2026年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷一

**基本信息** 2026湖北学考数学模拟卷立足基础，通过糖水不等式、复利计息等现实情境，考查集合、函数、概率等核心知识，注重数学眼光观察与思维表达，适配合格性考试要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|15/45|集合、复数、向量投影、对数单调性|结合质检抽样、坚果净重数据，用频率估计概率| |多选题|3/9|向量运算、指数对数运算、线面平行判定|正方体中点连线与中位线，考查线面平行判定| |填空题|4/16|向量夹角、独立事件概率、函数最值|分两空设计，梯度考查向量模与数量积| |解答题|3/30|立体几何证明与体积、解三角形、函数单调性|四棱锥体积比计算，结合线面垂直性质；函数奇偶性探究，培养推理意识|

2026湖北省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷一 全卷满分100分，考试用时90分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂匀、涂实，未涂、错涂、多涂或填涂不规范均不得分.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效.在试卷、草稿纸上答题无效. 4．考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并上交. 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集 ，集合 ，则 （） A. B. C. D. 2. 若复数 ，则 在复平面内对应点所在象限为（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知 ，则 在 上的投影向量为（） A. B. C. D. 4. 根据对数函数性质：①当 时， 在 递增：；②当 时， 在 递减：，比较 与 大小（） A. B. C. 相等 D. 无法判定 5. 命题 “” 的否定是（） A. B. C. D. 6. 质检抽取 25 袋饼干，质量落在 的有 10 袋，用频率估计概率，则任意一袋在此区间概率为（） A. B. C. D. 7. 已知 ，则 （） A. B. C. D. 8. 克糖水含 克糖，再加 克糖溶解后变甜，对应不等式（） A. B. C. D. 9. 已知函数 的图象，下列选项中为该函数图象关于 轴对称得到的图象对应的函数是（） A. B. C. D 10. 存款本金 8000 元，月利率 ，复利计息，本息 与存月数 关系式（） A.) B. C. D. 11. 下列函数中，满足恒等式 的函数是（） A. 一次函数 B. 对数函数 C. 二次函数 D. 指数函数 12. 从某食品加工厂生产的坚果礼盒中，随机抽取 20 盒，测得每盒净重数据如下（单位：g）： 503 505 501 507 504 506 502 508 500 505 503 509 510 504 506 502 505 501 507 503 用频率估计概率，该工厂生产的坚果礼盒净重在 之间的概率约为（） A. 0.1 B. 0.35 C. 0.65 D. 0.8 13. 在平行四边形 中， 为 中点，则 （） A. B. C. D. 14. 竖直上抛高度公式 ，物体在抛出点上方 及以上停留时长为（） A. B. C. D. 15. 某班级统计学生每日课后运动时长，各组组距均为 10，表格如下，估计该班级学生运动时长不少于 30 分钟的概率为（） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 16. 已知 ，下列正确的是（） A. B. C. D. 17. 关于指数与对数运算，下列结论正确的是（） A. B. C. D. 18. 在正方体中，能推出线面平行的作图是（） A. 棱中点连线平行底面一边 B. 侧棱与面对角线 C. 上下底面中位线 D. 同一顶点两条棱组成线段 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.） 19. 已知 ，两向量夹角 ，则 (1) ； (2) 。 20. 事件 A、B 相互独立，，则 (1) ；(2) 。 21. ，则 。 22. 函数 最大值为 3，则 (1) ； (2) 函数取最大值时 x 的一个取值： 。 四、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 23. 四棱锥 ， 底面矩形 ，E 为 PD 中点。 (1) 求证： 两两垂直； (2) 设 ，记四棱锥体积为，小三棱锥体积为，求 。 24. 在 中，内角 A,B,C 对应对边 a,b,c，已知 ，从① ② 任选一个条件，求三角形周长。 25. 已知函数 ，且 。 (1) 当 时，判断函数在 上的单调性并严格证明； (2) 是否存在实数 a,b，使得为奇函数？若存在写出一组符合条件的值，不存在说明理由。 参考答案与详细解析 一、单项选择题答案：1.C 2.A 3.A 4.A 5.B 6.C 7.B 8.A 9.A 10.C 11.B 12.C 13.A 14.A 15.C 1. 解析：本题考查集合的交集、补集运算。首先根据交集定义，两个集合的公共元素组成交集集合，已知全集 ，集合 ，可得 ；再根据补集定义，全集中除去交集元素剩余的元素组成补集，因此 。综上，答案选 C。 2. 解析：本题考查复数的四则运算与复数的几何意义。对于分式复数，需分母实数化，分子分母同乘分母的共轭复数 ，计算得：，根据复数定义 ，化简得 。复平面内复数对应坐标为实部、虚部 ，横纵坐标均为正，对应第一象限。综上，答案选 A。 3. 解析：本题考查平面向量投影向量公式。核心公式：向量 在向量 上的投影向量为 。第一步，计算向量点积：；第二步，计算向量 模的平方：；第三步，代入公式得投影向量为 ，与选项A一致。综上，答案选 A。 4. 解析：本题考查对数函数的单调性应用。对数函数 的单调性由底数决定：当 时，函数在定义域 上单调递减。本题中底数 ，因此 单调递减。根据递减函数性质，自变量越小，函数值越大，已知 ，故 。综上，答案选 A。 5. 解析：本题考查全称命题的否定规则。全称命题 的否定为特称命题 ，核心变化：全称量词改存在量词，结论否定，定义域不变。原命题为 ，否定后为：。综上，答案选 B。 6. 解析：本题考查用频率估计概率。频率计算公式：频率=符合条件的样本数÷总样本数。已知总抽取饼干数量为25袋，质量落在指定区间的有10袋，代入计算得频率 。在随机抽样中，可用样本频率估计总体概率，因此任意一袋质量在此区间的概率为0.4。综上，答案选 C。 7. 解析：本题考查同角三角函数的平方关系与三角函数符号判定。根据同角三角函数基本公式：，变形得 。代入 ，计算得 。又 ，该区间为第二象限，第二象限内余弦函数值恒为负，因此 。综上，答案选 B。 8. 解析：本题考查糖水不等式的实际应用。初始糖水浓度为糖的质量除以糖水总质量，即 ；加入 克糖后，糖的质量变为 ，糖水总质量变为 ，此时浓度为 。糖水变甜说明浓度变大，因此可得不等式 ，该结论为经典糖水不等式。综上，答案选 A。 9. 解析：本题考查函数图象的轴对称变换。函数图象关于 轴对称的变换规则：将原函数解析式中的 替换为 ，其余不变。原函数为 ，替换后得新函数 ，该函数为底数小于1的指数函数，在 上单调递减。综上，答案选 A。 10. 解析：本题考查复利计息函数模型。复利计息核心规则：每期利息计入下一期本金。已知本金8000元，月利率1.5%，每月本息为上月本息的 倍。存1个月：；存2个月：；以此类推，存 个月的本息关系式为 。A为单利模型，B、D公式结构错误。综上，答案选 C。 11. 解析：本题考查基本函数的运算性质。逐一验证选项：A.一次函数 ，，，二者不相等；B.对数函数 ，根据对数运算法则 ，即 ，符合条件；C.二次函数 ，，，二者不相等；D.指数函数 ，，，二者不相等。综上，答案选 B。 12. 解析：本题考查用样本频率估计总体概率。总样本数为20盒，逐一统计净重在 的样本：503、505、504、506、502、505、503、504、506、502、505、507、503，共计13盒。根据频率公式，频率 ，用频率估计概率，所求概率为0.65。综上，答案选 C。 13. 解析：本题考查平行四边形法则与平面向量线性运算。在平行四边形 中，对边平行且相等，对应向量相等，即 。已知E为CD中点，因此 。根据向量加法的三角形法则，，代入化简得 。综上，答案选 A。 14. 解析：本题考查二次函数的实际应用。根据题意，物体高度不低于15m，列不等式：。整理不等式：移项得 ，两边同除5化简为 。因式分解得 ，解得自变量取值范围 。停留时长为区间差值：。综上，答案选 A。 15. 解析：本题考查频率分布直方图的概率计算。频率分布直方图中，单组频率=（频率/组距）×组距，本题组距为10。“运动时长不少于30分钟”包含 、 两组，对应频率/组距分别为0.032、0.038。总频率 ，用频率估计概率，所求概率为0.70。综上，答案选 C。 二、多项选择题答案：16.ABD 17.ABC 18.AC 16. 解析： A：，正确； B：，正确； C：垂直要求点积为 0，-1≠0，错误； D：，正确。选 ABD。 17. 解析： A：，正确；B：对数恒等式，正确；C：，正确；D：，错误。选 ABC。 18. 解析：线面平行判定：平面外直线平行平面内直线。A、C 满足；B、D 两线相交，无法证线面平行，选 AC。 三、填空题答案 19.(1)3；(2) 解析：(1)；(2) 20.(1) 0.2；(2) 0.6 解析：独立事件；对立事件 21. 解析：， 22.(1)3；(2)（答案不唯一，均可） 解析：，最大值 1，故 A=3；时 四、解答题详细步骤 23. 解： (1) 证明 已知 平面 ， 根据线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，。 又因为四边形 是矩形，矩形的邻边互相垂直， 因此 。 综上，、、，即 两两垂直。 （本小问满分 5 分：线面垂直推线线垂直占 3 分，矩形性质 + 总结占 2 分） (2) 求解体积比值 棱锥体积通用公式：（ 为底面积， 为高） ① 计算四棱锥 的体积 底面矩形 的面积： 四棱锥的高为 ，代入体积公式： ② 计算三棱锥 的体积 是矩形对角线分割出的三角形，其面积： 是 中点，且 底面 ，因此点 ACD\dfrac {1}{2} PA$，即： 代入棱锥体积公式： ③ 求比值 （本小问满分 5 分：计算 2 分，计算 2 分，最终比值 1 分） 24. 解： 选择条件①： 已知 ，，代入余弦定理： 因为边长 ，所以 。 三角形周长： 选择条件②： 已知 ，由余弦定理变形求 ： 又因为 ，所以 。 三角形周长： （本题满分 10 分：定理运用 4 分，边长计算 4 分，周长计算 2 分） 25. 解： (1) 单调性判断与证明 当 时，函数解析式为：，定义域为 。 函数单调性定义：任取定义域内两个自变量 ，若 ， · ，函数单调递减； · ，函数单调递增。 证明步骤： 任取 ，且 ， 作差： 分类讨论： ① 当 时： ，，则 ， 两个负数相乘，得 ，即 ， 因此 在 上单调递减。 ② 当 时： ，，则 ， 一负一正相乘，得 ，即 ， 因此 在 上单调递增。 综上：函数 在 上单调递减，在 上单调递增。 （本小问满分 6 分：取值作差 2 分，分类讨论 3 分，结论 1 分） (2) 奇函数判定 奇函数定义：设函数定义域为 ，若 ，都有 ，且 ，则函数为奇函数。 第一步：求定义域 ，分母不为 0，定义域：， 定义域关于原点对称，满足奇函数的前提条件。 第二步：验证 由此可得：对任意实数 ，函数 均满足奇函数定义，因此存在符合条件的实数。 举例：取 ，此时 ，显然为奇函数。 （本小问满分 4 分：定义域判断 1 分，定义推导 2 分，举例 1） 学科网（北京）股份有限公司 $