精品解析：2025年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题

2025年湖北省普通高中学业水平合格性考试 数学 本试卷共5页25题．全卷满分100分．考试用时90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂匀、涂实，未涂、错涂、多涂或填涂不规范均不得分．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效．在试卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并上交． 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则中元素的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，， 则， 所以中元素的个数是． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 ，则共轭复数 . 3. 如果3个正整数可作为一个直角三角形的三边长，则称这三个数为一组勾股数．我国古代数学名著《周髀算经》中就有“勾广三，股修四，径隅五”，即指3，4，5为一组勾股数，现从2，4，6，8，10中任取3个数，则这三个数是一组勾股数的概率为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用组合数的计算公式基本事件的总数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意得，从中任取3个数，共有种不同的选法， 这三个数是一组勾股数有且仅有， 所以这三个数是一组勾股数的概率为. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 5. 已知向量与的夹角为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量与的夹角为，且， 所以，则. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】①充分性：若，则，所以充分性成立； ②必要性：若，由正弦函数的性质可得. 所以“”是“”的充要条件. 8. 如图，在中，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且点在线段上，所以. 所以  . 9. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg），并整理得下表： 亩产量 频数 14 20 30 24 12 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数不小于1050kg B. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至250kg之间 C. 100块稻田亩产量的平均值介于950kg至1000kg之间 D. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80 【答案】A 【解析】 【详解】A选项：一共100个数据，中位数是第50、51个数的平均数， 根据表格知，第50、51个数据落在区间，所以中位数不小于1050kg，A正确； B选项：数据最小值范围为，最大值范围为， 故极差范围为，故B错误； C选项： 平均数为， 故C错误； D选项：亩产量低于1100kg的频数为，所占比例为，故D错误. 10. 在中，下列关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理与三角函数的诱导公式即可判断. 【详解】依题意，在中，，所以，； 对于A，因为，所以A错误； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C错误； 对于D，因为，所以D错误. 故选：B. 11. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由图象可知函数的最小正周期， 所以，解得. 12. 为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件的概率性质，先计算甲、乙两人均未猜对的概率，再用1减去该概率得到所求结果。 【详解】设事件为“甲猜对谜语”，事件为“乙猜对谜语”，，，，， 由题意可知与相互独立，则 与相互独立， “甲、乙至少有1人猜对”的对立事件为“甲、乙两人均未猜对”， 所以甲、乙至少有1人猜对的概率为： . 13. 图1是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象（收支差额车票收入支出费用）．目前本条线路运营处于亏损状态，为了实现扭亏为盈，公司有关人员提出了两种建议，如图2和图3所示． 下列说法中正确的是（ ） A. 图2表示减少支出和提高票价 B. 图2表示减少支出和降低票价 C. 图3表示支出不变和提高票价 D. 图3表示减少支出和票价不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知图象反映了收支差额与乘客量的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明． 【详解】根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为时，收入是0但是支出变少了， 即说明了此建议是减少支出而保持票价不变，B选项错误，A选项错误； 由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了， 即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，C选项正确，D选项错误； 14. 如图，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．已知该金字塔高约为146.5m，底面边长约为232m，设这座金字塔的侧面积为，体积为，给出如下算式：①；②．则（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①不正确，②不正确 【答案】A 【解析】 【详解】由题意正四棱锥的高，， 所以正四棱锥的斜高， 所以 所以这座金字塔的侧面积，故①正确； 所以这座金字塔的体积，故②正确. 15. 已知、是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求出，再利用对数函数的单调性及对数的运算即可求解. 【详解】根据已知条件有，，所以， 因为、是函数的图象上两个不同的点， 所以，所以，即， 因为为上的增函数， 所以， 所以 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 16. 下列命题正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直 D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据线面垂直的定义进行判断；对于B，过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；对于C，由线面垂直的定义判断；对于D，由平行公理得判断． 【详解】对于A，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A正确；对于B，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行， 在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B不正确；对于C，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C正确；对于D，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D不正确． 故选：AC 17. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 是增函数 D. 的值域为 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项：， ， 所以不是奇函数，故选项A错误； B选项：，，，故选项B正确； C选项：因为正弦型函数具有周期性，且只在部分区间上单调递增，所以在上不是增函数，故选项C错误； D选项：因为，所以，故选项D正确. 18. 习近平总书记多次强调“绿水青山就是金山银山”．为深入学习贯彻习近平生态文明思想，复兴中学开展了河流水质监测评估的跨学科主题实践活动．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数和生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好．若某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，则（ ） A. 当时，有 B. 当时，有 C. 当时，由，可得 D. 当时，由，可得 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意，不变，对公式变形得到，利用对数运算、对数函数单调性，逐个判断选项即可. 【详解】A选项：由得，因为不变，所以为定值，，所以，所以，得，故选项A正确. B选项：由得，则，有， 即有无穷多组解，不能唯一确定，故选项B错误. C选项：由，得.因为是增函数，，所以， ，因为，所以，故选项C错误. D选项：由，得.因为是增函数，，所以， ，因为，所以，故选项D正确. 【点睛】方法归纳：遇到新定义题型，先认真审题，读懂题意，做代数变形；定值条件下，比值关系可以约去常量. 易错归纳：由比例，只能得到倍数关系，不能确定具体数值；注意与成反比. 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 19. 已知向量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】，且，则， 即，解得. 20. 已知点．若是线段的中点，则（1）__________；（2）__________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【详解】点，是线段的中点， 所以；. 21. 写出一个同时具有性质①②的函数__________． ①；②是奇函数． 【答案】（答案不唯一，形如均符合要求） 【解析】 【分析】首先确定满足乘积运算性质的初等函数为幂函数，再结合奇函数的条件选取指数为奇数的幂函数即可. 【详解】选取，验证如下： 验证性质①：对任意，有，，， 所以，因此，所以函数满足性质①. 验证性质②：的定义域为，关于原点对称，且对任意，， 因此是奇函数，满足性质②. 因此同时具有性质①②的一个函数为. 22. 立德中学高二（1）班有男生人，女生人，按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从高二（1）班全体学生中抽取一个容量为的样本．已知样本中男生、女生的平均身高分别为和．若各层中按照比例分配样本，则（1）男生应抽取的人数为__________；（2）估计高二（1）班全体学生的平均身高为__________（精确到）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据分层抽样比例分配的规则计算男生抽取人数，再通过分层抽样的总体均值估计方法计算全班平均身高的估计值. 【详解】（1）首先计算抽样比：全班总人数为，样本容量为，因此抽样比为. 按比例分配样本时，男生应抽取的人数为. 因此男生应抽取人. （2）因为人的样本中，男生抽取人，所以女生抽取的人数为， 所以样本中学生的身高平均值为：. 即样本中学生的平均身高为， 根据分层抽样总体均值的估计规则，因此估计高二（1）班全体学生的平均身高为. 四、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 23. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）在直三棱柱中，平面， 又平面，所以；又因为，即， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由平面推出，再结合得到，最后借助线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据棱锥的体积公式即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以是三棱锥的高， 所以. 24. 记的内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若，再从条件①和条件②中选择一个作为已知，求的周长． ①的面积为；②． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选条件①或②，周长均为 【解析】 【小问1详解】 由余弦定理可得，由题可知， 则，是的内角，，故. 【小问2详解】 选择条件①： 三角形面积公式为：，已知，，， 代入得：. 由余弦定理， 则，，， 则周长. 选择条件②： 已知，，， 根据正弦定理， 由余弦定理， 解得或，，，则周长. 25. 已知函数的定义域为，如果，当时，都有，那么就称是关联． （1）是关联吗？是关联吗？请说明理由； （2）已知是关联，当时，，解不等式； （3）证明：若既是关联，又是关联，则是关联． 【答案】（1）当时，即， 又在上单调递增，则，即，所以； 而若时，不妨取，，所以， 所以是关联；不是关联． （2） （3）由是关联，即对于任意，都有， 即对于任意，都有，所以. 又是关联，即对于任意，成立，所以是增函数， 任取，则， 所以，所以， 所以，故是关联． 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，及指数函数的单调性直接判断即可； （2）根据给定条件，可得，再结合已知函数分段解不等式并求并集即可； （3）先根据既是关联，得到，，再根据是关联得到是增函数，进而根据关联的定义即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是关联，则对于任意，都有， 即对于任意，都有，即，即， 的图象是开口向上的二次曲线，当时，单调递增， 则在的值域为， 又，则在的值域为， 所以仅在上有解， 当时，， 令，解得， 所以不等式的解是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省普通高中学业水平合格性考试 数学 本试卷共5页25题．全卷满分100分．考试用时90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂匀、涂实，未涂、错涂、多涂或填涂不规范均不得分．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效．在试卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并上交． 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则中元素的个数是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如果3个正整数可作为一个直角三角形的三边长，则称这三个数为一组勾股数．我国古代数学名著《周髀算经》中就有“勾广三，股修四，径隅五”，即指3，4，5为一组勾股数，现从2，4，6，8，10中任取3个数，则这三个数是一组勾股数的概率为（ ） A. 0 B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与的夹角为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在中，，设，则（ ） A. B. C. D. 9. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg），并整理得下表： 亩产量 频数 14 20 30 24 12 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数不小于1050kg B. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至250kg之间 C. 100块稻田亩产量的平均值介于950kg至1000kg之间 D. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80 10. 在中，下列关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 12. 为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ） A. B. C. D. 13. 图1是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象（收支差额车票收入支出费用）．目前本条线路运营处于亏损状态，为了实现扭亏为盈，公司有关人员提出了两种建议，如图2和图3所示． 下列说法中正确的是（ ） A. 图2表示减少支出和提高票价 B. 图2表示减少支出和降低票价 C. 图3表示支出不变和提高票价 D. 图3表示减少支出和票价不变 14. 如图，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．已知该金字塔高约为146.5m，底面边长约为232m，设这座金字塔的侧面积为，体积为，给出如下算式：①；②．则（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①不正确，②不正确 15. 已知、是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 16. 下列命题正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直 D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行 17. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 是增函数 D. 的值域为 18. 习近平总书记多次强调“绿水青山就是金山银山”．为深入学习贯彻习近平生态文明思想，复兴中学开展了河流水质监测评估的跨学科主题实践活动．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数和生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好．若某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，则（ ） A. 当时，有 B. 当时，有 C. 当时，由，可得 D. 当时，由，可得 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 19. 已知向量，且，则__________． 20. 已知点．若是线段的中点，则（1）__________；（2）__________． 21. 写出一个同时具有性质①②的函数__________． ①；②是奇函数． 22. 立德中学高二（1）班有男生人，女生人，按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从高二（1）班全体学生中抽取一个容量为的样本．已知样本中男生、女生的平均身高分别为和．若各层中按照比例分配样本，则（1）男生应抽取的人数为__________；（2）估计高二（1）班全体学生的平均身高为__________（精确到）． 四、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 23. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 24. 记的内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若，再从条件①和条件②中选择一个作为已知，求的周长． ①的面积为；②． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 25. 已知函数的定义域为，如果，当时，都有，那么就称是关联． （1）是关联吗？是关联吗？请说明理由； （2）已知是关联，当时，，解不等式； （3）证明：若既是关联，又是关联，则是关联． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $