2.4 应用一元二次方程 第2课时 教案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该教案聚焦一元二次方程的应用，核心解决平均变化率和销售问题。课堂导入通过复习列一元一次方程解应用题步骤，结合商品销售额、利润计算问题，搭建旧知到新知的学习支架，衔接自然。 此资料特色在于以生活实例驱动教学，如企业利润增长、台灯销售定价等问题，引导学生用数学眼光观察现实，通过分析数量关系建立方程模型，培养数学思维与模型意识。丰富例题与分层练习助学生提升应用能力，为教师提供清晰教学流程与实用资源。

第二章 一元二次方程 4 应用一元二次方程 第2课时   一、教学目标 1.利用一元二次方程解决平均变化率问题和销售问题. 2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程. 3.在列方程解决实际问题的过程中，总结运用方程解决实际问题的一般步骤. 4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力.   二、教学重难点 重点：利用一元二次方程解决平均变化率问题和销售问题. 难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型解决问题.   三、教学过程 · 情境导入 教师活动：学生已学过列一元一次方程解应用题，通过想一想环节让学生说出列方程解应用题的一般步骤，再通过试一试初步体会平均变化率及销售问题，为新课的学习做准备. 问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？ 预设答案：①审：审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； ②设：设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种； ③列：根据题中的等量关系列方程； ④解：求出所列方程的解； ⑤验：“检验”，即验证是否符合题意； ⑥答：回答题目中要解决的问题. 问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是_____元，销售利润 _____元. 预设答案：18 000，6 000. 追问：题中有哪些数量关系？ 预设答案：销售额=售价×销售量； 利润=销售额总成本=单件利润×销售量； 单件利润=售价进价. 设计意图：复习回顾已学知识，并为新课的学习做准备. · 探究新知 活动一：平均变化率 做一做：某企业五月份的利润是25万元，平均每月的增长率是20%,求预计七月份的利润将达到多少万元？ 预设答案：6月份：25+25×20%=25×(1+20%) 7月份：25×(1+20%)+25×(1+20%)×20%=25×(1+20%)²=36万元. 因此，预计七月份的利润将达到36万元. 设计意图：通过试一试初步体会平均变化率及销售问题，为进一步的学习打下基础. 总结：利用一元二次方程解决平均变化率问题： 若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为： a=b. 活动二：销售利润问题 试一试：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查发现，当这种台灯的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，平均每月就少售出10个.为了实现平均每月 10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 预设答案：设这种台灯售价上涨x元，根据题意，得 (40+x−30)(600−10x)=10 000. 解这个方程，得=10，=40(舍). 售价为：40+x= 40+10=50(元). 应购置台灯：600−10x=600−10×10=500(个). 所以，这种台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个. 设计意图：通过试一试熟悉销售问题中的等量关系，学会利用一元二次方程解决销售问题. 总结：利用一元二次方程解决销售利润问题： 常用的等量关系： ①总利润=销售总额−总成本； ②总利润=每件商品的利润×销售总数量. 通常可直接设商品的售价为未知数，但列出的方程比较难解，所以解决此类问题时经常间接设未知数. 议一议：回顾利用方程解决实际问题的过程，你对其中的关键环节有什么感悟？积累了哪些经验？与同伴进行交流. 预设答案：关键：寻找等量关系(总利润=单件利润×销量). 经验：设元优先直接设元(设售价)或间接设元(设降价/涨价)，看哪个列式更简便. 解出方程后，必须检验解是否符合实际范围(如价格区间、销量为正)，舍去不合理的根. 设计意图：明确利用方程解决实际问题的关键和步骤是什么. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【经典例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3 月每个月生产成本的下降率都相同. 求每个月生产成本的下降率. 解：设该公司每个月生产成本的下降率为x， 根据题意，得400(1-x)2＝361. 解得x1＝5%， x2＝1.95>1(不合题意，舍去). 所以，每个月生产成本的下降率为5%. 例2 某商场今年2月份的营业额为440万元，4月份的营业额达到633.6万元．求2月份到4月份营业额的月平均增长率． 解：设2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得440(1＋x)2＝633.6. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)． 所以，2月份到4月份营业额的月平均增长率为20%. 注意：本题中营业额呈增长趋势，故增长率为正，舍去负值；增长率可以超过 1（即超过100%）但下降率不可以超过1. 设计意图：例1、2让学生学会利用一元二次方程解决平均变化率问题. 【教材例题】 例3 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元.调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 分析：这一情境中涉及哪些量？它们之间存在怎样的等量关系？ 售价−进价=利润；每台利润×每天的销售量=每天的总利润. 设每台冰箱降价 x 元， 售价每降低 50 元，多售出 4 台. 售价每降低 100 元，多售出 4× 台. 售价每降低 x 元，多售出 4×台. 解：设每台冰箱的销售价降低 x 元，根据题意，得(2 900-x-2 500)(8+4×) = 5 000. 解这个方程，得x1 = x2 = 150. 2 900-150 = 2 750(元). 所以，每台冰箱应定价为 2 750 元. 设计意图：例3及让学生学会利用一元二次方程解决销售问题. 想一想：在例3中，如果设每台冰箱的定价应为x元，那么你能列出怎样的方程？它与例3中列出的方程有什么区别和联系？与同伴进行交流. 预设答案：设每台冰箱的定价为x元，则可列方程为(x-2 500)(8+4×) = 5 000. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1.某批发市场礼品柜台在春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元. 为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施.调查发现，这种贺年卡的售价每降低0.05元，平均每天就可多售出200张. 摊主要想平均每天赢利180元，这种贺年卡每张应降价多少元？ 解：设每张贺卡应降价x元，根据题意，得 (0.3－x) (×200＋500) ＝180. 解这个方程，得 x1＝0.1，x2＝． 又因为摊主想尽快减少库存， 所以减得越多，卖得越多． 所以在盈利相同的情况下选择降价 0.1 元更合适． 【自选练习】 2. 某公司今年 10 月的营业额为 2 500 万元，按计划第四季度的总营业额要达到 9 100 万元，求该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率. 解: 设该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率为 x，根据题意，得 2 500＋2 500(1＋x)＋2 500(1＋x)2＝9 100. 解这个方程，得x1＝0.2＝20％，x2＝－3.2(舍去)． 所以，该公司11，12两个月营业额的月均增长率为20％． 3.一个农业合作社以64 000元的成本收获了某种农产品 80t，目前可以以 1 200 元/t 的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失 2t，且每星期需支付各种费用1 600元，但同时每星期每吨的价格将上涨 200 元. 那么，储藏多少个星期出售这批农产品可获利122 000元？ 解: 设储藏x个星期出售这批农产品可获利 122 000 元，根据题意，得 (1 200＋200x)(80－2x)－1 600x＝122 000＋64 000. 解这个方程，得x1＝x2＝15． 所以，储藏 15 个星期出售这批农产品可获利 122 000元. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.平均变化率问题的通用公式是什么？ 2.销售问题中常见的数量关系有哪些？ 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $