课时作业56 向量法求空间角(一) -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦向量法求空间角，通过四棱锥、正三棱柱等几何体情境系统覆盖异面直线所成角、线面角计算，强化坐标系建立与向量运算的逻辑应用，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|8题（选择、填空）|含正方体、曲池等几何体，考查异面直线所成角、线面角的余弦值/正弦值|从空间直角坐标系建立，到方向向量、法向量求解，再到向量夹角公式应用，形成“建系-求向量-算角”完整推导链条| |综合应用|2题（解答）|结合四棱柱、正四棱锥证明与计算，涉及法向量判定及空间角正弦值求解|以教材改编题与高考真题为载体，体现从概念理解（如法向量定义）到综合应用（如线面垂直证明）的知识拓展|

课时作业(五十六)　向量法求空间角(一) 一、单项选择题 1．(2025·盐城月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝2DC，E为PC上一点，且PC＝4EC，则异面直线AC与BE所成角的余弦值为(　　) A．－ B． C． D．－ 2．(2025·宿迁期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1，P为B1C1的中点，则直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 3．(2026·合肥模拟)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种名为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 4．(人教A版选择性必修第一册P41练习T3改编)在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2AD＝1，则SC与平面ABCD所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 5．(2025·长沙月考)在三棱锥P-ABC中，P(2，2，0)，A(4，0，6)，B(0，4，2)，C(0，0，4)，则(　　) A．|PB|＝2 B．直线CA与直线CB所成角的余弦值为－ C．向量n＝(－1，1，2)是平面ABC的一个法向量 D．PB与平面ABC所成角的正弦值为 6．(人教A版必修第二册P152例4改编)如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱CD上的两点，且AB＝2，EF＝1，则下列说法中不正确的有(　　) A．异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45° B．异面直线B1D1与EF所成的角的大小为30° C．直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为45° D．直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为60° 三、填空题 7．(2025·牡丹江月考)若直线l的方向向量为a＝(2，－3，)，向量n＝(1，0，0)是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的大小为________． 8．(人教B版选择性必修第一册P48练习B T3改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线AD1与平面BDE所成角的正弦值为________． 四、解答题 9．(13分)(2025·商洛期末)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形AA1B1B是菱形，点P在线段B1C1上，AB⊥AD，平面AA1B1B⊥平面ABCD． (1)证明：A1B⊥B1D； (2)已知∠ABB1＝，AB＝AD＝2，B1P＝，求直线A1B与平面ABP所成角的正弦值． 10．(15分)(2024·上海卷)如图，在正四棱锥P-ABCD中，O为底面ABCD的中心． (1)若AP＝5，AD＝3，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积； (2)若AP＝AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小． 课时作业(五十六) 1．B　[以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 设PD＝2，则AB＝AD＝BC＝CD＝1， 可得A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)， 由PC＝4EC， 得E， 所以＝(－1，1，0)，， 可得cos〈〉＝ ＝， 所以异面直线AC与BE所成角的余弦值为． 故选B．] 2．A　[以过点A作平面ACC1A1的垂线为x轴，以AC，AA1所在直线分别为y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则平面ACC1A1的一个法向量为n＝(1，0，0)， 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AB＝AA1＝2， 则B(，1，0)， P， 所以， 设直线BP与平面ACC1A1所成的角为θ． 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝， 所以直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值为．故选A．] 3．A　[设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，O1C1，O1B1， 以O为坐标原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 则C(1，0，0)，A(0，2，0)，B1(0，1，2)，D1(2，0，2)， 则＝(1，0，2)，＝(0，－1，2)， cos〈〉＝ ＝， 又异面直线所成角的范围为， 故异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为． 故选A．] 4．A　[因为SA⊥平面ABCD，AD，AB⊂平面ABCD， 所以SA⊥AD，SA⊥AB，又底面ABCD是直角梯形，且BC＝2AD＝1，∠ABC＝90°，所以∠BAD＝90°，即AD⊥AB． 如图，以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由SA＝AB＝BC＝2AD＝1，可得A(0，0，0)，S(0，0，1)，C(1，1，0)， 所以＝(1，1，－1)， 因为SA⊥平面ABCD，所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，设SC与平面ABCD所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈〉|＝， 即直线SC与平面ABCD所成角的正弦值为，则SC与平面ABCD所成角的余弦值为．故选A．] 5．ACD　[∵P(2，2，0)，B(0，4，2)， ∴|PB|＝＝2，故A正确； ∵A(4，0，6)，B(0，4，2)，C(0，0，4)， ∴＝(4，0，2)，＝(0，4，－2)， ∴cos〈〉＝ ＝＝－， ∵两直线所成角的取值范围为， ∴直线CA与直线CB夹角的余弦值为，故B错误； ∵n＝(－1，1，2)，且·n＝4×(－1)＋0×1＋2×2＝0，·n＝0×(－1)＋4×1＋(－2)×2＝0， ∴n是平面ABC的一个法向量，故C正确； ∵P(2，2，0)，B(0，4，2)，∴＝(－2，2，2)， ∴PB与平面ABC所成角的正弦值为|cos〈，n〉|＝，故D正确． 故选ACD．] 6．BCD　[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，B1(2，2，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，易知＝(2，2，0)，＝(0，1，0)，所以cos 〈〉＝，所以异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45°，故A正确，B错误．连接A1D，B1C，由题意可知平面B1EF即为平面A1B1CD，设平面A1B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝n·＝0．又＝(0，2，0)，＝(2，0，2)，所以令x＝1，得n＝(1，0，－1)为平面A1B1CD的一个法向量，所以cos〈，n〉＝，所以直线B1D1与平面A1B1CD所成的角为30°，即直线B1D1与平面B1EF所成角的大小为30°，故C，D错误．故选BCD．] 7．　[设直线l与平面α所成的角为θ， 因为直线l的方向向量为a＝(2，－3，)，向量n＝(1，0，0)是平面α的一个法向量， 所以sin θ＝|cos〈a，n〉|＝， 因为θ∈，所以θ＝．] 8．　[由题意，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)， E(0，2，1)，D1(0，0，2)， 所以＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，＝(－2，0，2)， 设平面BDE的法向量为m＝(x，y，z)， 则 即令x＝1，得y＝－1，z＝2，则m＝(1，－1，2)为平面BDE的一个法向量． 设直线AD1与平面BDE所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈，m〉|＝．] 9．(1)证明：设AB1∩A1B＝O，因为平面AA1B1B⊥平面ABCD，且平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，且AD⊂平面ABCD， 所以AD⊥平面AA1B1B，又A1B⊂平面AA1B1B，则AD⊥A1B， 因为四边形AA1B1B是菱形，则AB1⊥A1B， 因为AB1∩AD＝A，AB1，AD⊂平面AB1D， 故A1B⊥平面AB1D， 因为B1D⊂平面AB1D， 所以A1B⊥B1D． (2)解：设CD1∩C1D＝H，连接OH，分别以OB，OB1，OH所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 因为∠ABB1＝，所以△ABB1为正三角形， 故A1O＝BO＝AB＝， 依题意可得，A1(－，0，0)，B(，0，0)， A(0，－1，0)，P(0，1，)， 则＝(2，0，0)，＝(，1，0)， ＝(0，2，)， 设平面ABP的法向量为n＝(x，y，z)， 则 故可取n＝(1，－，2)为平面ABP的一个法向量， 设直线A1B与平面ABP所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝． 10．解：(1)因为四棱锥P-ABCD是正四棱锥， 所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面ABCD， 因为AD＝3， 所以AO＝OD＝OB＝OC＝3， 因为AP＝5， 所以PO＝＝4， 所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是底面半径为3，高为4的圆锥， 所以V圆锥＝Sh＝π×32×4＝12π． (2)如图，建立空间直角坐标系， 因为AP＝AD，由题知四棱锥P-ABCD是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等， 设AB＝a，a>0， 则AO＝OD＝OB ＝OC＝a，PO＝＝a， 则O(0，0，0)，P(0，0，a)，A(0，－a，0)， B(a，0，0)，C(0，a，0)，D(－a，0，0)，E， 故＝(－2a，0，0)，＝(0，2a，0)，， 设n＝(x1，y1，z1)为平面AEC的法向量， 则 即令x1＝1，则y1＝0，z1＝－1， 所以n＝(1，0，－1)为平面AEC的一个法向量， 则cos〈n，〉＝＝－， 设直线BD与平面AEC所成的角为θ， 因为sin θ＝|cos〈n，〉|＝，θ∈， 所以θ＝， 故直线BD与平面AEC所成角的大小为． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $