专题 1.7 中考模型专题——特殊平行四边形核心几何模型（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理特殊平行四边形核心几何模型，将菱形60°等边模型、矩形折叠模型等五大模型的条件、结论及考点提示结构化呈现，清晰标注重点模型和难点问题的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如含60°菱形计算，综合题型如正方形半角模型证明，结合中考真题训练，培养推理意识和模型意识。同步检测分选择、填空、解答题，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题 1.7 中考模型专题——特殊平行四边形核心几何模型（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、学习目标与重难点 1 二.模型梳理与解读 2 【知识点一】菱形60°或120°等边模型（必考基础模型） 2 【知识点二】矩形折叠模型（中考计算高频模型） 2 【知识点三】正方形十字架模型（压轴证明高频） 2 【知识点四】特殊平行四边形中心对称模型（通用模型） 3 【知识点五】正方形半角模型（几何压轴必考模型） 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】含60°或120°菱形模型 3 【题型 2】特殊平行四边形折叠模型 7 【题型 3】正方形十字架模型 10 四.题型精析（综合提升） 13 【题型 4】含60°或120°菱形模型 13 【题型 5】特殊平行四边形折叠模型 17 【题型 6】正方形十字架模型 23 【题型 7】特殊平行四边形中心对称模型 27 【题型 8】正方形半角模型 31 五.同步检测 42 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 42 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 53 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 60 一、学习目标与重难点 1. 系统掌握特殊平行四边形四大必考几何模型的图形特征、核心结论与适用条件； 2. 熟练识别隐藏模型，直接运用模型结论快速解题，简化几何推导步骤； 3. 掌握模型基础题型与变式题型解法，突破折叠、等边转化、线段相等证明等高频难点； 4. 结合全国中考真题分层训练，提升几何读图、条件转化、综合推理能力。 重点：菱形60°等边模型、矩形折叠模型、正方形十字架模型、中心对称面积模型的识别与基础结论应用。 难点：几何模型变式识别、隐藏模型条件挖掘；多模型结合题型综合运用；折叠问题勾股方程解题思路。 二.模型梳理与解读 【知识点一】菱形60°或120°等边模型（必考基础模型） 模型条件：菱形中有一个内角为60°或120°。 核心结论 1. 菱形含60°内角，短对角线与菱形两边构成等边三角形，短对角线长度=菱形边长； 2. 长对角线长度为边长的倍； 3. 菱形面积公式：（为菱形边长）。 【考点提示】看到菱形60°、120°角度条件，优先构造等边三角形，可直接用等边性质解题，无需重复证全等，大幅简化计算和证明过程。 【知识点二】矩形折叠模型（中考计算高频模型） 模型条件：矩形沿任意直线翻折，顶点、边翻折至图形内部或边上。 核心性质 1. 折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等； 2. 折叠产生的重叠部分，多为等腰三角形； 3. 直角矩形折叠，核心解题方法：设未知数+勾股定理列方程。 【考点提示】：矩形折叠题型90%为计算题，切忌硬算，通过设未知线段长，利用直角三角形勾股关系建立方程，是通用解题模板。 【知识点三】正方形十字架模型（压轴证明高频） 模型条件：正方形两组对边上各取一点，连接成线段，两条线段互相垂直。 核心结论：正方形对边上互相垂直的两条线段长度相等。 【易错提示】 1. 线段无需过正方形中心，只要满足对边端点、互相垂直，结论均成立； 2. 逆命题不成立：正方形对边上长度相等的两条线段，不一定互相垂直； 3. 支持变式：线段在正方形外部、延长线上，垂直条件成立，线段相等结论依然适用。 【知识点四】特殊平行四边形中心对称模型（通用模型） 模型条件：矩形、菱形、正方形均为中心对称图形，对角线交点为对称中心。 核心结论 1. 过对称中心的任意直线，均可将图形分成面积、周长均相等的两部分； 2. 过中心的直线与对边相交，截得的线段被对称中心平分，可构造全等三角形。 【考点提示】：选择填空秒解模型，常用于面积分割、线段等量转化，题型简单但考查频率极高。 【知识点五】正方形半角模型（几何压轴必考模型） 模型条件 在正方形 中，顶点为公共顶点，，点在边上、点在边上。正方形顶角，恰好为顶角的一半，因此称为半角模型。 核心结论 1. 线段结论：（模型核心结论）； 2. 周长结论： 的周长 ，即为正方形边长的2倍； 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】含60°或120°菱形模型 【例题1】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知菱形的边长为，，对角线相交于点O，试求出菱形两条对角线的长和面积． 【答案】，；面积为 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分和面积的求解方法是解题的关键． 先判断出是等边三角形，再根据菱形的对角线互相垂直平分和等边三角形的性质求出，再由勾股定理可得的长，然后根据菱形的对角线互相平分求出，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 解：∵菱形的边长为， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，菱形中，，以为边长的正方形的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及正方形的周长计算，解题的关键是根据菱形的性质和已知角度推出等边三角形，进而确定的长度． 由菱形性质得结合可判定为等边三角形，从而得出再根据正方形边长等于的长度，计算其周长． 解：∵四边形是菱形， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）． ∴． ∵四边形是正方形 ∴正方形的边长为． ∴正方形的周长． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）有一个内角是的菱形，边长为3，则菱形的周长为________；菱形的面积为_______． 【答案】 12 【分析】根据菱形的性质即可求解． 解：如图所示：    因为菱形的边长为3 所以菱形的周长为： 所以菱形的面积为： 故答案为：12； 【点拨】本题考查利用菱形的性质求线段的长度，勾股定理，含30度直角三角形的性质．灵活运用相关知识点是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的对角线、相交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2） 【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得，，然后证明得到，，根据平行四边形的判定即可得证； （2）欲求菱形的面积，求得、的长度即可． 解：（1） 略 （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∴菱形的面积． 【点拨】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理的运用．掌握菱形的性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【题型 2】特殊平行四边形折叠模型 【例题2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）若，求的度数； （2）若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】此题考查图形的翻折变换，勾股定理，注意折叠前后的对应关系是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到的度数，根据翻折变换的性质得到的度数，根据平角得到答案； （2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案． （1）解： 由翻折的性质可知： （2）①设由题意可知：， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 ②设由题意可知：， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】设，则，由折叠性质可知，，，所以，，在中，根据，即可求解． 解：设，则，由折叠性质可知，，， 在中，，， ， ， 在中，根据， 即, 解得， 故选：B． 【点拨】本题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此题的关键． 【变式2】（2025·河北·一模）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为__________． 【答案】55度/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质， 先根据菱形等腰三角形的性质得，再根据折叠的性质求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. 解：四边形是菱形， ， ． 由折叠的性质得， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图所示，四边形是矩形，把沿折叠到，与交于点，若，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形为矩形，得，，，，再结合折叠性质，得，由平行线的性质，得，再进行角的等量代换以及等角对等边，最后根据勾股定理列式，计算即可作答． 解：四边形为矩形， ，，，， 沿折叠到，与交于点， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得． 即的长为． 【题型 3】正方形十字架模型 【例题3】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ． 【分析】利用四边形性质得出，，结合题目条件通过证明，从而． 解：略． 【变式1】（24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，再导角即可证明． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于和上，且．问题：此时与有怎样的关系？请说明理由．    【答案】解：且，理由是： 证明：由题意可得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 且． 解：略 【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，是解题关键． 【变式3】（考点15全等三角形相关问题（考点）-备战2021年中考数学考点微专题）如图，两只蚂蚁分别位于一个正方形相邻的两个顶点A，B上，它们分别沿AE，BF的路线向BC和CD爬行，如果AE和BF相互垂直，那么它们爬行的距离相等吗？ 【答案】相等，理由见分析． 【分析】根据题意得出△ABE≌△BCF（SAS），可得AE＝BF，进而得出答案． 解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵∠CBF+∠ABO＝90°， ∴∠EAB+∠ABO＝90°， ∴∠CBF＝∠EAB， 在△BFC和△AEB中 ∴△BFC≌△AEB（AAS）， ∴AE＝BF． 【点拨】本题考查全等三角形的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】含60°或120°菱形模型 【例题4】（21-22八年级下·河南安阳·期末）如图，在四边形ABCD中，，，． （1）求证：四边形ABCD为菱形． （2）点E、F分别在线段BC、CD上，连接AE、AF，若，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）根据平行线的判定和性质证明即可； （2）连接AC，，证明△ABC是等边三角形，进而证明即可得到解答． 解：（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵， ∴四边形ABCD是菱形． （2）连接AC． ∵，， ∴△ABC是等边三角形， ∴，，． ∵， ∴． 在△ABE与△ACF中， ， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练的掌握以上基本的性质． 【变式1】（25-26八年级下·贵州铜仁·期末）如图，已知菱形的边长是8，，则菱形的面积是（     ） A． B． C．32 D．16 【答案】B 【分析】根据题意可求出，根据，可求出，根据菱形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，然后求出对角线的长即可求解． 解：∵菱形的边长是8，， ∴，， ∵， ∴， 设交于点， ∴在中，，， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积是． 【变式2】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点，且．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】首先证明平行四边形是菱形，再利用直角三角形的性质，勾股定理求解即可； 解：∵平行四边形的对角线相交于点，且， ∴平行四边形是菱形， ∴,， ∵，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 【变式3】（2022·四川广安·二模）如图所示，在菱形中，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合，求证：． 【答案】证明：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】连接，利用菱形性质及角度条件证得为等边三角形，得到，证明，即可证明． 解：略 【题型 5】特殊平行四边形折叠模型 【例题5】（22-23八年级下·河南安阳·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断：操作一：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处．得到折痕； 操作二：将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕交于点M，如图2． 根据以上操作： ①写出图1中一个的角： ； ②判断四边形的形状，并证明； （2）拓展应用：图2中，写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①（答案不唯一）；②四边形是正方形，证明见分析；（2）．证明见分析 【分析】（1）①根据折叠的性质可以证明四边形是正方形，进而可以解决问题；②由折叠性质得，，，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形； （2）连接，证明，得，便可得结论． （1）解：①（答案不唯一），理由如下： ∵是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； ②四边形是正方形， 证明：∵是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）． 证明：如图，连接，由（1）知，， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∴， 又， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了矩形的折叠，菱形的判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，解决本题关键熟练掌握相关的判定与性质． 【变式1】（22-23八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，折叠矩形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求解即可得． 解：四边形是矩形，且， ， ， ， 由折叠的性质得：， ，， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故选：A． 【点拨】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、二次根式的运算，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键． 【变式2】（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在菱形中， ，，点是边上的动点，把沿着折叠得到，点的对应点为，当时，的长为______． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，则可得．由折叠的性质可得，，进而可得．设，则，由可求出x的值，即可得的长． 本题主要考查了菱形的性质、折叠的性质、三角函数．熟练掌握以上知识是解题的关键． 解：∵四边形是菱形，且，， ，， ， ， ， ∵把沿着折叠得到， ，， 又， ， 设，则， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】的数量关系； 【证明】请你证明上面的猜想； 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）若，，求的长． 【答案】[猜想] ；证明：矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． [应用]（1）解：；理由如下： 由四边形折叠得到四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即； （2）5 【分析】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 【猜想】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解； 【应用】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解； （2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可． 解：【猜想】：略 【证明】：略 【应用】（1）略 （2）矩形沿所在直线折叠， ，，， 设， ， 在中，， ， ， 解得， ， ． 【题型 6】正方形十字架模型 【例题6】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． （1）判断，的关系； （2）若，，求的长． 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余和角度和差计算即可证得结论； （2）利用正方形的性质，勾股定理及三角形面积公式即可求得最终结果． （1）解：在正方形中，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2022·辽宁大连·二模）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ，． ． 又， ． ． ． ． ． 【分析】证明即可得到． 解：略 【变式2】（25-26八年级下·广西崇左·期末）【教材重现】沪科版八年级下册数学教材第113页第10题是这样一个问题；如图，在正方形中，如果点、分别在、上，且，与相交于点，求的度数．（小明求得） 【变式探究】小明在解决课本的问题后，作如下探究：在下图中，小明认为若将条件“”，改为“，垂足为”，则一定有．你认为小明的判断对吗？说明理由； 【答案】解：小明的判断正确，理由如下： ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据得到，由正方形的性质得到，则可证明，再证明，则可证明． 解：略 【变式3】（25-26八年级下·广东湛江·期末）如图1，在正方形中，点E和F分别是边和上的动点（点E与点A，B不重合，点F与点A，D不重合），且，连接，，相交于点G． （1）求证：； （2）如图2，当点E，F运动到，的中点时，连接，求证：． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ． ． ， ． ． 即． （2）证明：如图2，延长，交于点，             四边形是正方形， ． 是的中点， ．     在和中， ． ． ， ． ， ．     是直角三角形． ． 【分析】（1）先根据正方形的性质证明，得到，证明，即可证明； （2）如图，延长交于点H，证明，得到，则，由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到． 解：（1）略． （2）略． 【题型 7】特殊平行四边形中心对称模型 【例题7】（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质， 先说明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得答案. 解：证明：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴四边形是平行四边形. ∵，且， ∴， 即， ∴四边形是矩形. 【变式1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，已知点是矩形的对称中心，、分别是边、上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等三角形的判定得到，将阴影部分的面积转化为的面积进行计算即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 故选：． 【点拨】此题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定，解题的关键题是阴影部分的面积一般的思路是将不规则的阴影部分转化为求解． 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，，为对角线的中点，点，分别从点和同时出发，在边和上匀速运动，并且同时到达终点，，连接，并延长分别与，交于点，．在整个运动过程中，下列判断不一定正确的是（     ） A．四边形是矩形 B． C．与成中心对称 D． 【答案】A 【分析】利用矩形的性质证明，可得，，同理可得：，证明四边形为平行四边形，再进一步逐一分析判断即可． 解：如图，连接， ∵在矩形中， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵是动点，是变化的，不一定相等， ∴四边形不一定是矩形，A符合题意； ∵， ∴， ∴与成中心对称，故B，C不符合题意； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D不符合题意． 【变式3】（24-25九年级上·山西·期中）如图，正方形ABCD与正方形关于某点中心对称，已知A，三点的坐标分别是（0，5），（0，1），（3，1）． （1）求对称中心的坐标． （2）写出顶点D，B，的坐标． 【答案】（1）（0，3）；（2）点D（0，2），B（-3,5），， 【分析】（1）首先根据A1，B1的坐标分别是（0，1），（3，1），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后求出点B的坐标，根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是B1B的中点，据此解答即可． （2）根据A，三点的坐标分别是（0，5），（0，1），（3，1），判断出顶点D，B，的坐标各是多少即可． 解：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是B1B的中点， ∵A1（0,1），B1（3,1） ∴ ∴正方形ABCD与正方形的边长为3 ∵A（0,5） ∴B（-3,5） 又B1（3,1） ∴对称中心Q的坐标是（0，3）． （2）∵A（0,5），B（-3,5），且AB=BC=CD=3 ∴点C的坐标为（-3.2） ∴点D的坐标为（0，2） ∵A1（0,1），B1（3,1），且正方形的边长为3 ∴ ∴ 【点拨】此题主要考查了正方形的性质，坐标与图形的性质的应用，根据题意得出旋转后对应点位置是解题关键． 【题型 8】正方形半角模型 【例题8】（21-22八年级下·江西吉安·期末）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，由，得，即点F、D、G共线，易证______，故、、之间的数量关系为______．（要求写出必要的推理过程） （2）类比引申 如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系为______，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1），；（2）； 证明：如图2，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，则点G在上， 由旋转得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；   （3） 【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，求出，证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，求出，证明，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，连接，求出，由勾股定理可得，然后证明（SAS），根据全等三角形的性质可得答案． （1）解：如图1，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合， 由旋转得：，，，， ∴，即点F、D、G共线， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）略 （3）如图3，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，连接， 由旋转得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 由勾股定理得：，    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 【变式1】（23-24九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形中，，且，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，延长到点使，连接、，证明得到，，，证明，得到， 设，则，，利用勾股定理得到，求出的值即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 解：如图，延长到点使，连接、， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，，， ， ， 解得：， ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，，点E、F分别在、上，连接、、、，当，时，的长为______． 【答案】 【分析】延长至使，连接．由正方形性质得，，先证，得，．由得，再证，得．设，则，，，在中由勾股定理列方程，解得，在中由勾股定理得． 解：如图，延长至，令，连接， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则，，， 在中，，即 解得， 在中， 【变式3】（23-24八年级下·全国·期中）探究问题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即______． 又∵，， ∴__________． ∴， ∵， 又， ∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________； （2）方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 【答案】（1）；；；（2）解：，；证明如下： 如图，延长至点G，连接，使得， 将沿斜边翻折得到，点E、F分别为、边上的点，且， ，，， ， ， 即． 在和中， ， ， ，． 在和中， ， ， ， ，， ， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明．得出，根据，得出．证明，得出，，根据，即可得出结论； （2）延长至点G，连接，使得，证明，得出，．证明，得出，根据，得出，根据，，得出，即可得出答案； （3）延长至点Q，连接，使得，证明，得出，，证明，得出，根据，得出． 解：（1）证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 又∵，， ∴． ∴， ∵， 又， ∴． ，理由如下： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当时，． 如图，延长至点Q，连接，使得， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， ， 当时，可使得． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，补角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，小明在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形．若，则菱形的面积为（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，关键是由等边三角形的性质求出菱形的高的长．过A作于H，由菱形的性质得到，判定是等边三角形，得到，求出的长，即可求出菱形的面积． 解：过A作于H， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，将边长分别是4，8的矩形纸片折叠，使点与点重合，则的长是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】由折叠的性质可得出AF＝CF，设BF＝m，则AF＝8−m，在Rt△ABF中，利用勾股定理可得出关于m的方程，解之即可得出结论． 解：由折叠的性质可知：AF＝CF． 设BF＝m，则AF＝CF＝8−m， 在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，AB＝4，BF＝m，AF＝8−m， ∴ ，即 ， ∴m＝3． 故选：B． 【点拨】本题考查了翻转变换、矩形的性质以及勾股定理，在Rt△ABF中，利用勾股定理找出m（AF的长）的方程是解题的关键． 3．（2024·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．根据菱形的性质可得：，，推出、是等边三角形，得到，，证明，得到，即可求解． 解：四边形是菱形， ，， 、是等边三角形， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，折痕为，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．8 D．14 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的长，由折叠的性质可得，根据矩形的性质可得，进而得到，从而证得即可求解． 解：在中，， 由勾股定理得：， ∵矩形沿折叠，使点与点重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形中，若，点在上，点在上，则①；②；③，④．其中一定成立的是（    ）    A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是是解决本题的关键． 延长至点，使得，连接，过点作于点，先证明，根据性质结合正方形的性质证明，则，由得到，故①正确；设正方形边长为，即，则，故，因此②正确；证明，则，，故③正确；证明，则，故④正确． 解：延长至点，使得，连接，过点作于点，      ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； 设正方形边长为，即， ∴， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④正确， ∴正确的有①②③④， 故选：A． 6．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．根据正方形的性质可得，，将绕点顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示： 则，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A．    7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先作，可知四边形是矩形，再得出，然后根据得出答案． 解：过点O作，交于点P，Q， ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为．则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用正方形的性质，求出，利用折叠的性质，得到；根据角的数量关系，等角对等边，可得；，求出；利用线段的数量关系，求出，最后根据菱形的面积公式，即可求解． 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴点，在上， 由折叠可得，， ∴， ∵ ∴， ∴； 同理，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴菱形的面积为：． 9．（2024·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（   ） A．（36）cm2 B．（36）cm2 C．24 cm2 D．36 cm2 【答案】A 【分析】过点C作，过点B作，根据折叠的性质求出，，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解． 解：如图，过点C作，过点B作， ∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查折叠的性质、解直角三角形，掌握折叠的性质是解题的关键． 10．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）【操作探究】：在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，可得四边形的形状（） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据折叠的性质、线段垂直平分线的性质得到，证明，根据菱形的判定定理证明结论； 本题考查的是菱形的判定，线段垂直平分线的性质． 解：连接、， 由折叠可知，是的平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）在菱形中，，若菱形的边长为8，则面积为______． 【答案】 【分析】过点作于，求出，再根据菱形面积公式计算面积即可． 解：如图，过点作于， 四边形是菱形，边长为， ， ， ∴， ∴， ， ． 12．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为________． 【答案】 【分析】过点C作于P，作于Q；首先可证明四边形是平行四边形，进而利用面积相等证明四边形是菱形，则可得是等边三角形，进一步即可求解． 解：如图，过点C作于P，作于Q； 由题意知，， ∴四边形是平行四边形； ∵两张纸宽度相同， ∴； ∵， ∴ ∴四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∴， 解得：， ∴. 13．（2024·湖北·一模）如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，设，，证明，求得，由折叠的性质求得，在中，利用勾股定理列式计算，即可求解． 解：连接，设，， 由矩形的性质和折叠的性质知，，， ∵，， ∴， ∴， 由矩形的性质知： ∴， 折叠的性质知：， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴，即， 在中，，即， 解得， ∴， 故答案为： 14．（2025·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理得出，求出结果即可． 解：四边形是矩形，， ，， 由折叠得， 在中，， ， 在Rt中，， ， 解得， ∴点的坐标为． 15．（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在正方形中，点在上，点在上，且，交于点，交于点，则线段、、之间的数量关系为___________． 【答案】 【分析】把逆时针旋转得，连接，根据正方形的性质及旋转的性质得出，，，，，进而得出，利用可证明，得出，利用勾股定理即可得出． 解：如图，把逆时针旋转得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵把逆时针旋转得， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】利用直角三角形的性质求得，再求得，最后利用直角三角形的性质求解即可． 解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相交于点，若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为________． 【答案】 【分析】根据阴影部分的面积与正方形的面积之比为，得出阴影部分的面积为12，空白部分的面积为4，进而依据的面积以及勾股定理，得出的长，进而得出其周长． 解：阴影部分的面积与正方形的面积之比为， 阴影部分的面积为， 空白部分的面积为， 由，，，可得， 的面积与四边形的面积相等，均为， ， ， ，即， 设，，则， 又， ， 即， ，即， 的周长， 故答案为：． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用． 18．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）将长方形形纸片（如图1，）沿过点所在的直线折叠，使得点落在边上处，折痕为（如图2）再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的处，点落在边上的处，折痕为（如图3），如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，，______．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，，由折叠得，，则，因为，，所以，而，，即可证明，得，所以，则，于是得到问题的答案． 解：四边形是矩形， ，， 由折叠得，， ， ，， ， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△，且是解题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在菱形中，，周长是．求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由四边形是菱形，，可得是含的直角三角形，进而可求得答案； （2）由菱形的面积等于对角线乘积的二分之一可求得答案． 解：（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 又∴， ∴， ∵菱形的周长是. ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：. 【点拨】本题考查了菱形的性质和面积求法，熟练掌握相关知识是解题关键． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广东东莞·阶段检测）如图，将一个边长，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．    【答案】的长为 【分析】根据矩形折叠的性质可得，，设，在中，根据勾股定理即可求解． 解：∵四边形是矩形，是折痕，点与点重合，且，， ∴，设， ∴， 在中，， ∴，解得，， ∴的长为． 【点拨】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形是正方形． （2）若，，试求出的长． 【答案】（1）根据题意得，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴矩形是正方形； （2）2或3 【分析】（1）根据题意得，，得，，根据得，根据得，则，，可得四边形是矩形，根据得，即可得； （2）设，根据，，矩形是正方形得，，，根据，得，，则， 在中，根据勾股定理得，进行计算即可得． 解：（1）略 （2）解：设， ∵，，矩形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， 即或． 【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级上·江苏扬州·开学考试）如图菱形中，，点E在边上，点F在边上，且． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，如图，根据菱形的性质得，而，则可判定为等边三角形，得到，易得，然后利用可证明，于是得到，即可证明是等边三角形； （2）过点作于点，过点作于点，先根据（1）中全等三角形得到，，而，由角直角三角形性质以及勾股定理求得，再由勾股定理求得，同理可求：，，最后由面积公式求解． 解：（1）证明：连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （2）解：过点作于点，过点作于点， ∵ ∴， ∴在菱形中，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴同理可求：，， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在矩形纸片中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处（图1），连接．设与相交于点F，求的长； （2）图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； （3）将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（图2），求折痕的长． 【答案】（1）的长为；（2）四边形是等腰梯形，理由如下： 由翻折可得，， 由（1）知， 故，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是等腰梯形； （3） 【分析】（1）先由折叠的性质和平行线的性质得出，再设，则，根据勾股定理即可求解； （2）通过折叠的性质和矩形对边相等的性质，得到，再利用（1）中的关系，求出，利用等边对等角和对顶角相等，得到，从而得到，即可得到四边形的形状； （3）连接，由折叠的性质，确定被垂直平分，可得，，由（1）可得，即可判断四边形为菱形，通过勾股定理求得和的长，最后通过菱形的面积求解即可． （1）解∶由折叠可知，， 又∵， ∴， ∴，故， 又∵，， 设，则， 在中，由勾股定理可得 解得 即的长为 （2）略 （3）解：如图1所示，连接，则被垂直平分，故，， 又由（1）中同理可证， 故，即四边形为菱形， 设，则， 在中，由勾股定理可得 ， 解得 由勾股定理可得， 根据菱形的面积可得 ， ∴ ． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，正方形的边长为6，分别是边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到． （1）①求证：； ②当时，求的长． （2）类比迁移 若点分别为正方形两条边的延长线上的动点，三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探究． ①如图2，在正方形中，点分别是延长线上的动点，且、、之间的数量关系是什么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程． ②如图3，在正方形中，点分别是延长线上的动点，且，则、之间的数量关系是______（直接写出关系式）． 【答案】（1）①证明：∵逆时针旋转得到，四边形是正方形， ∴， ∴F、C、M三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②5 （2）①． 证明：如图2，将绕点A顺时针旋转至， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】（1）①由旋转可得为直角，可得出，由，得到，可得出，再由，利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出；②旋转得到，正方形的边长为6，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为的长． （2）①将绕点A顺时针旋转至根据可证明，可得，即可得结论； ②将绕点A逆时针旋转至，证明，可得出，即可得结论． 解：（1）（1）略 ②设， 由旋转可得：， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 则． （2）解：①略 ②如图3，将绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即． 故答案为：． 【点拨】此题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.7 中考模型专题——特殊平行四边形核心几何模型（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、学习目标与重难点 1 二.模型梳理与解读 2 【知识点一】菱形60°或120°等边模型（必考基础模型） 2 【知识点二】矩形折叠模型（中考计算高频模型） 2 【知识点三】正方形十字架模型（压轴证明高频） 2 【知识点四】特殊平行四边形中心对称模型（通用模型） 3 【知识点五】正方形半角模型（几何压轴必考模型） 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】含60°或120°菱形模型 3 【题型 2】特殊平行四边形折叠模型 4 【题型 3】正方形十字架模型 5 四.题型精析（综合提升） 6 【题型 4】含60°或120°菱形模型 6 【题型 5】特殊平行四边形折叠模型 7 【题型 6】正方形十字架模型 9 【题型 7】特殊平行四边形中心对称模型 10 【题型 8】正方形半角模型 11 五.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一、学习目标与重难点 1. 系统掌握特殊平行四边形四大必考几何模型的图形特征、核心结论与适用条件； 2. 熟练识别隐藏模型，直接运用模型结论快速解题，简化几何推导步骤； 3. 掌握模型基础题型与变式题型解法，突破折叠、等边转化、线段相等证明等高频难点； 4. 结合全国中考真题分层训练，提升几何读图、条件转化、综合推理能力。 重点：菱形60°等边模型、矩形折叠模型、正方形十字架模型、中心对称面积模型的识别与基础结论应用。 难点：几何模型变式识别、隐藏模型条件挖掘；多模型结合题型综合运用；折叠问题勾股方程解题思路。 二.模型梳理与解读 【知识点一】菱形60°或120°等边模型（必考基础模型） 模型条件：菱形中有一个内角为60°或120°。 核心结论 1. 菱形含60°内角，短对角线与菱形两边构成等边三角形，短对角线长度=菱形边长； 2. 长对角线长度为边长的倍； 3. 菱形面积公式：（为菱形边长）。 【考点提示】看到菱形60°、120°角度条件，优先构造等边三角形，可直接用等边性质解题，无需重复证全等，大幅简化计算和证明过程。 【知识点二】矩形折叠模型（中考计算高频模型） 模型条件：矩形沿任意直线翻折，顶点、边翻折至图形内部或边上。 核心性质 1. 折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等； 2. 折叠产生的重叠部分，多为等腰三角形； 3. 直角矩形折叠，核心解题方法：设未知数+勾股定理列方程。 【考点提示】：矩形折叠题型90%为计算题，切忌硬算，通过设未知线段长，利用直角三角形勾股关系建立方程，是通用解题模板。 【知识点三】正方形十字架模型（压轴证明高频） 模型条件：正方形两组对边上各取一点，连接成线段，两条线段互相垂直。 核心结论：正方形对边上互相垂直的两条线段长度相等。 【易错提示】 1. 线段无需过正方形中心，只要满足对边端点、互相垂直，结论均成立； 2. 逆命题不成立：正方形对边上长度相等的两条线段，不一定互相垂直； 3. 支持变式：线段在正方形外部、延长线上，垂直条件成立，线段相等结论依然适用。 【知识点四】特殊平行四边形中心对称模型（通用模型） 模型条件：矩形、菱形、正方形均为中心对称图形，对角线交点为对称中心。 核心结论 1. 过对称中心的任意直线，均可将图形分成面积、周长均相等的两部分； 2. 过中心的直线与对边相交，截得的线段被对称中心平分，可构造全等三角形。 【考点提示】：选择填空秒解模型，常用于面积分割、线段等量转化，题型简单但考查频率极高。 【知识点五】正方形半角模型（几何压轴必考模型） 模型条件 在正方形 中，顶点为公共顶点，，点在边上、点在边上。正方形顶角，恰好为顶角的一半，因此称为半角模型。 核心结论 1. 线段结论：（模型核心结论）； 2. 周长结论： 的周长 ，即为正方形边长的2倍； 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】含60°或120°菱形模型 【例题1】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知菱形的边长为，，对角线相交于点O，试求出菱形两条对角线的长和面积． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，菱形中，，以为边长的正方形的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【变式2】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）有一个内角是的菱形，边长为3，则菱形的周长为________；菱形的面积为_______． 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的对角线、相交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求菱形的面积． 【题型 2】特殊平行四边形折叠模型 【例题2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）若，求的度数； （2）若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ）    A． B． C．3 D． 【变式2】（2025·河北·一模）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为__________． 【变式3】（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图所示，四边形是矩形，把沿折叠到，与交于点，若，，求的长． 【题型 3】正方形十字架模型 【例题3】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 【变式1】（24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 【变式2】（24-25八年级下·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于和上，且．问题：此时与有怎样的关系？请说明理由．    【变式3】（考点15全等三角形相关问题（考点）-备战2021年中考数学考点微专题）如图，两只蚂蚁分别位于一个正方形相邻的两个顶点A，B上，它们分别沿AE，BF的路线向BC和CD爬行，如果AE和BF相互垂直，那么它们爬行的距离相等吗？ 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】含60°或120°菱形模型 【例题4】（21-22八年级下·河南安阳·期末）如图，在四边形ABCD中，，，． （1）求证：四边形ABCD为菱形． （2）点E、F分别在线段BC、CD上，连接AE、AF，若，求证：． 【变式1】（25-26八年级下·贵州铜仁·期末）如图，已知菱形的边长是8，，则菱形的面积是（     ） A． B． C．32 D．16 【变式2】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点，且．若，则的长为___________． 【变式3】（2022·四川广安·二模）如图所示，在菱形中，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合，求证：． 【题型 5】特殊平行四边形折叠模型 【例题5】（22-23八年级下·河南安阳·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断：操作一：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处．得到折痕； 操作二：将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕交于点M，如图2． 根据以上操作： ①写出图1中一个的角： ； ②判断四边形的形状，并证明； （2）拓展应用：图2中，写出线段与的数量关系，并说明理由． 【变式1】（22-23八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，折叠矩形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在菱形中， ，，点是边上的动点，把沿着折叠得到，点的对应点为，当时，的长为______． 【变式3】（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】的数量关系； 【证明】请你证明上面的猜想； 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）若，，求的长． 【题型 6】正方形十字架模型 【例题6】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． （1）判断，的关系； （2）若，，求的长． 【变式1】（2022·辽宁大连·二模）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，且．求证：． 【变式2】（25-26八年级下·广西崇左·期末）【教材重现】沪科版八年级下册数学教材第113页第10题是这样一个问题；如图，在正方形中，如果点、分别在、上，且，与相交于点，求的度数．（小明求得） 【变式探究】小明在解决课本的问题后，作如下探究：在下图中，小明认为若将条件“”，改为“，垂足为”，则一定有．你认为小明的判断对吗？说明理由； 【变式3】（25-26八年级下·广东湛江·期末）如图1，在正方形中，点E和F分别是边和上的动点（点E与点A，B不重合，点F与点A，D不重合），且，连接，，相交于点G． （1）求证：； （2）如图2，当点E，F运动到，的中点时，连接，求证：． 【题型 7】特殊平行四边形中心对称模型 【例题7】（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 【变式1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，已知点是矩形的对称中心，、分别是边、上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，，为对角线的中点，点，分别从点和同时出发，在边和上匀速运动，并且同时到达终点，，连接，并延长分别与，交于点，．在整个运动过程中，下列判断不一定正确的是（     ） A．四边形是矩形 B． C．与成中心对称 D． 【变式3】（24-25九年级上·山西·期中）如图，正方形ABCD与正方形关于某点中心对称，已知A，三点的坐标分别是（0，5），（0，1），（3，1）． （1）求对称中心的坐标． （2）写出顶点D，B，的坐标． 【题型 8】正方形半角模型 【例题8】（21-22八年级下·江西吉安·期末）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，由，得，即点F、D、G共线，易证______，故、、之间的数量关系为______．（要求写出必要的推理过程） （2）类比引申 如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系为______，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形中，，且，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，，点E、F分别在、上，连接、、、，当，时，的长为______． 【变式3】（23-24八年级下·全国·期中）探究问题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即______． 又∵，， ∴__________． ∴， ∵， 又， ∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________； （2）方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，小明在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形．若，则菱形的面积为（    ） A． B． C．8 D．16 2．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，将边长分别是4，8的矩形纸片折叠，使点与点重合，则的长是（    ） A．2 B．3 C． D．4 3．（2024·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，折痕为，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．8 D．14 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形中，若，点在上，点在上，则①；②；③，④．其中一定成立的是（    ）    A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 6．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为．则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 9．（2024·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（   ） A．（36）cm2 B．（36）cm2 C．24 cm2 D．36 cm2 10．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）【操作探究】：在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，可得四边形的形状（） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）在菱形中，，若菱形的边长为8，则面积为______． 12．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为________． 13．（2024·湖北·一模）如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为_________． 14．（2025·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为___________． 15．（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在正方形中，点在上，点在上，且，交于点，交于点，则线段、、之间的数量关系为___________． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 17．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相交于点，若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为________． 18．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）将长方形形纸片（如图1，）沿过点所在的直线折叠，使得点落在边上处，折痕为（如图2）再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的处，点落在边上的处，折痕为（如图3），如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，，______．    （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在菱形中，，周长是．求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广东东莞·阶段检测）如图，将一个边长，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．    21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形是正方形． （2）若，，试求出的长． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级上·江苏扬州·开学考试）如图菱形中，，点E在边上，点F在边上，且． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在矩形纸片中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处（图1），连接．设与相交于点F，求的长； （2）图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； （3）将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（图2），求折痕的长． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，正方形的边长为6，分别是边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到． （1）①求证：； ②当时，求的长． （2）类比迁移 若点分别为正方形两条边的延长线上的动点，三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探究． ①如图2，在正方形中，点分别是延长线上的动点，且、、之间的数量关系是什么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程． ②如图3，在正方形中，点分别是延长线上的动点，且，则、之间的数量关系是______（直接写出关系式）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $