之前已经匀速。导体棒运动到P、P′时立即断开开关K，导体棒冲上倾斜导轨（导体棒在经过P、P′时动能不损失）。不计其他电阻及阻力，重力加速度为g。求： (1)刚闭合开关时电路中的感应电动势； (2)导体棒第一次到达P、P′的速度； (3)若导体棒冲上斜导轨经过时间又返回斜导轨底端，求这段时间内导体棒产生的焦耳热。 考点二 由B-t图像计算感生电动势的大小 例1．（25-26高二下·天津·期末）如图甲所示，电阻r＝2 Ω的金属棒ab垂直放置在水平金属导轨上，导轨间距d＝1 m，在导轨左端接有阻值R＝4 Ω的电阻，金属棒距导轨左端的距离L＝1 m。从t＝0时刻开始，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，t＝0.1 s时刻，金属棒恰好沿导轨开始运动。已知金属棒与导轨接触良好，导轨电阻不计。求： (1)0.1 s内，金属棒上所通过的电流大小和方向； (2)0.05 s时刻，金属棒所受磁场作用力的大小和方向。 例2．（25-26高二下·重庆·期末）如图甲所示，一圆形金属线圈面积为 ，电阻r=0.1Ω。线圈两端a、b与阻值为R =0.4.Ω的电阻组成闭合回路，导线电阻忽略不计。线圈处在垂直于线圈平面向外的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示。求在0~1.0s的时间内： (1)线圈中产生的感应电动势大小E； (2)电阻R产生的焦耳热。 例3．（25-26高二下·重庆江津·期末）如图甲所示，间距为、倾角为的平行光滑金属导轨固定放置，其上端用金属杆连接固定。导体棒ab垂直于导轨，并用平行于导轨的绝缘细线将其与金属杆连接，细线长为，导体棒处于静止状态。空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。时，细线拉力刚好为零，此时剪断细线，导体棒从静止开始运动至某一位置处（图中未画出）达到稳定速度，这一过程中通过导体棒横截面的电荷量为。导体棒与导轨始终垂直且接触良好。已知导体棒和金属杆的电阻均为，导轨电阻不计且足够长，重力加速度。求： (1)导体棒ab的质量； (2)剪断细线后，棒ab运动到点的位移大小； (3)从剪断细线后至导体棒运动到点过程中，棒ab上产生的焦耳热。 变式1．（25-26高二下·山西运城·期末）如图甲所示，间距为的平行金属导轨由倾斜部分和水平部分连接而成，导轨光滑且电阻不计。倾斜部分间接一阻值为的电阻，倾角，处在垂直导轨平面的匀强磁场中，其磁感应强度大小未知。水平部分接有面积为、电阻为的单匝线圈（线圈开口处间距忽略不计），线圈水平放置且处在竖直向下的磁场中，磁感应强度随时间变化如图乙所示。将质量为的导体棒垂直倾斜导轨由静止释放，在内导体棒恰好处于静止状态。已知导体棒接入电路的电阻为，，，取。求： (1)内间的电压； (2)磁感应强度的大小和方向。 变式2．（25-26高二下·云南昆明·期末）如图甲所示，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角，间距，其间分布有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。导轨通过导线与横截面积、匝数匝的金属线圈连接，线圈内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化的规律如图乙所示。垂直于导轨放置的导体棒始终处于静止状态。已知回路中的总电阻，取重力加速度，，。求： (1)通过导体棒的电流大小； (2)导体棒的质量。 变式3．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）如图甲所示，一边长L=0.4 m、电阻R=0.006 Ω的等边三角形导线框被绝缘细线悬挂，绝缘细线一端连接AC的中点G，另一端固定在天花板上的O点，导线框处于静止状态。部分导线框处于垂直导线框平面向外的匀强磁场中，导线框AD、CD边的中点E、F在磁场的水平边界上，磁场的磁感应强度大小按如图乙所示的规律变化，细线始终拉直。求： (1)t1=3.0 s时，三角形导线框中电流的大小。 (2)t0=0时，三角形导线框所受安培力的大小。 (3)在0~3.0 s时间内，三角形导线框产生的焦耳热。 考点三 小球在感生电场中的运动 例1．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图所示，在一水平光滑绝缘塑料板上有一球形凹槽，有一质量为m、电荷量为q的带正电小球，在槽内沿顺时针方向做匀速圆周运动，现加一竖直向上磁场，并且磁感应强度均匀增大，则（     ） A．洛伦兹力改变小球速度大小 B．小球速度不变 C．小球速度变大 D．小球速度变小 例2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，在一水平光滑绝缘塑料板上有一球形凹槽，有一质量为m、电荷量为q的带正电小球，在槽内沿顺时针方向做匀速圆周运动，现加一竖直向上的磁感应强度均匀减小的磁场，则（     ） A．磁场力让小球速度产生变化 B．小球速度立刻变小 C．小球速度立刻变大 D．小球速度可能不变 例3．（2026·安徽六安·模拟预测）现代科学研究中常用电子感应加速器获得高速电子，甲图为电子感应加速器的侧视图，电磁铁产生的磁场随电磁铁线圈中电流的大小发生变化；乙图为磁极之间真空室的俯视图。真空室中有一个质量为，电荷量为，初速度为零的电子，在变化的磁场中做半径为（恒定不变）的加速圆周运动。垂直穿过圆形轨道面的磁场的磁感应强度随时间变化的关系如图丙所示，在电子加速过程中忽略相对论效应，不计电子重力。则下列判断正确的是（　　） A．电子在轨道中加速的驱动力是洛伦兹力 B．电子加速运动一周增加的动能为 C．电子做圆周运动的向心加速度大小恒定 D．保持通入螺线管的电流大小不变，可使电子不断加速 变式1．（2026·山东泰安·模拟预测）麦克斯韦认为，磁场变化时会在空间激发感生电场。如图甲所示，一个半径为的绝缘光滑细圆环水平放置，环上套一个带电荷量为的小球，时刻开始，在环内区域加一随时间均匀变化的磁场，方向竖直向上，磁感应强度大小随时间的变化如图乙所示。则小球在环上运动一周动能的增加量为（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·山东滨州·期中）如图所示，水平放置、半径为的环形光滑玻璃圆管内，放置一直径略小于管口径（远远小于）的质量为、电荷量为（）的带电小球P。现在圆环区域内加上竖直向上的匀强磁场，当磁感应强度均匀变化时，在玻璃圆管内产生电场强度大小处处相等的感生电场（电场线闭合的涡旋电场），原来静止的小球P将沿图示方向在管内做圆周运动，运动第一周用时为，小球可看作点电荷且电荷量保持不变。下列说法正确的是（　　） A．圆环区域内竖直向上的匀强磁场一定在均匀减小 B．玻璃圆管内感生电场的电场强度大小为 C．匀强磁场的磁感应强度随时间的变化率为 D．小球第4次回到出发点时的速度大小为 变式3．（2026·河北沧州·二模）绝缘细圆环总质量为m，半径为R，电荷量为Q的正电荷均匀分布在圆环上。用外力使圆环从静止开始绕通过环心且垂直于环面的轴线加速转动，如图所示。角速度ω随时间t均匀增加，即（λ为已知量）。圆环转动形成等效电流，该电流产生的磁场通过圆环的磁通量与该电流成正比，比例系数为k（k为已知量），不计圆环上的电荷作加速运动时所产生的电磁辐射。下列说法正确的是（    ） A．圆环转动形成等效电流的大小为 B．圆环中产生的感应电动势大小为 C．圆环每转一圈动能增加 D．圆环每转一圈外力做功 考点四 感生电动势与动生电动势并存 例1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）如图所示，两足够长水平绝缘轨道彼此平行且间距为。以轨道上点为坐标原点，水平向右为轴正方向建立坐标系，轨道间区域Ⅰ内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为；区域Ⅱ内存在竖直向上的磁场，磁感应强度大小，其中为大于0的定值。一正方形光滑闭合金属框静置在轨道上，边和边与轨道平行，其质量为、边长为、电阻为，现对其施加沿轴正向的恒力，金属框进入区域Ⅰ恰好做匀速直线运动，重力加速度大小为。 (1)金属框进入区域Ⅰ时边上感应电流的方向及大小； (2)求静置时边与区域Ⅰ左边界的距离及框穿过区域Ⅰ过程中产生的热量； (3)从金属框边刚进入区域Ⅱ时开始计时，此时金属框的速率为，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，边移动的距离。 例2．（25-26高二下·山东菏泽·期中）如图甲所示，无限长光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨左端接有阻值为的定值电阻，导轨间距为。整个装置处于竖直向下的磁场中，一根与导轨垂直的导体棒在外力作用下，沿导轨向右以速度做匀速直线运动。已知时，导体棒与导轨左端的距离为，磁感应强度大小为，导体棒和导轨的电阻均忽略不计。 (1)若回路中不产生感应电流，请写出磁感应强度随时间的变化关系式； (2)若磁感应强度随时间的变化规律如乙图所示，求： ①时刻外力的大小； ②时间内通过电阻的电荷量。 例3．（25-26高三下·北京西城·开学考试）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。 (1)原子中的电子绕原子核的运动可以等效为环形电流。设氢原子核外的电子以角速度绕核做匀速圆周运动，电子的电荷量为，求等效电流的大小。 (2)如图所示，由绝缘材料制成的质量为、半径为的均匀细圆环，均匀分布总电荷量为的正电荷。施加外力使圆环从静止开始绕通过环心且垂直于环面的轴线加速转动，角速度随时间均匀增加，即（为已知量）。不计圆环上的电荷作加速运动时所产生的电磁辐射。 a、求角速度为时圆环上各点的线速度大小以及此时整个圆环的总动能； b、圆环转动同样也形成等效的环形电流，已知该电流产生的磁场通过圆环的磁通量与该电流成正比，比例系数为（为已知量）。由于环加速转动形成的瞬时电流及其产生的磁场不断变化，圆环中会产生感应电动势，求此感应电动势的大小； c、设圆环转一圈的初、末角速度分别为和，则有。请在a、b问的基础上，通过推导证明圆环每转一圈外力所做的功为定值。 变式1．（2026·山东东营·一模）如图甲所示，线圈A匝数匝，所围面积，电阻。A中有面积的匀强磁场区域，磁感应强度的变化如图乙所示。时刻，磁场方向垂直于线圈平面向下。宽度的足够长的光滑金属轨道（电阻不计）MN、PO与水平面夹角，通过开关S与A相连，两轨间存在的竖直向上的匀强磁场。另有相同的水平金属轨道NH、OC通过位于O、N处一小段光滑的绝缘件与MN、PO平滑连接（如图），在轨道左端CH间接一电阻。水平轨道间存在的竖直向上的磁场，磁感应强度沿x轴按照（单位为T）分布，沿y轴均匀分布。现将长度为L、质量为、电阻为的导体棒ab垂直放于MN、PO上。闭合开关S，棒ab沿轨道由静止向下运动，达最大速度后越过绝缘件继续运动。求： (1)刚闭合开关S时导体棒ab的加速度大小 (2)导体棒ab的最大速度大小 (3)金属棒在水平轨道上运动的位移大小。 变式2．（2025·河北·模拟预测）如图所示，斜面顶部有单匝圆形线圈，其面积，电阻，线圈内有垂直线圈平面向上的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小随时间的变化。线圈与间距为的平行金属导轨相连，导轨固定在倾角的绝缘斜面上。图示虚线下方存在磁感应强度大小的匀强磁场Ⅱ，磁场方向垂直于斜面向上。质量的导体棒垂直导轨放置，其有效电阻，时将其从无磁场区域由静止释放，导体棒沿斜面下滑一段距离后进入磁场Ⅱ中刚好匀速下滑。在运动过程中导体棒与导轨始终保持良好接触，导轨足够长，导体棒与导轨间的动摩擦因数为。不计平行导轨电阻，忽略导体棒进入磁场Ⅱ时回路中的自感现象，重力加速度，，，求： (1)导体棒进入磁场Ⅱ前流过导体棒的感应电流大小和方向； (2)导体棒刚进入磁场Ⅱ时的速度大小； (3)导体棒进入磁场Ⅱ前导体棒上产生的电热。 变式3．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平桌面上，在P处用一小段绝缘材料平滑连接，将金属导轨绝缘隔开，宽导轨左端通过导线相连，窄导轨右端延伸至桌面外，宽窄导轨间距分别为2l和l。在虚线MN左侧导轨间有一面积圆形区域充满竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小与时间t的关系为，其中；MN右侧整个空间内，充满竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。长为l、质量为m的导体棒乙静置于窄导轨上；长为2l、质量也为m的导体棒甲，从MN右侧由静止释放，甲运动至P处之前已匀速。甲通过P处之后，乙开始运动，乙离开导轨时甲还在宽导轨上运动。已知：，，甲的电阻，其余电阻不计，桌面到水平地面的高度，重力加速度g取，两导体棒在导轨上运动始终与导轨垂直且接触良好。 求： (1)甲刚释放时通过甲的电流大小； (2)乙在窄导轨上运动到稳定状态时，甲、乙的速度大小； (3)若仅将桌面以外的窄导轨均切割掉，甲经过P处之后产生的焦耳热为19J，求甲从滑出导轨至落到水平地面上的水平位移大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $感生电动势4种高频考点专项训练 感生电动势4种高频考点专项训练 考点目录 已知磁感应强度随时间的变化的关系式求电动势 由B-t图像计算感生电动势的大小 小球在感生电场中的运动 感生电动势与动生电动势并存 考点一 已知磁感应强度随时间的变化的关系式求电动势 例1．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）如图所示，两根形状相同的光滑金属轨道abcd和平行固定，轨道间距为，轨道段和段位于水平面内，段和段位于竖直平面内，段和段是半径为的圆弧，圆心分别在与、等高的、点，金属轨道两端由阻值为的电阻丝和连接，金属轨道的电阻可忽略不计，在两轨道间存在竖直向上的有界匀强磁场，磁感应强度为，磁场的边界为矩形，不计空气阻力及一切摩擦，重力加速度为。 (1)若磁感应强度（为常数且），试求电阻丝上的电流大小与方向； (2)若磁感应强度恒定不变，将一根长度稍大于，质量为，接入电路的阻值为的导体棒P（图中未画出）从处紧靠轨道由静止释放，导体棒P沿轨道下滑至处时，其对轨道的总压力为，试求该过程中导体棒P上产生的焦耳热； (3)条件与（2）中相同，将导体棒P（图中未画出）从轨道的端以速度向右滑进磁场，并对P施加一大小方向时刻变化的外力，使其能匀速率地沿轨道运动至处，试求该过程中此外力所做的功。 【答案】(1) ，电流方向为 (2) (3) 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，感应电动势 回路总电阻为两端电阻丝串联， 因此电流大小 根据楞次定律，磁感应强度竖直向上增大，感应电流磁场竖直向下，可得电流方向为 （2）导体棒滑到处时，根据牛顿第二定律 根据能量守恒，回路总焦耳热 电路结构：导体棒电阻为电源内阻，外电路和的两个并联，外阻 焦耳热按电阻分配，因此导体棒的焦耳热 （3）导体棒沿圆弧匀速运动，总弧长，总运动时间 感应电动势的瞬时值（），最大值，有效值 电路总电阻 总焦耳热为 导体棒匀速运动，动能变化为0，由能量守恒：外力做功等于重力势能增量与总焦耳热之和，即 因此 例2．（2026·云南昆明·三模）电磁弹射是我国最新研究的重大科技项目，创造了世界领先的关键技术，原理可用下述模型说明。如图甲所示，虚线MN右侧存在一个竖直向上的匀强磁场，边长为的正方形单匝金属线框放在光滑水平面上，电阻为，质量为，边紧靠虚线边界且在磁场外。从时刻起，磁感应强度随时间的变化规律是（为大于零的常量），同时用一水平外力使线框保持静止状态。 (1)求线框中感应电流的大小和方向； (2)写出所加水平外力的大小随时间变化的关系式； (3)若用完全相同的金属线绕制成相同大小的匝线框，并在线框上加一质量为的负载，如图乙所示，当时撤去外力释放线框，求刚撤去外力时线框的加速度大小。 【答案】(1)，沿顺时针方向或 (2) (3) 【详解】（1）线框中的感应电动势 感应电流 根据楞次定律可知感应电流沿顺时针方向或 （2）由于线框静止，则所加的水平外力与安培力平衡，有 外力 解得 （3）匝线框中时刻产生的感应电动势 线框中的电流 时刻线框受到的安培力 设线框的加速度为，根据牛顿第二定律有 解得 例3．（25-26高二下·浙江舟山·期末）如图甲所示为电流天平，其右臂通过轻杆连接着一定质量的矩形线圈，匝数，总电阻，线圈的水平边长，下边处于垂直线圈平面向外的匀强磁场（可调）内。 (1)未通电时天平已调平，当且在左盘放置砝码时，需在线圈中通以多大的电流可使天平再次平衡，并说明所通电流方向为顺时针还是逆时针； (2)未通电时天平未平衡，仅调节的大小后保持不变，当线圈中通过的逆时针方向电流时，左盘砝码调整为能使天平平衡，若仅使电流反向，则左盘砝码调整为能使天平平衡，求调节后的大小； (3)若，线圈无外接电流且闭合，调节天平平衡，在其上部另加一垂直纸面向里宽度为的匀强磁场（），如图乙所示。只要满足左、右盘砝码的质量差，天平能平衡，求的比例系数。 【答案】(1)逆时针，2 A (2)1 T (3)7 【详解】（1）平衡后在左盘中加了砝码，所以右侧的线圈应受到向下的安培力，根据左手定则，可知电流方向应为逆时针 根据平衡条件可知 解得 （2）设未调节平衡时，右侧质量为，电流为逆时针时，根据平衡关系 当电流反向后，安培力反向，根据平衡关系 解得 （3）根据电磁感应定律   结合题中条件，整理得   根据欧姆定律   根据平衡条件   解得 代入已知条件，可得 变式1．（25-26高二下·山东济宁·期中）如图甲所示，将一硬质细导线构成直径为D的单匝圆形导体框，并固定在水平纸面内。虚线MN恰好将导体框分为左右对称的两部分，在虚线MN左侧的空间内存在与纸面垂直的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，规定垂直于纸面向里为磁场的正方向。已知圆形导体框的电阻为。 (1)求导体框中产生的感应电流I的大小和方向； (2)求在时间内，导体框产生的焦耳热。 【答案】(1)，逆时针方向 (2) 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律得 由题意知， 联立可得 由闭合电路的欧姆定律 根据楞次定律的“增反减同” 感应电流的方向为逆时针方向 （2）由焦耳定律 变式2．（2026·河南·三模）如图（a）所示，在光滑绝缘水平面内建立xOy直角坐标系，在区域Ⅰ（，）内分布着垂直该平面向外的匀强磁场；在区域Ⅱ（，）内分布着垂直该平面向外的匀强磁场。该平面内有长为3a、宽为2a，电阻为R、质量为m、匝数为n的长方形金属框，其MN边与y轴重合，N点与坐标原点O重合。时刻区域Ⅰ的磁场从0开始均匀增大，此过程中金属线框在外力F作用下处于静止状态，F随t变化的规律如图（b）所示，已知，，，，，。 (1)写出的时间内区域Ⅰ磁场的磁感应强度随时间t变化的规律； (2)求的时间内金属框上产生的焦耳热Q； (3)若在时，撤去外力F且区域Ⅰ的磁场保持该时刻的大小不再变化，同时使金属框以2m/s的初速度开始向右运动，MN边运动到处恰好停止，运动过程中MN边始终与y轴平行，求区域Ⅱ磁场的磁感应强度的大小（结果可用根号表示）。 【答案】(1) (2)0.32J (3) 【详解】（1）由于时刻区域Ⅰ的磁场从0开始均匀增大，故磁感应强度的大小与时间成正比，设比例系数为，则有 根据法拉第电磁感应定律有 则电路中的感应电流为 由分析可知，金属框MN、PQ两边所受的安培力等大反向，相互抵消，所以NQ边所受的安培力就是金属框所受安培力的合力，则有 由图（b）可知外力F的表达式为 由于在的时间内，金属框静止不动，则由平衡关系有 联立解得 所以的时间内区域Ⅰ磁场的磁感应强度随时间t变化的规律为 （2）的时间内电路中的感应电流为 所以的时间内回路产生的焦耳热为 （3）时，区域Ⅰ的磁感应强度大小为 所以金属框穿越区域Ⅰ的过程，区域Ⅰ的磁感应强度大小始终为，设当金属框MN边运动到处时，其速度为，则根据动量定理有 其中 联立解得 同理对金属框穿越区域Ⅱ的过程，列动量定理方程有 其中 联立解得区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小为 变式3．（25-26高二下·山东聊城·阶段检测）如图所示，在一个匝数为N、横截面积为S、阻值为R的圆形螺线管内充满方向与线圈平面垂直、磁感应强度大小B1随时间均匀变化的匀强磁场，其变化率为k。螺线管右侧连接有位于同一水平面的光滑平行导轨AP、A′P′和倾角为θ=30°的光滑倾斜导轨PQ、P′Q′，导轨间距均为L，其中轨道转弯处P、P′由绝缘材料把水平导轨和倾斜导轨连接开来。倾斜导轨的顶端Q、接有一阻值为R的电阻。水平导轨处于磁感应强度B2=B垂直于轨道平面向下的匀强磁场中。倾斜导轨处于磁感应强度B3=B垂直于轨道平面向下的匀强磁场中，长为L质量为m电阻为R的导体棒垂直于导轨静止放置于水平导轨上。闭合开关K后，导体棒由静止开始运动，导体棒运动到P、P′之前已经匀速。导体棒运动到P、P′时立即断开开关K，导体棒冲上倾斜导轨（导体棒在经过P、P′时动能不损失）。不计其他电阻及阻力，重力加速度为g。求： (1)刚闭合开关时电路中的感应电动势； (2)导体棒第一次到达P、P′的速度； (3)若导体棒冲上斜导轨经过时间又返回斜导轨底端，求这段时间内导体棒产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，刚闭合开关时电路中的感应电动势 （2）导体棒第一次到达P、P′时导体棒切割磁感线产生的电动势等于线圈中产生的感应电动势，则 联立以上解得 （3）对上滑过程，由动量定理得 对下滑过程，由动量定理得 因为 因为上滑过程、下滑过程磁通量变化量相同，即 因为 联立解得 由能量守恒可知，这段时间内电路产生的焦耳热 联立解得 导体棒产生的焦耳热 考点二 由B-t图像计算感生电动势的大小 例1．（25-26高二下·天津·期末）如图甲所示，电阻r＝2 Ω的金属棒ab垂直放置在水平金属导轨上，导轨间距d＝1 m，在导轨左端接有阻值R＝4 Ω的电阻，金属棒距导轨左端的距离L＝1 m。从t＝0时刻开始，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，t＝0.1 s时刻，金属棒恰好沿导轨开始运动。已知金属棒与导轨接触良好，导轨电阻不计。求： (1)0.1 s内，金属棒上所通过的电流大小和方向； (2)0.05 s时刻，金属棒所受磁场作用力的大小和方向。 【答案】(1)感应电流大小为，方向为。 (2)安培力大小为，方向为水平向左。 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律得感应电动势 由图乙得磁感应强度变化率 回路面积 代入得 根据闭合电路欧姆定律，感应电流大小 根据楞次定律：垂直导轨平面向里的磁场增大，感应电流的磁场向外，回路感应电流为逆时针方向，因此金属棒中电流方向为。 （2） 时，磁感应强度 安培力大小 根据左手定则：电流方向为，磁场垂直向里，可得安培力方向为水平向左。 例2．（25-26高二下·重庆·期末）如图甲所示，一圆形金属线圈面积为 ，电阻r=0.1Ω。线圈两端a、b与阻值为R =0.4.Ω的电阻组成闭合回路，导线电阻忽略不计。线圈处在垂直于线圈平面向外的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示。求在0~1.0s的时间内： (1)线圈中产生的感应电动势大小E； (2)电阻R产生的焦耳热。 【答案】(1)1.0V (2)1.6J 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律可得线圈中产生的感应电动势大小为 （2）根据闭合电路欧姆定律可得流过电阻的电流大小为 电阻R产生的焦耳热 例3．（25-26高二下·重庆江津·期末）如图甲所示，间距为、倾角为的平行光滑金属导轨固定放置，其上端用金属杆连接固定。导体棒ab垂直于导轨，并用平行于导轨的绝缘细线将其与金属杆连接，细线长为，导体棒处于静止状态。空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。时，细线拉力刚好为零，此时剪断细线，导体棒从静止开始运动至某一位置处（图中未画出）达到稳定速度，这一过程中通过导体棒横截面的电荷量为。导体棒与导轨始终垂直且接触良好。已知导体棒和金属杆的电阻均为，导轨电阻不计且足够长，重力加速度。求： (1)导体棒ab的质量； (2)剪断细线后，棒ab运动到点的位移大小； (3)从剪断细线后至导体棒运动到点过程中，棒ab上产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）时，拉力为零，据平衡条件有 根据闭合电路欧姆定律及法拉第电磁感应定律有 由图可知 联立解得，I=0.5A （2）根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路欧姆定律有 电荷量为   联立可知 解得 （3）导体棒ab达位置处，有 据平衡条件有 剪断细线后，到导体棒稳定过程，据能量守恒 联立解得 该段时间导体棒ab产生的热量 解得 变式1．（25-26高二下·山西运城·期末）如图甲所示，间距为的平行金属导轨由倾斜部分和水平部分连接而成，导轨光滑且电阻不计。倾斜部分间接一阻值为的电阻，倾角，处在垂直导轨平面的匀强磁场中，其磁感应强度大小未知。水平部分接有面积为、电阻为的单匝线圈（线圈开口处间距忽略不计），线圈水平放置且处在竖直向下的磁场中，磁感应强度随时间变化如图乙所示。将质量为的导体棒垂直倾斜导轨由静止释放，在内导体棒恰好处于静止状态。已知导体棒接入电路的电阻为，，，取。求： (1)内间的电压； (2)磁感应强度的大小和方向。 【答案】(1)4 V (2)1.5T，垂直于斜面向上 【详解】（1）水平线圈感应电动势 总电阻 总电流 ab间的电压为 联立解得 （2）对导体棒，根据平衡条件，有       通过导体棒的电流       联立解得       根据楞次定律，电流的方向从到，根据左手定则，方向垂直于倾斜面向上 变式2．（25-26高二下·云南昆明·期末）如图甲所示，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角，间距，其间分布有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。导轨通过导线与横截面积、匝数匝的金属线圈连接，线圈内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化的规律如图乙所示。垂直于导轨放置的导体棒始终处于静止状态。已知回路中的总电阻，取重力加速度，，。求： (1)通过导体棒的电流大小； (2)导体棒的质量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设线圈产生的感应电动势为，由法拉第电磁感应定律得 设流过导体棒的电流大小为，由闭合电路欧姆定律得 解得 （2）设导体棒的质量为，由共点力平衡条件得 解得 变式3．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）如图甲所示，一边长L=0.4 m、电阻R=0.006 Ω的等边三角形导线框被绝缘细线悬挂，绝缘细线一端连接AC的中点G，另一端固定在天花板上的O点，导线框处于静止状态。部分导线框处于垂直导线框平面向外的匀强磁场中，导线框AD、CD边的中点E、F在磁场的水平边界上，磁场的磁感应强度大小按如图乙所示的规律变化，细线始终拉直。求： (1)t1=3.0 s时，三角形导线框中电流的大小。 (2)t0=0时，三角形导线框所受安培力的大小。 (3)在0~3.0 s时间内，三角形导线框产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导线框中产生的感应电动势 由题图乙可知， 根据几何关系，有 导线框中的电流，解得 （2）时，三角形导线框所受安培力的大小 解得 （3）在0~3.0s时间内，三角形导线框产生的焦耳热 解得 考点三 小球在感生电场中的运动 例1．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图所示，在一水平光滑绝缘塑料板上有一球形凹槽，有一质量为m、电荷量为q的带正电小球，在槽内沿顺时针方向做匀速圆周运动，现加一竖直向上磁场，并且磁感应强度均匀增大，则（     ） A．洛伦兹力改变小球速度大小 B．小球速度不变 C．小球速度变大 D．小球速度变小 【答案】C 【详解】A．因为伦兹力方向始终与速度方向垂直，对小球不做功，不改变小球速度大小，故A错误； B．磁场均匀增大，穿过回路的磁通量发生变化，根据麦克斯韦电磁场理论，空间产生感生电场，电场力对小球做功，小球速度发生改变，故B错误； CD．根据楞次定律，竖直向上的磁场均匀增大，感应磁场方向竖直向下，由安培定则可知感生电场方向为顺时针方向。小球带正电，所受电场力方向为顺时针方向，与小球运动方向（顺时针）相同，电场力做正功，小球动能增加，速度变大，故C正确，D错误； 故选C。 例2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，在一水平光滑绝缘塑料板上有一球形凹槽，有一质量为m、电荷量为q的带正电小球，在槽内沿顺时针方向做匀速圆周运动，现加一竖直向上的磁感应强度均匀减小的磁场，则（     ） A．磁场力让小球速度产生变化 B．小球速度立刻变小 C．小球速度立刻变大 D．小球速度可能不变 【答案】B 【详解】A．磁场力始终与小球速度方向垂直，磁场力不做功，不能使小球速度大小发生变化，故A错误； BC．竖直向上的磁场均匀减小，根据楞次定律，感生电场方向为逆时针方向。小球带正电且沿顺时针方向运动，所受电场力与运动方向相反，电场力做负功，因此小球速度立刻变小，故B正确，C错误； D．感生电场力沿切向且与速度方向相反，对小球做负功，小球速度一定变小，故D错误。 故选B。 例3．（2026·安徽六安·模拟预测）现代科学研究中常用电子感应加速器获得高速电子，甲图为电子感应加速器的侧视图，电磁铁产生的磁场随电磁铁线圈中电流的大小发生变化；乙图为磁极之间真空室的俯视图。真空室中有一个质量为，电荷量为，初速度为零的电子，在变化的磁场中做半径为（恒定不变）的加速圆周运动。垂直穿过圆形轨道面的磁场的磁感应强度随时间变化的关系如图丙所示，在电子加速过程中忽略相对论效应，不计电子重力。则下列判断正确的是（　　） A．电子在轨道中加速的驱动力是洛伦兹力 B．电子加速运动一周增加的动能为 C．电子做圆周运动的向心加速度大小恒定 D．保持通入螺线管的电流大小不变，可使电子不断加速 【答案】B 【详解】A．洛伦兹力始终与电子速度方向垂直，不做功，不能作为加速的驱动力；电子加速的驱动力是感生电场的电场力，故A错误； B．根据法拉第电磁感应定律，电子轨道围成区域的感生电动势为 由丙图得 轨道面积 代入可得 根据动能定理，电子运动一周，动能增加量等于电场力做功，故B正确； C．洛伦兹力提供向心力 电子加速过程中，速度不断增大，轨道处磁感应强度也不断增大，因此向心加速度会持续增大，不是恒定值，故C错误； D．电子感应加速器的原理是变化的磁场激发感生电场，使电子持续加速。要维持电子不断加速，需要磁场持续增强，而磁场由螺线管的电流产生，因此必须增大通入螺线管的电流，故D错误。 故选B。 变式1．（2026·山东泰安·模拟预测）麦克斯韦认为，磁场变化时会在空间激发感生电场。如图甲所示，一个半径为的绝缘光滑细圆环水平放置，环上套一个带电荷量为的小球，时刻开始，在环内区域加一随时间均匀变化的磁场，方向竖直向上，磁感应强度大小随时间的变化如图乙所示。则小球在环上运动一周动能的增加量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据法拉第电磁感应定律，可知感生电场的电动势为 其中， 解得 小球在环上运动一周感生电场对小球的作用力所做功的大小为 根据动能定理，可知小球在环上运动一周动能的增加量为 故选C。 变式2．（25-26高二下·山东滨州·期中）如图所示，水平放置、半径为的环形光滑玻璃圆管内，放置一直径略小于管口径（远远小于）的质量为、电荷量为（）的带电小球P。现在圆环区域内加上竖直向上的匀强磁场，当磁感应强度均匀变化时，在玻璃圆管内产生电场强度大小处处相等的感生电场（电场线闭合的涡旋电场），原来静止的小球P将沿图示方向在管内做圆周运动，运动第一周用时为，小球可看作点电荷且电荷量保持不变。下列说法正确的是（　　） A．圆环区域内竖直向上的匀强磁场一定在均匀减小 B．玻璃圆管内感生电场的电场强度大小为 C．匀强磁场的磁感应强度随时间的变化率为 D．小球第4次回到出发点时的速度大小为 【答案】C 【详解】A．带负电的小球逆时针旋转（俯视），可知产生的电场为顺时针方向，根据楞次定律可知，圆环区域内竖直向上的匀强磁场一定在均匀增加，故A错误； B．根据， 可得玻璃圆管内感生电场的电场强度大小为，故B错误； C．根据法拉第电磁感应定律有 解得匀强磁场的磁感应强度随时间的变化率为，故C正确； D．小球第4次回到出发点时的速度大小为 解得，故D错误。 故选C。 变式3．（2026·河北沧州·二模）绝缘细圆环总质量为m，半径为R，电荷量为Q的正电荷均匀分布在圆环上。用外力使圆环从静止开始绕通过环心且垂直于环面的轴线加速转动，如图所示。角速度ω随时间t均匀增加，即（λ为已知量）。圆环转动形成等效电流，该电流产生的磁场通过圆环的磁通量与该电流成正比，比例系数为k（k为已知量），不计圆环上的电荷作加速运动时所产生的电磁辐射。下列说法正确的是（    ） A．圆环转动形成等效电流的大小为 B．圆环中产生的感应电动势大小为 C．圆环每转一圈动能增加 D．圆环每转一圈外力做功 【答案】C 【详解】A．在圆环上任取一小段Δx，则其电荷量为Δq，则有 经Δt时间形成的等效电流为 结合题意可知， 联立解得，故A错误； B．根据法拉第电磁感应定律可得圆环中产生的电动势大小为，故B错误； C．设圆环转动一周的初、末角速度分别为ω0、ωt，则有 故转动一周圆环动能的增加量，故C正确； D．圆环每转动一周外力所做的功，一部分增加圆环的动能，一部分增加圆环的电能，根据功能关系则有，故D错误。 故选C。 考点四 感生电动势与动生电动势并存 例1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）如图所示，两足够长水平绝缘轨道彼此平行且间距为。以轨道上点为坐标原点，水平向右为轴正方向建立坐标系，轨道间区域Ⅰ内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为；区域Ⅱ内存在竖直向上的磁场，磁感应强度大小，其中为大于0的定值。一正方形光滑闭合金属框静置在轨道上，边和边与轨道平行，其质量为、边长为、电阻为，现对其施加沿轴正向的恒力，金属框进入区域Ⅰ恰好做匀速直线运动，重力加速度大小为。 (1)金属框进入区域Ⅰ时边上感应电流的方向及大小； (2)求静置时边与区域Ⅰ左边界的距离及框穿过区域Ⅰ过程中产生的热量； (3)从金属框边刚进入区域Ⅱ时开始计时，此时金属框的速率为，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，边移动的距离。 【答案】(1)方向为从到； (2)； (3) 【详解】（1）由右手定则可知，感应电流方向为从到。 由匀速直线运动可知 可得 （2）设金属框进入区域Ⅰ时速度为，产生的感应电动势，感应电流 得到 设静置时边与区域Ⅰ左边界的距离为，由动能定理可知 则有 因为匀速穿过，所以 （3）可看作由一个大小随时间均匀变化的磁场和一个大小随空间均匀变化但不随时间改变的磁场叠加而成，金属框进入区域Ⅱ后既产生动生电动势也同时产生感生电动势，根据楞次定律可知二者方向相同，回路中总电动势是二者之和。（也可求出回路磁通量对时间求导） 或 其中指边和边各自所在位置处的磁感应强度之差，则在任意时刻 回路中电流 注意到边所受安培力向左，边所受安培力向右，金属框所受安培力合力为，方向水平向左 金属框平衡时，，可知 设金属框停止用时为，在此过程中，根据动量定理可得 即  又 解得此过程中边位移 例2．（25-26高二下·山东菏泽·期中）如图甲所示，无限长光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨左端接有阻值为的定值电阻，导轨间距为。整个装置处于竖直向下的磁场中，一根与导轨垂直的导体棒在外力作用下，沿导轨向右以速度做匀速直线运动。已知时，导体棒与导轨左端的距离为，磁感应强度大小为，导体棒和导轨的电阻均忽略不计。 (1)若回路中不产生感应电流，请写出磁感应强度随时间的变化关系式； (2)若磁感应强度随时间的变化规律如乙图所示，求： ①时刻外力的大小； ②时间内通过电阻的电荷量。 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）若回路中不产生感应电流，则磁通量不变化，有   磁感应强度随时间的变化关系式为   （2）①由乙图得随的变化关系为，变化率 时，安培力   动生电动势   感生电动势   总电动势   回路中电流   时刻外力的大小   ②，， 联立得   时   时 时间内通过电阻的电荷量 例3．（25-26高三下·北京西城·开学考试）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。 (1)原子中的电子绕原子核的运动可以等效为环形电流。设氢原子核外的电子以角速度绕核做匀速圆周运动，电子的电荷量为，求等效电流的大小。 (2)如图所示，由绝缘材料制成的质量为、半径为的均匀细圆环，均匀分布总电荷量为的正电荷。施加外力使圆环从静止开始绕通过环心且垂直于环面的轴线加速转动，角速度随时间均匀增加，即（为已知量）。不计圆环上的电荷作加速运动时所产生的电磁辐射。 a、求角速度为时圆环上各点的线速度大小以及此时整个圆环的总动能； b、圆环转动同样也形成等效的环形电流，已知该电流产生的磁场通过圆环的磁通量与该电流成正比，比例系数为（为已知量）。由于环加速转动形成的瞬时电流及其产生的磁场不断变化，圆环中会产生感应电动势，求此感应电动势的大小； c、设圆环转一圈的初、末角速度分别为和，则有。请在a、b问的基础上，通过推导证明圆环每转一圈外力所做的功为定值。 【答案】(1) (2)a．，；b．；c．见解析 【详解】（1）等效电流的大小为 （2）a．角速度为时圆环上各点的线速度大小为 整个圆环的总动能为 b．角速度随时间t均匀增加，即，则等效电流为 磁通量与该电流成正比，比例系数为k，根据法拉第电磁感应定律有 c．圆环每转一圈外力所做的功,一部分增加了电能,另一部分使圆环动能增加。圆环每转一圈电能的增加量，为定值 圆环转一圈的初、末动能分别为， 则，为定值 根据功能关系有 可知圆环每转一圈外力所做的功W为定值。 变式1．（2026·山东东营·一模）如图甲所示，线圈A匝数匝，所围面积，电阻。A中有面积的匀强磁场区域，磁感应强度的变化如图乙所示。时刻，磁场方向垂直于线圈平面向下。宽度的足够长的光滑金属轨道（电阻不计）MN、PO与水平面夹角，通过开关S与A相连，两轨间存在的竖直向上的匀强磁场。另有相同的水平金属轨道NH、OC通过位于O、N处一小段光滑的绝缘件与MN、PO平滑连接（如图），在轨道左端CH间接一电阻。水平轨道间存在的竖直向上的磁场，磁感应强度沿x轴按照（单位为T）分布，沿y轴均匀分布。现将长度为L、质量为、电阻为的导体棒ab垂直放于MN、PO上。闭合开关S，棒ab沿轨道由静止向下运动，达最大速度后越过绝缘件继续运动。求： (1)刚闭合开关S时导体棒ab的加速度大小 (2)导体棒ab的最大速度大小 (3)金属棒在水平轨道上运动的位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）线圈A感应电动势 闭合开关S后电流 对导体棒有 联立解得 （2）导体棒到达最大速度时有 由闭合电路欧姆定律 而总电动势 其中 联立解得 （3）导体棒速度为时 规定向左为正方向，根据动量定理可得 其中 解得 变式2．（2025·河北·模拟预测）如图所示，斜面顶部有单匝圆形线圈，其面积，电阻，线圈内有垂直线圈平面向上的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小随时间的变化。线圈与间距为的平行金属导轨相连，导轨固定在倾角的绝缘斜面上。图示虚线下方存在磁感应强度大小的匀强磁场Ⅱ，磁场方向垂直于斜面向上。质量的导体棒垂直导轨放置，其有效电阻，时将其从无磁场区域由静止释放，导体棒沿斜面下滑一段距离后进入磁场Ⅱ中刚好匀速下滑。在运动过程中导体棒与导轨始终保持良好接触，导轨足够长，导体棒与导轨间的动摩擦因数为。不计平行导轨电阻，忽略导体棒进入磁场Ⅱ时回路中的自感现象，重力加速度，，，求： (1)导体棒进入磁场Ⅱ前流过导体棒的感应电流大小和方向； (2)导体棒刚进入磁场Ⅱ时的速度大小； (3)导体棒进入磁场Ⅱ前导体棒上产生的电热。 【答案】(1)0.4A，电流方向由b到a (2) (3)0.144J 【详解】（1）导体棒进入磁场Ⅱ前，只有感生电动势，由法拉第电磁感应定律，斜面顶部线圈产生的感应电动势为 产生的感应电流为 代入数据可得 根据楞次定律可得电流方向由b到a （2）导体棒沿斜面下滑一段距离进入磁场Ⅱ中后，既有感生电动势，又有动生电动势，且二者在回路中产生的电流方向相同。导体棒在磁场Ⅱ中切割磁感线产生的感应电流方向为b到a，回路中的感应电动势为，由闭合电路欧姆定律可得 动生电动势大小为 导体棒匀速下滑，由平衡条件可得 联立解得导体棒刚进入磁场Ⅱ时的速度 （3）导体棒在进入磁场Ⅱ前，做初速度为零的匀加速直线运动 由牛顿第二定律得 解得 导体棒进入磁场Ⅱ前的运动时间为 导体棒进入磁场Ⅱ前，其产生的电热为 变式3．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平桌面上，在P处用一小段绝缘材料平滑连接，将金属导轨绝缘隔开，宽导轨左端通过导线相连，窄导轨右端延伸至桌面外，宽窄导轨间距分别为2l和l。在虚线MN左侧导轨间有一面积圆形区域充满竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小与时间t的关系为，其中；MN右侧整个空间内，充满竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。长为l、质量为m的导体棒乙静置于窄导轨上；长为2l、质量也为m的导体棒甲，从MN右侧由静止释放，甲运动至P处之前已匀速。甲通过P处之后，乙开始运动，乙离开导轨时甲还在宽导轨上运动。已知：，，甲的电阻，其余电阻不计，桌面到水平地面的高度，重力加速度g取，两导体棒在导轨上运动始终与导轨垂直且接触良好。 求： (1)甲刚释放时通过甲的电流大小； (2)乙在窄导轨上运动到稳定状态时，甲、乙的速度大小； (3)若仅将桌面以外的窄导轨均切割掉，甲经过P处之后产生的焦耳热为19J，求甲从滑出导轨至落到水平地面上的水平位移大小。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）设甲刚放上导轨时左侧圆形区域产生的感应电动势为， 根据法拉第电磁感应定律可得    由题意可知 代入上式解得感应电动势为 所以甲刚释放时通过甲的电流大小为 （2）由题意可知，甲刚向右运动过程中，与左侧导线构成回路，当甲切割磁感线产生的动生电动势等于左侧圆形区域产生的感生电动势时，甲达到稳定速度，设此时甲的速度为，即 代入数据解得 甲经过绝缘材料P后，与乙构成新的回路，设达到新的稳定状态时甲的速度为，对甲列动量定理有：     设达到新的稳定状态时，乙的速度为，对乙列动量定理有：     又因为导体棒甲、乙稳定后产生的电动势大小相等，即：   综合解得， （3）根据能量守恒定律可知，乙从开始加速到达到稳定状态过程中甲产生的焦耳热为     解得    即若仅将桌面以外的窄导轨均切割掉后，乙离开轨道时，甲、乙的运动还没有达到稳定状态，对甲列动量定理有：    对乙列动量定理有：    根据能量守恒定律有甲经过P处之后产生的焦耳热为     综合解得， 或，（舍） 甲离开轨道后做平抛运动，竖直方向自由落体有     解得 水平方向匀速直线运动位移为   即甲从滑出导轨至落到水平地面上的水平位移大小为2m。 2 学科网（北京）股份有限公司 $