专题 28.3 旋转全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学旋转全章复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，将图形旋转、中心对称、中心对称图形及原点对称点坐标等核心概念按逻辑关系整合，用对比表格区分易混点，如中心对称与中心对称图形的差异，突出旋转性质等重点及旋转构造全等的难点。 讲义亮点在于分层题型设计，夯实基础部分通过旋转三要素辨析等题型巩固概念，综合提升聚焦手拉手全等、正方形半角等模型，培养推理能力与空间观念。同步检测涵盖选择、填空、解答题，方法总结如旋转角判定标准助力学生自主复习，教师可据此实施分层教学提升效率。

专题 28.3 旋转全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】图形的旋转 2 【知识点二】中心对称及其性质 2 【知识点三】中心对称图形 2 【知识点三】关于原点对称的点的坐标 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】旋转三要素辨析与旋转角计算 3 【题型2】中心对称图形与轴对称图形辨析 6 【题型3】平面直角坐标系对称点坐标计算 8 【题型4】旋转与中心对称规范作图 10 三.题型精析（综合提升） 14 【题型5】旋转性质综合求角度、线段长度 14 【题型6】手拉手旋转全等模型（必考证明） 18 【题型7】正方形半角旋转模型（45°压轴） 24 【题型8】坐标系旋转90°坐标变换综合 34 四.同步检测 40 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 40 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 46 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 54 一.学习目标重难点 学习目标与重难点 1. 掌握旋转、中心对称、中心对称图形的概念与核心性质，明确旋转与中心对称的联系和区别。 2. 熟练运用旋转性质求解角度、线段长度，熟记平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标规律。 3. 掌握旋转、中心对称图形的作图方法，能够快速识别常见中心对称图形。 4. 熟练掌握旋转经典模型，包括旋转全等、手拉手模型、半角模型，能够解决几何证明、计算及压轴题型。 重点：旋转的性质、中心对称的性质、原点对称点坐标规律、几何图形旋转作图。 难点：利用旋转构造全等三角形解决几何综合问题；区分中心对称与中心对称图形；旋转压轴题型的综合应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】图形的旋转 核心要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度（旋转三要素）。旋转属于全等变换，变换前后图形形状、大小完全不变，仅位置发生改变。 1. 定义：把一个平面图形绕平面内某一定点O转动一个角度的图形变换，叫做图形的旋转。定点O为旋转中心，转动的角度为旋转角。 2. 旋转的核心性质 ① 对应点到旋转中心的距离相等； ② 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③ 旋转前后的图形全等，对应线段相等、对应角相等。 补充提示：旋转方向分为顺时针和逆时针；旋转中心可在图形内部、边上或外部。 【知识点二】中心对称及其性质 核心定位：中心对称是特殊的旋转，旋转角度为180°。 1. 定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若能与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点中心对称，这个点叫做对称中心。 2. 中心对称性质 ① 关于中心对称的两个图形全等； ② 对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 关键区分：中心对称描述两个图形之间的位置关系。 【知识点三】中心对称图形 1. 定义：将一个图形绕某一定点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形即为中心对称图形。 2. 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。 易错提醒：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形均不是中心对称图形。 关键区分：中心对称图形描述一个图形自身的特征。 【知识点四】关于原点对称的点的坐标 平面直角坐标系中，任意一点P（x，y）关于原点O对称的点的坐标为 P'（-x，-y）（横、纵坐标均变为相反数）。 坐标拓展对比 ① 关于x轴对称：（x，y） → （x，-y） ② 关于y轴对称：（x，y） → （-x，y） ③ 关于原点对称：（x，y） → （-x，-y） 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】旋转三要素辨析与旋转角计算 【例题1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 （1）旋转中心是点______，旋转角是________和_____； （2）当旋转角为时，求的度数． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质， （1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． （1）解： 将绕点顺时针旋转一定角度得到， 旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； （2）将绕点顺时针旋转一定角度得到， ，，， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·湖北黄冈·期末）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：，求出即可求解； 解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【变式2】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为__________． 【答案】/150度 【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案． 解：∵将一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到， ∴与是对应边， ∴旋转角． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，正方形中，E在上，按逆时针方向转动一个角度后成． （1）图中哪一点是旋转中心． （2）求旋转角度． （3）求的度数并指出的形状． 【答案】（1）D；（2）90°；（3）=90°，为等腰直角三角形． 【分析】（1）根据旋转的特点直接得出结果； （2）由CD旋转得AD即可得出旋转角的度数； （3）根据旋转的性质即可得出结论． 解：（1）由图可知，旋转中心为点D； （2）∵CD绕点D旋转得AD， ∴∠CDA为旋转角， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CDA=90°， ∴旋转角为90°； （3）∵△DGA由△DEC旋转得到， ∴DG=DE，∠GDE=∠ADC=90°， ∴△DGE是等腰直角三角形． 【点拨】本题考查旋转，理解旋转的三要素和旋转图形的性质是解题的关键． 方法总结：旋转角唯一判定标准：旧顶点—旋转中心—新顶点，与图形原有内角无关。做题先找旋转中心，再锁定对应点。 【题型2】中心对称图形与轴对称图形辨析 【例题2】（2025九年级·全国·专题练习）下列图形中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？请画出它们的对称中心或所有的对称轴． 【答案】中心对称图形：①②③④．轴对称图形：①②③．如图，点O即为对称中心，图中的虚线即为对称轴． 【分析】本题考查了作图-旋转变换、轴对称变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于且等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．解题的关键是熟练掌握基本知识． 利用中心对称图形和轴对称图形的定义对个图形进行判断；然后画出对应的对称轴和对称中心． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义对各个选项进行判断即可． 解：A. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）举例一个图形，要求：既是中心对称图形又是轴对称图形的：___________． 【答案】圆（答案不唯一） 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，轴对称图形的定义． 选择同时具有中心对称性和轴对称性的图形即可． 解：圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 以圆心为对称中心，旋转后与自身重合； 以任意直径为对称轴，对折后两部分完全重合． 故答案为：圆（答案不唯一）． 【变式3】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，下列为三幅刺绣作品． （1）这三幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． （2）明明和亮亮都很喜欢刺绣作品，每人都准备购买一款刺绣盲盒（盒中随机装有①②③这3个刺绣作品中的一款），求两人购买到的作品都为中心对称图形的概率． 【答案】（1）2；（2）两人购买到的作品都为中心对称图形的概率为 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别，用树状图法求概率． （1）根据中心对称图形的定义，即可求解； （2）画树状图求概率即可求解． （1）解：这三幅刺绣作品中，是中心对称图形的有①③，共2个 故答案为：2 （2）将①②③依次编号为、、， 树状图如下所示： 由上可得，一共有9种可能性，其中两人购买到的作品都为中心对称图形的可能性有4种，故两人购买到的作品都为中心对称图形的概率为． 方法总结： 1. 仅轴对称：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形； 2. 仅中心对称：普通平行四边形； 3. 双对称（既是轴对又是中心对）：矩形、菱形、正方形、圆、线段。 【题型3】平面直角坐标系对称点坐标计算 【例题3】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）将绕点旋转，画出旋转后对应的，并写出点，，的坐标； （2）内一点的坐标为，将点先向上平移1个单位长度后，再将所得的点作关于原点的对称点，所得的点的坐标为_____． 【答案】（1）如图，即所求． ，，；（2） 【分析】（1）找出点绕点旋转的点、、，顺次连接可得，再写出点、、的坐标即可； （2）根据平移规律得平移后点的坐标为，再根据两点关于原点对称的性质可得对称点的坐标为； 解：（1）图略 由图可知，，，． （2）将点向上平移1个单位长度，对应点的坐标为， 再将点作关于原点的对称点，所得的点的坐标为． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若点与点关于原点对称，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出x，y的值即可得出答案． 解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，求出和的值，再代入计算即可求解． 解：∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点的坐标为，点的坐标为，请根据以下要求完成任务． （1）若点，关于原点成中心对称，则点的坐标为（_______，_______）． （2）作正方形，要求点，均在第一象限内，且横、纵坐标都为整数． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，由此可解； （2）根据正方形的四条边相等，四个角均为90度，利用格点作图即可． （1）解：点，关于原点成中心对称，点的坐标为， 点C的坐标为； （2）略 易错警示：原点对称是旋转180°，区别于90°旋转坐标变换，切勿混淆。 【题型4】旋转与中心对称规范作图 【例题4】（25-26八年级下·湖南湘潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）把向右平移5个单位，再向上平移1个单位，画出平移后的； （2）已知与关于原点O成中心对称，请在图中画出． 【答案】（1）如图，即为所作； （2）即为所作． 【分析】（1）利用平移坐标变化规律求出平移之后、、坐标，描点连线画出图形； （2）利用关于原点中心对称坐标变化特点求出、、坐标，描点得到． （1）解：∵向右平移个单位，横坐标；向上平移个单位，纵坐标， ，，， ∴，，． 在坐标系描出三点，依次连接，得到． （2）解：∵点关于原点对称时横纵坐标均互为相反数， ∴，，， 在坐标系描出三点，依次连接，得到． 【变式1】（2023·山东青岛·模拟预测）如图，把 经过一定的变换得到 ，如果上的点P 的坐标为，那么它的对应点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转中心坐标的计算，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法；根据题意可知旋转中心坐标为，再根据中点坐标公式的计算方法求解即可． 解：由图可知，与关于成中心对称，设， ， 解得， ． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则______． 【答案】0 【分析】关于原点中心对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，先求出的值，再代入计算即可． 解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， 解得， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）点关于坐标原点对称的点的坐标为__________； （2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）若A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形的位置发生怎样的变化? 【答案】（1）；（2）如图所示，即为所求作的图形； （3）图形的位置是向右平移了3个单位 【分析】（1）根据两个点关于原点对称时，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得出答案； （2）分别找到点A、B绕着点C顺时针旋转以后的对应点、，然后顺次连接即可得出旋转后的图形； （3）横坐标都加3，纵坐标不变，根据平移规律：左右平移点的纵坐标不变，上下平移时点的横坐标不变即可得出图形向右平移了3个单位长度． （1）解：∵， ∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为． （2）略 （3）解：∵A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变， ∴图形的位置是向右平移了3个单位． 标准作图四步骤： 1. 找点：求出各顶点原点对称坐标； 2. 定点：在坐标系中标出所有对应点； 3. 连线：按照原图形顺序依次连接； 4. 标注：标注新图形顶点字母，完成作图。 核心依据：中心对称旋转180°，对应点连线过原点且被原点平分。 三.题型精析（综合提升） 【题型5】旋转性质综合求角度、线段长度 【例题5】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如图所示，已知，点为上一点，连接、，平分，平分． （1）求证：； （2）将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数； （3）探究旋转后线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， 平分，平分（已知）， ，（角平分线的性质）， ， ． （2） （3）解：，理由如下， 延长与交于点，由旋转性质和对顶角性质得， ， ， ， ． 【分析】（1）利用平行线性质得到，再由平分，平分，得到，．从而推出，则求证可证； （2）利用图形旋转的性质得到 ，再由直角三角形两个锐角互余求出，则的度数可求； （3）延长与交于点，由题意，，根据等量代换求出，则求证可证． 解：（1）略； （2）解：由旋转可得， 故 ， ∵， ． （3）略． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角相等，判断A、B、C选项的结论．因为已知，旋转角为，所以可得到的大小．在中，已知、的长度和为直角，使用勾股定理计算的长度，判断D选项的结论． 解：A、由旋转，得，∴A正确； B、由旋转，得，∴B正确； C、由旋转，得，∴C正确； D、∵， ， ． ∴D错误． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 【答案】/80度 【分析】由旋转的性质可知，，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 解：由旋转的性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． （1）和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ （2）与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）可看成绕点D顺时针旋转得到 （2）解：，理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是斜边上的高， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明， 即可得到结论． （1）解：可看成绕点D顺时针旋转得到． 理由如下： ∵经过旋转到了的位置， ∴，． ∵为斜边上的高， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴绕点D顺时针旋转得到． （2）略 解题技巧：旋转题求角度，优先利用「旋转角相等、对应角相等」转化已知角度。 【题型6】手拉手旋转全等模型（必考证明） 模型特征：共顶点、双等腰、顶角相等 【例题6】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）已知是等边三角形，点P是平面内一动点． （1）如图1，若点P是等边三角形内的一点，，，．若是外的一点，且，求点P与点之间的距离及的度数． （2）如图2，若点P在等边三角形外部，当，，时，求的面积． 【答案】（1）点P与点之间的距离为6；；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． （1）连接，证明是等边三角形，得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）把绕点逆时针旋转至，连接，过点作于点，先证明是等边三角形，再证明点三点共线，在中，求出高即可． （1）解：连接，如图所示：    是等边三角形内的一点， ， ， ， ，即， 是等边三角形， ，， 在中， ， ； （2）解：在等边中，， 把绕点逆时针旋转至，连接，过点作于点，    ， ，，， ， 即， 是等边三角形， ， ， 点三点共线， 在中，， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，点D是等边三角形内一点，，，，是由绕点A逆时针旋转得到的，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由旋转的性质可证明是等边三角形，得，再由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形得出，进而求出，利用等边对等角求出，从而可得出结论． 解：连接，如图： ∵是等边三角形， ∴， ， 由旋转的性质可得， ∴，即， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，解本题的关键是判断出是等边三角形． 【变式2】（第23章旋转全章复习与测试【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版））如图，，都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．写出一种由得到的变化过程：__． 【答案】绕点A逆时针旋转得到． 【分析】此题主要考查了几何变换的类型、等边三角形的性质以及图形的旋转，解答本题的关键是掌握旋转的性质和等边三角形的性质．旋转的性质： 利用等边三角形的性质和已知条件证明与全等，可绕点逆时针旋转得到． 解：，都是等边三角形， ，，， ， 即， 在于中， ， ， ， 绕点逆时针旋转得到． 故答案为：绕点A逆时针旋转． 【变式3】（24-25九年级上·福建三明·期中）如图①，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点M，连接、． （1）探究线段的关系，并加以证明； （2）其他条件不变，将正方形绕点C旋转任意角度后（如图②），探究线段的关系，并加以证明． 【答案】（1），， 证明：如图，延长交于点N，连接， ∵正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，   ∴， 又∵正方形， ∴，，， 又∵正方形， ∴． ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴M为的中点， ∴， ∴，． （2），， 证明：如图，延长到N，使，连接，延长与延长线交于点H． 在与中， ∵， ∴， ∴，， 又∵正方形、，   ∴，，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 在与中，   ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴M为的中点， ∴， ∴，． 【分析】（1）延长交于点N，连接，易证，证得，再证明，得到．从而根据等腰直角三角形的判定与性质证得，； （2）延长到N，使，连接，延长与延长线交于点H．证明，即可根据等腰直角三角形的判定与性质得到线段的位置及数量关系． 解：（1）略 （2）略 【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质和旋转的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 模型结论：共顶点等腰旋转，必出全等，对应边相等、对应夹角相等。 【题型7】正方形半角旋转模型（45°压轴） 【例题7】（24-25七年级下·河南信阳·期末）阅读理解题 先阅读下列内容，再完成后面的任务． 我们知道：轴对称、平移和旋转都是全等变换，通过这些变换所得到的图形与原来的图形相比，形状和大小都没有改变，即其对应的边、角没有改变．可以运用图形变换的这些特征解决一些实际问题． 问题：如何把线段AB分成三段，将这三段线段首尾连接起来恰好构成一个直角三角形？ 作法：如下： 说明理由： 方法一：轴对称法 如图1，作△CAD关于直线CD的对称图形△CFD，则； ∴∠DCF=_______①； DF=_______②；； ∠CFD=∠A=________（填角度数）③． 连接EF， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴将△CEB沿直线CE对折就与△CEF完全重合， ∴． ∴EF=EB， ， ∴∠DFE=∠CFD+∠CFE=_______④． ∴线段AD、DE、EB首尾连接可构成直角三角形DFE． 方法二：旋转法 如图2，将△CAD绕点C逆时针旋转，得到△CBF，则，连接EF． …… 任务一、填空完善方法1； 任务二、仿照“方法1”完成“方法2”的说理． 【答案】任务一：①；②；③；④；任务二：见解析 【分析】任务一：作关于直线的对称图形，则，根据全等三角形的性质可得，，，，连接，再根据角的和差、等量代换可得，然后根据轴对称的性质得出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，由此即可得； 任务二：将绕点逆时针旋转，得到，则，连接．根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据轴对称的性质得出，根据全等三角形的性质可得，然后根据角的和差可得，由此即可得． 解：任务一：如图1，作关于直线的对称图形，则； ∴； ；； ． 连接， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴将沿直线对折就与完全重合， ∴． ∴， ， ∴． ∴线段、、首尾连接可构成直角三角形． 故答案为：①∠1；②AD；③45°；④90°； 任务二：如图2，将绕点逆时针旋转，得到，则，连接． ， ∵， ∴． ∴，即， ∴． ∴将沿直线对折就与完全重合， ∴． ∴， 又， ∴． ∴线段、、首尾连接可构成直角三角形． 【点拨】本题考查了轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的性质等知识点，熟练掌握轴对称和旋转的性质是解题关键． 【变式1】（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图所示，在边长为的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把绕顺时针旋转得到得出，进而证明，设 ，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 解：如图所示，把绕顺时针旋转得到， ． ，，．． ． 、、三点共线． ，， ． ． ． 在和中， ， ， ． 设． ，， ． ，． ． ， ∴， 解得 的长为 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，正方形的边长为6，点，分别是，边上的点，且，则面积的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值（或配方法求最值），解题的关键是通过旋转构造全等三角形，将的面积转化为可求的形式，再结合勾股定理和二次函数最值求解． 将绕点旋转得到，证明，从而将转化为；设，，利用勾股定理得到与的关系，再将表示为关于的函数，最后通过配方法（或二次函数性质）求出最小值． 解：如图，将绕点顺时针旋转90°得到， 由旋转的性质得，，， ，， ， ， 在和中， （SAS）， ， ． 设，，则，，，， 在中，， ， 化简得：， ， 当时，， 的最小值为． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河南周口·期末）我们可以通过类比联想、引申拓展研究典型题目，以达到触类旁通的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由．    （1）思路梳理 如图1，把绕点A逆时针旋转至，易知 ∴． ∵四边形是正方形，， ∴，点F，D，G共线； ， 易得______（    ），得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，点E，F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． （3）联想拓展 如图3，在中，，点D，E均在边上，且． 猜想应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1），；（2）；（3），详见解析 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，再证明进而得到，即可得； （2）时，，与（1）的证法类同； （3）根据绕点A顺时针旋转得到，根据旋转的性质，可知得到，，，，根据中的，得到，所以，证，利用得到． 解：（1）证明：如图，把绕点A逆时针旋转至，    ， 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ， ，， ， ， ， ，即点F，D，G三点共线， 在和中 ， ， ， 即：． 故答案为：， （2）当时，； 解：把绕点A逆时针旋转至，如图所示，      ， 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ，，， ，， ， ， ∵， ∴，即点、、共线， 在和中 ， ， ， ∵， 即：． 故答案为：； （3）解：猜想：． 如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接，    ， ，，，， 在中，， ， ， 即， ， 又， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 【点拨】此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫． 题型价值：中考高频压轴，专考线段和差、周长最值问题。 【题型8】坐标系旋转90°坐标变换综合 核心公式（原点旋转）： 1. 点（x,y）绕原点逆时针90°→（-y，x） 2. 点（x,y）绕原点顺时针90°→（y，-x） 3. 点（x,y）绕原点旋转180°→（-x，-y） 【例题8】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点A的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离 ． （2）将绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到，请画出； （3）若将绕点P旋转可得到，则旋转中心点P的坐标为 ． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）根据点A和点的坐标可得平移方式，再根据平移方式得到点的坐标，据此作图，然后利用两点间的距离公式求出的长即可得到平移的距离； （2）根据旋转的特点找到对应点的位置，再描点，连线作图即可； （3）画出的垂直平分线，其交点P即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可． （1）解：∵经过平移后得到，点的对应点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 画图见答案， ∵， ∴线段平移的距离为； （2）略； （3）解：如图所示，点即为所求． 【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，的顶点 分别在 轴，轴上，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第次旋转后矩形的位置探究规律，解题的关键是找到规律解决问题． 解：作，轴于， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴， 第一次旋转得到的坐标为； 第二次旋转得到的坐标为 ； 第三次旋转得到的坐标为 ， 第四次旋转得到的坐标为， ； 四次一个循环， ∵， ∴则第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点，把直线绕点旋转，则直线旋转后的表达式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，待定系数法求解析式的综合，掌握以上知识的综合运用，图形结合是解题的关键． 根据直线与坐标轴有交点，分别计算出点的坐标，可求出的长，由题意可得绕点旋转得到．根据旋转的性质，分类讨论，顺时针旋转和逆时针旋转，分别求出点的坐标，再根据待定系数法求解析式即可求解． 解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴，， 则，， ∵直线AB绕点旋转， ∴绕点旋转得到． ①绕点顺时针旋转得，，如图所示， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得，， ∴直线的解析式为； ②绕点逆时针旋转得，，如图所示， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得，， ∴直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为． 【点拨】本题主要考查旋转的性质，待定系数法求解析式的综合，掌握以上知识的综合运用，图形结合是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下， ①点B的对应点坐标为________； ②求线段在旋转过程中围成的扇形的面积（结果保留） 【答案】（1）如图，即为所求． （2）①；② 【分析】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及扇形面积公式． （1）根据旋转的定义作出点、绕点逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）①由旋转后的图形得出； ②根据扇形面积公式列式计算即可； 解：（1）略 （2）①由图知点的坐标为； ②，， ． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，根据点绕原点逆时针旋转，坐标变换规则为求解即可． 解：∵点绕原点O逆时针旋转， ∴对应点的坐标为． 故选：B． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形旋转的性质即可求得答案． 解：根据图形旋转的性质可知， ． 4．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，若旋转角为，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，再根据可得答案． 解：旋转角为， ， ， 故选：B． 5．（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 【答案】D 【分析】利用关于原点对称的点的坐标性质，先求出和的值，再计算即可得到结果． 解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，作，易得，进而求出的长即可. 解：∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴， ∴，即点A到直线的距离为. 7．（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】过点作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，求出，分割法推出阴影部分的面积即为的面积，即可得出结果. 解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点B旋转得到，使点D落在边上，，相交于点E．设，．则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据旋转性质得到，，再根据等腰三角形的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可．理解旋转性质是解答的关键． 解：由旋转性质，得，， ∴，则， ∵在中，， ∴，又， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．（2026·黑龙江·一模）如图，在正方形中，连接，将含的三角板放在如图的位置上，，，将三角板绕点B顺时针旋转到的位置，旋转角是一个锐角，并且使，交于点F，求的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据正方形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据旋转的性质得，接下来解直角三角形求出，最后根据得出答案． 解：过点B作，交于点G， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 根据旋转的性质得， 在中，，即, 解得． 在中，，即, 解得． 10．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）王老师将课本第89页11题进行了改编，如图等边三角形边长为6，点D在直线上，将绕点A逆时针旋转，使得旋转后点B的对应点为C，点D的对应点为E，设，的面积为y，则y关于x的关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于F，根据等边三角形的性质及旋转的性质求出，得到，利用勾股定理求出，即可得到问题的答案． 解：如图，过点E作于F，    ∵等边三角形边长为6， ∴， ∴， 由旋转得 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴的面积， 故选：D． 【点拨】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形中30度角的性质，勾股定理的应用，根据图象的面积求函数解析式等知识与方法，正确地作出需要的辅助线是解题的关键． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． 【答案】/度 解：由图可知，是对应边，是旋转角， 所以，旋转角． 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则度数为__________． 【答案】14 解：由旋转可知，又， ． 13．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解． 解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 【答案】 【分析】首先求出抛物线与轴的交点的坐标，设点，然后由旋转的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 解：直线绕原点逆时针旋转得到直线， 设抛物线与轴的交点为， 时，， ， 设点，由题意得，， ， （负值舍去）， ∴点的坐标为． 15．（24-25九年级下·山东日照·阶段检测）如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，解题关键是含角的直角三角形的性质． 先根据点的坐标是，求出的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，求出，进而可求出的长，即可得解． 解：如图所示，设点的对应点为点，过点作轴的垂线，垂足为， ， 点的坐标是， ， ，， ， ， 由旋转的性质可得， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 16．（2023·河南新乡·二模）如图，B、O、D三点共线，且，，和都为等腰直角三角形，将绕点O逆时针方向旋转一周，当时，线段的长度为________． 【答案】2或/ 或2 【分析】本题考查等腰三角形性质及判定，勾股定理，旋转性质，平行四边形判定及性质．根据题意分情况讨论，①当在外部时，利用等腰直角三角形性质可知，，，继而证出是等腰直角三角形，再用勾股定理即可得到本种情况答案；②当在的内部时，证明出四边形是平行四边形，再用勾股定理即可得到本题答案． 解：①如图，当在外部时， ， 延长交于N，过点A作于H， ∵和都为等腰直角三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，当在的内部时， ， ∵和都为等腰直角三角形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2或． 17．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，等腰中，，，，是中点．在上，且，绕点旋转得，交于点，则___________． 【答案】 【分析】根据等边对等角及勾股定理得，，继而得到，，根据旋转的性质得，推出得，结合等角对等边可推出，最后根据三角形中线的性质可得答案． 解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∵绕点旋转得，是中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是中点， ∴是的边上的中线， ∴． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的顶点，规定把等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第一次变换，再将等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第二次变换，依次继续按照上述操作进行，如果这样连续经过次变换后，等边的顶点的坐标为__________．    【答案】/ 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质和中心对称的性质，根据等边三角形的性质求得点C的坐标，再结合旋转和中心对称分别求得对应点的坐标，即可求得以4为周期循环，根据连续经过次变换后与经过3的变化一致即可求得答案． 解：如图：    ∵等边三角形，顶点、， ∴点C的坐标为， 根据题意得：第1次变换后如图中黑色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、，， 第2次变换后如图红色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、， 第3次变换后如图粉色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、、； 第4次变换后点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、，， 发现规律：每4次变换后点C回到原来的位置， ∵， ∴连续经过505次变换后，点C的坐标与第三次旋转对称后的坐标一样，变为． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，．求： （1）指出旋转中心和旋转角度； （2）求的长度和的度数． 【答案】（1）旋转中心为点A；旋转角为；（2）； 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，数形结合． （1）由于旋转一定角度后得到，根据旋转的性质得到旋转中心为点A，等于旋转角，于是得到旋转角为； （2）根据旋转的性质得到，，则，再求出的度数即可；根据，求出结果即可． （1）解：∵旋转一定角度后得到， ∴旋转中心为点A，等于旋转角， ∴旋转角为； （2）解：∵以点A为旋转中心，顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，这是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，求的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质，以及在直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半．先求出，再根据中心对称图形的性质求解即可． 解：∵，，， ． ∵B与关于点A中心对称、 ． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，以的中点为旋转中心，将旋转，点、、的对称点分别是、、． （1）请画出旋转后的 （2）求出的长 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 【分析】本题考查作图-旋转变换，勾股定理，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质； （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （2）根据，利用勾股定理求出即可． 解：（1）略 （2） 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河北保定·期中）在四边形中，，，作边的垂直平分线，分别交，于点，连接，恰好，，再将绕点逆时针旋转至位置，以为平面直角坐标系的原点，以所在直线为轴，如图建立平面直角坐标系． （1）点的坐标是______，点的坐标是______； （2）问点是否在直线上？并说明理由； （3）求的面积． 【答案】（1），；（2）解：点D在直线上，理由如下： 连接， 由旋转性质可知： ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， 、、三点共线， 点D在直线上； （3） 【分析】本题考查了点的坐标，旋转的性质，全等三角形的判定及性质； （1）延长交轴于，过轴交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解；同理可证：，由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）连接，由旋转性质可知：，，，，由可判定，结合全等三角形的性质得，即可求证； （3）连接交y轴于点F，由、的坐标得轴，由即可求解； 掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． （1）解：延长交轴于，过轴交于， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的垂直平分线， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ； 同理可证：， ， ， ， 故答案：，； （2）略 （3）解：连接交y轴于点F． ，， ， 由（1）知， 轴， ， ∴ ． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． （1）写出，两点的坐标； （2）求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可； （2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可． （1）解：∵，， ∴，， ∵将绕点按顺时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵抛物线过点，， ∴可设抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·四川成都·期末）如图①，为等边三角形，，分别为，上的动点，且，易证．如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点． 问题解决： （1）若，求，的度数（用表示），你能得出什么一般性的结论： （2）求证：； （3）若，在点的运动过程中，由，，，四个点构成的四边形的面积为时，求的长． 【答案】（1），；；（2）证明：由（1）得：， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）2 【分析】（1）结合等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得，再由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）证明，可得，再证明，即可求证； （3）分别过点B，F作，垂足分别为点M，N，连接，根据，可得，从而得到，再求出，根据，，，四个点构成的四边形的面积为，可得，即可求解． （1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，分别过点B，F作，垂足分别为点M，N，连接， 由（2）得， ∴，， ∴， ∴，即， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵由，，，四个点构成的四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 28.3 旋转全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】图形的旋转 2 【知识点二】中心对称及其性质 2 【知识点三】中心对称图形 2 【知识点三】关于原点对称的点的坐标 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】旋转三要素辨析与旋转角计算 3 【题型2】中心对称图形与轴对称图形辨析 4 【题型3】平面直角坐标系对称点坐标计算 5 【题型4】旋转与中心对称规范作图 6 三.题型精析（综合提升） 7 【题型5】旋转性质综合求角度、线段长度 7 【题型6】手拉手旋转全等模型（必考证明） 9 【题型7】正方形半角旋转模型（45°压轴） 10 【题型8】坐标系旋转90°坐标变换综合 13 四.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.学习目标重难点 学习目标与重难点 1. 掌握旋转、中心对称、中心对称图形的概念与核心性质，明确旋转与中心对称的联系和区别。 2. 熟练运用旋转性质求解角度、线段长度，熟记平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标规律。 3. 掌握旋转、中心对称图形的作图方法，能够快速识别常见中心对称图形。 4. 熟练掌握旋转经典模型，包括旋转全等、手拉手模型、半角模型，能够解决几何证明、计算及压轴题型。 重点：旋转的性质、中心对称的性质、原点对称点坐标规律、几何图形旋转作图。 难点：利用旋转构造全等三角形解决几何综合问题；区分中心对称与中心对称图形；旋转压轴题型的综合应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】图形的旋转 核心要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度（旋转三要素）。旋转属于全等变换，变换前后图形形状、大小完全不变，仅位置发生改变。 1. 定义：把一个平面图形绕平面内某一定点O转动一个角度的图形变换，叫做图形的旋转。定点O为旋转中心，转动的角度为旋转角。 2. 旋转的核心性质 ① 对应点到旋转中心的距离相等； ② 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③ 旋转前后的图形全等，对应线段相等、对应角相等。 补充提示：旋转方向分为顺时针和逆时针；旋转中心可在图形内部、边上或外部。 【知识点二】中心对称及其性质 核心定位：中心对称是特殊的旋转，旋转角度为180°。 1. 定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若能与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点中心对称，这个点叫做对称中心。 2. 中心对称性质 ① 关于中心对称的两个图形全等； ② 对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 关键区分：中心对称描述两个图形之间的位置关系。 【知识点三】中心对称图形 1. 定义：将一个图形绕某一定点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形即为中心对称图形。 2. 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。 易错提醒：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形均不是中心对称图形。 关键区分：中心对称图形描述一个图形自身的特征。 【知识点四】关于原点对称的点的坐标 平面直角坐标系中，任意一点P（x，y）关于原点O对称的点的坐标为 P'（-x，-y）（横、纵坐标均变为相反数）。 坐标拓展对比 ① 关于x轴对称：（x，y） → （x，-y） ② 关于y轴对称：（x，y） → （-x，y） ③ 关于原点对称：（x，y） → （-x，-y） 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】旋转三要素辨析与旋转角计算 【例题1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 （1）旋转中心是点______，旋转角是________和_____； （2）当旋转角为时，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·湖北黄冈·期末）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为__________． 【变式3】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，正方形中，E在上，按逆时针方向转动一个角度后成． （1）图中哪一点是旋转中心． （2）求旋转角度． （3）求的度数并指出的形状． 方法总结：旋转角唯一判定标准：旧顶点—旋转中心—新顶点，与图形原有内角无关。做题先找旋转中心，再锁定对应点。 【题型2】中心对称图形与轴对称图形辨析 【例题2】（2025九年级·全国·专题练习）下列图形中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？请画出它们的对称中心或所有的对称轴． 【变式1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）举例一个图形，要求：既是中心对称图形又是轴对称图形的：___________． 【变式3】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，下列为三幅刺绣作品． （1）这三幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． （2）明明和亮亮都很喜欢刺绣作品，每人都准备购买一款刺绣盲盒（盒中随机装有①②③这3个刺绣作品中的一款），求两人购买到的作品都为中心对称图形的概率． 方法总结： 1. 仅轴对称：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形； 2. 仅中心对称：普通平行四边形； 3. 双对称（既是轴对又是中心对）：矩形、菱形、正方形、圆、线段。 【题型3】平面直角坐标系对称点坐标计算 【例题3】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）将绕点旋转，画出旋转后对应的，并写出点，，的坐标； （2）内一点的坐标为，将点先向上平移1个单位长度后，再将所得的点作关于原点的对称点，所得的点的坐标为_____． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若点与点关于原点对称，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，则的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点的坐标为，点的坐标为，请根据以下要求完成任务． （1）若点，关于原点成中心对称，则点的坐标为（_______，_______）． （2）作正方形，要求点，均在第一象限内，且横、纵坐标都为整数． 易错警示：原点对称是旋转180°，区别于90°旋转坐标变换，切勿混淆。 【题型4】旋转与中心对称规范作图 【例题4】（25-26八年级下·湖南湘潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）把向右平移5个单位，再向上平移1个单位，画出平移后的； （2）已知与关于原点O成中心对称，请在图中画出． 【变式1】（2023·山东青岛·模拟预测）如图，把 经过一定的变换得到 ，如果上的点P 的坐标为，那么它的对应点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则______． 【变式3】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）点关于坐标原点对称的点的坐标为__________； （2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）若A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形的位置发生怎样的变化? 标准作图四步骤： 1. 找点：求出各顶点原点对称坐标； 2. 定点：在坐标系中标出所有对应点； 3. 连线：按照原图形顺序依次连接； 4. 标注：标注新图形顶点字母，完成作图。 核心依据：中心对称旋转180°，对应点连线过原点且被原点平分。 三.题型精析（综合提升） 【题型5】旋转性质综合求角度、线段长度 【例题5】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如图所示，已知，点为上一点，连接、，平分，平分． （1）求证：； （2）将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数； （3）探究旋转后线段与的位置关系，并说明理由． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． （1）和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ （2）与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由． 解题技巧：旋转题求角度，优先利用「旋转角相等、对应角相等」转化已知角度。 【题型6】手拉手旋转全等模型（必考证明） 模型特征：共顶点、双等腰、顶角相等 【例题6】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）已知是等边三角形，点P是平面内一动点． （1）如图1，若点P是等边三角形内的一点，，，．若是外的一点，且，求点P与点之间的距离及的度数． （2）如图2，若点P在等边三角形外部，当，，时，求的面积． 【变式1】（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，点D是等边三角形内一点，，，，是由绕点A逆时针旋转得到的，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（第23章旋转全章复习与测试【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版））如图，，都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．写出一种由得到的变化过程：__． 【变式3】（24-25九年级上·福建三明·期中）如图①，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点M，连接、． （1）探究线段的关系，并加以证明； （2）其他条件不变，将正方形绕点C旋转任意角度后（如图②），探究线段的关系，并加以证明． 模型结论：共顶点等腰旋转，必出全等，对应边相等、对应夹角相等。 【题型7】正方形半角旋转模型（45°压轴） 【例题7】（24-25七年级下·河南信阳·期末）阅读理解题 先阅读下列内容，再完成后面的任务． 我们知道：轴对称、平移和旋转都是全等变换，通过这些变换所得到的图形与原来的图形相比，形状和大小都没有改变，即其对应的边、角没有改变．可以运用图形变换的这些特征解决一些实际问题． 问题：如何把线段AB分成三段，将这三段线段首尾连接起来恰好构成一个直角三角形？ 作法：如下： 说明理由： 方法一：轴对称法 如图1，作△CAD关于直线CD的对称图形△CFD，则； ∴∠DCF=_______①； DF=_______②；； ∠CFD=∠A=________（填角度数）③． 连接EF， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴将△CEB沿直线CE对折就与△CEF完全重合， ∴． ∴EF=EB， ， ∴∠DFE=∠CFD+∠CFE=_______④． ∴线段AD、DE、EB首尾连接可构成直角三角形DFE． 方法二：旋转法 如图2，将△CAD绕点C逆时针旋转，得到△CBF，则，连接EF． …… 任务一、填空完善方法1； 任务二、仿照“方法1”完成“方法2”的说理． 【变式1】（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图所示，在边长为的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，正方形的边长为6，点，分别是，边上的点，且，则面积的最小值为______． 【变式3】（24-25八年级下·河南周口·期末）我们可以通过类比联想、引申拓展研究典型题目，以达到触类旁通的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由．    （1）思路梳理 如图1，把绕点A逆时针旋转至，易知 ∴． ∵四边形是正方形，， ∴，点F，D，G共线； ， 易得______（    ），得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，点E，F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． （3）联想拓展 如图3，在中，，点D，E均在边上，且． 猜想应满足的等量关系，并写出推理过程． 题型价值：中考高频压轴，专考线段和差、周长最值问题。 【题型8】坐标系旋转90°坐标变换综合 核心公式（原点旋转）： 1. 点（x,y）绕原点逆时针90°→（-y，x） 2. 点（x,y）绕原点顺时针90°→（y，-x） 3. 点（x,y）绕原点旋转180°→（-x，-y） 【例题8】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点A的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离 ． （2）将绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到，请画出； （3）若将绕点P旋转可得到，则旋转中心点P的坐标为 ． 【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，的顶点 分别在 轴，轴上，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点，把直线绕点旋转，则直线旋转后的表达式为______． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下， ①点B的对应点坐标为________； ②求线段在旋转过程中围成的扇形的面积（结果保留） 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，若旋转角为，则的大小是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 7．（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 8．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点B旋转得到，使点D落在边上，，相交于点E．设，．则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·黑龙江·一模）如图，在正方形中，连接，将含的三角板放在如图的位置上，，，将三角板绕点B顺时针旋转到的位置，旋转角是一个锐角，并且使，交于点F，求的长是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）王老师将课本第89页11题进行了改编，如图等边三角形边长为6，点D在直线上，将绕点A逆时针旋转，使得旋转后点B的对应点为C，点D的对应点为E，设，的面积为y，则y关于x的关系式为（    ）    A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则度数为__________． 13．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 15．（24-25九年级下·山东日照·阶段检测）如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点的对应点的坐标是______． 16．（2023·河南新乡·二模）如图，B、O、D三点共线，且，，和都为等腰直角三角形，将绕点O逆时针方向旋转一周，当时，线段的长度为________． 17．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，等腰中，，，，是中点．在上，且，绕点旋转得，交于点，则___________． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的顶点，规定把等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第一次变换，再将等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第二次变换，依次继续按照上述操作进行，如果这样连续经过次变换后，等边的顶点的坐标为__________．    （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，．求： （1）指出旋转中心和旋转角度； （2）求的长度和的度数． 20．（本小题满分8分）（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，这是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，求的长． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，以的中点为旋转中心，将旋转，点、、的对称点分别是、、． （1）请画出旋转后的 （2）求出的长 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河北保定·期中）在四边形中，，，作边的垂直平分线，分别交，于点，连接，恰好，，再将绕点逆时针旋转至位置，以为平面直角坐标系的原点，以所在直线为轴，如图建立平面直角坐标系． （1）点的坐标是______，点的坐标是______； （2）问点是否在直线上？并说明理由； （3）求的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． （1）写出，两点的坐标； （2）求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·四川成都·期末）如图①，为等边三角形，，分别为，上的动点，且，易证．如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点． 问题解决： （1）若，求，的度数（用表示），你能得出什么一般性的结论： （2）求证：； （3）若，在点的运动过程中，由，，，四个点构成的四边形的面积为时，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $