专题 2.2（2） 一元二次方程解法（公式法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦一元二次方程公式法解法核心知识点，系统梳理求根公式推导（基于配方法）、根的判别式、标准解题步骤，结合高频易错警示及三种解法对比，构建从原理到应用的完整学习支架，衔接前后知识脉络。 资料亮点在于分层题型设计，从基础的系数确定、判别式计算到拔高的参数取值、实际应用（如古希腊图解法问题），培养学生推理意识与模型观念。同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中例题变式助教师高效教学，课后可帮学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 2.2（2） 一元二次方程解法（公式法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】求根公式推导与公式定义 1 【知识点二】根的判别式 2 【知识点三】公式法解方程标准步骤 2 【知识点四】高频易错警示 2 【知识点五】一元二次方程三种解法对比 2 二.题型精析 3 【题型 1】确定系数、计算判别式（入门基础） 3 【题型 2】利用判别式判断根的情况（基础必考） 3 【题型 3】公式法解一元二次方程（核心重点1） 4 【题型 4】公式法解一元二次方程（核心重点2） 4 【题型 5】根据根的情况求参数取值范围（中档高频） 5 【题型 6】公式法实际应用（拔高拓展） 5 【题型 7】判别式综合证明（压轴拓展） 6 三.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.知识梳理解读 【知识点一】求根公式推导与公式定义 对于任意一元二次方程 ，可由配方法恒等变形推导得出通用求根公式。 推导核心过程： 1. 二次项系数化为1： 2. 移项配方： 3. 当 时，开方整理得一元二次方程求根公式： 公式法是解一元二次方程的万能通用解法，适用于所有有实数根的一元二次方程。 【知识点二】根的判别式 定义：把 叫做一元二次方程根的判别式，可直接判定方程实数根的个数，无需解方程。 判别式三种对应关系（核心考点） 1. ⇔ 方程有两个不相等的实数根； 2. ⇔ 方程有两个相等的实数根； 3. ⇔ 方程无实数根。 【知识点三】公式法解方程标准步骤 1. 整理方程：将方程化为标准一般形式 ； 2.确定系数：准确找出 的值（务必包含前面正负符号）； 3. 计算判别式：求出 ，判断根的存在性； 4. 代入公式求解：若 ，代入求根公式计算，化简根式得出方程的根；若 ，直接判定无实数根。 【知识点四】高频易错警示 1. 系数取值易错： 必须包含符号，常数项、一次项系数为负数时不可忽略负号； 2. 公式结构易错：分子是 ，分母是整体 ，不可拆分计算； 3. 前提条件易错：使用求根公式必须保证 且 ； 4. 未化一般式易错：非标准方程必须先整理，再确定系数计算判别式。 【知识点五】一元二次方程三种解法对比 1. 直接开平方法：适用于 特殊形式，计算最快； 2. 配方法：通用解法，多用于代数式最值、恒等变形、公式推导； 3. 公式法：万能解法，优先用于系数复杂、不易配方的一元二次方程。 二.题型精析 【题型 1】确定系数、计算判别式（入门基础） 【例题1】（24-25八年级下·山东威海·期末）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）一元二次方程，用求根公式求解时c的值是______． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·阶段检测）关于的一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·福建泉州·期末）下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第______步开始出错． 【题型 2】利用判别式判断根的情况（基础必考） 【例题2】（25-26九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断下列关于的一元二次方程根的情况： （1）． （2）． （3）． 【变式1】（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【变式2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）一般地，对于一元二次方程，当时，它的根的情况是_______． 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）证明：不论为何值，方程都有实根． 【题型 3】公式法解一元二次方程（核心重点1） 【例题3】（25-26九年级上·全国·课后作业）解方程时，有一名同学的解答如下： 上述过程中有无错误？如有错误请指出错误的地方，并写出正确的解题过程． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）解方程，得______，______． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【题型 4】公式法解一元二次方程（核心重点2） 【例题4】（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26九年级上·全国·单元复习）一元二次方程的较大实数根a的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 5】根据根的情况求参数取值范围（中档高频） 【例题5】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【变式3】（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【题型 6】公式法实际应用（拔高拓展） 【例题6】（25-26九年级下·山东淄博·期末）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． （1）若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； （2）请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 【变式1】（2025·安徽·一模）在菱形中，点是对角线上一点，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）的三边，，． （1）求证：是直角三角形； （2）是否同时存在，，（，，均为正整数）使得？若存在，求，，的值，若不存在，请说明理由． 【题型 7】判别式综合证明（压轴拓展） 【例题7】（2026·广东广州·三模）已知分式． （1）化简分式； （2）若关于的方程有两个实数根，且为正整数，求分式的值． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（     ） A． B．0 C．1 D．3 【变式2】（23-24八年级上·上海·阶段检测）一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 【变式3】（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图象向下平移个单位，若平移后一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求的值． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃陇南·一模）用公式法解方程时，Δ＝（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若关于x的方程有实数根，则c的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·山东·期末）如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 9．（2026·河南新乡·三模）若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 10．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）一元二次方程的根的判别式的值为________． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____________时，． 13．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 14．（23-24九年级下·上海静安·阶段检测）关于方程有如下判断：（1）该方程的两根之和是7；（2）该方程的两根之积是16，以上两个判断中正确的有______个． 15．（25-26八年级下·重庆·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 16．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 17．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 18．（24-25九年级下·江苏扬州·阶段检测）已知E，F分别是正方形的边上的点，若．那么的最小值为__________________ ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 （1）； （2） 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程． （1）如果方程的一个根为，求k的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）关于x的一元二次方程． （1）判定此方程根的情况； （2）等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·湖南·阶段检测）已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． （1）若的长为1，求的值； （2）当为何值时，是矩形． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·山东潍坊·期末）关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． （1）代数式的等根值为____________； （2）已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2（2） 一元二次方程解法（公式法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】求根公式推导与公式定义 1 【知识点二】根的判别式 2 【知识点三】公式法解方程标准步骤 2 【知识点四】高频易错警示 2 【知识点五】一元二次方程三种解法对比 2 二.题型精析 3 【题型 1】确定系数、计算判别式（入门基础） 3 【题型 2】利用判别式判断根的情况（基础必考） 4 【题型 3】公式法解一元二次方程（核心重点1） 6 【题型 4】公式法解一元二次方程（核心重点2） 8 【题型 5】根据根的情况求参数取值范围（中档高频） 11 【题型 6】公式法实际应用（拔高拓展） 13 【题型 7】判别式综合证明（压轴拓展） 17 三.同步检测 21 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 21 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 25 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 30 一.知识梳理解读 【知识点一】求根公式推导与公式定义 对于任意一元二次方程 ，可由配方法恒等变形推导得出通用求根公式。 推导核心过程： 1. 二次项系数化为1： 2. 移项配方： 3. 当 时，开方整理得一元二次方程求根公式： 公式法是解一元二次方程的万能通用解法，适用于所有有实数根的一元二次方程。 【知识点二】根的判别式 定义：把 叫做一元二次方程根的判别式，可直接判定方程实数根的个数，无需解方程。 判别式三种对应关系（核心考点） 1. ⇔ 方程有两个不相等的实数根； 2. ⇔ 方程有两个相等的实数根； 3. ⇔ 方程无实数根。 【知识点三】公式法解方程标准步骤 1. 整理方程：将方程化为标准一般形式 ； 2.确定系数：准确找出 的值（务必包含前面正负符号）； 3. 计算判别式：求出 ，判断根的存在性； 4. 代入公式求解：若 ，代入求根公式计算，化简根式得出方程的根；若 ，直接判定无实数根。 【知识点四】高频易错警示 1. 系数取值易错： 必须包含符号，常数项、一次项系数为负数时不可忽略负号； 2. 公式结构易错：分子是 ，分母是整体 ，不可拆分计算； 3. 前提条件易错：使用求根公式必须保证 且 ； 4. 未化一般式易错：非标准方程必须先整理，再确定系数计算判别式。 【知识点五】一元二次方程三种解法对比 1. 直接开平方法：适用于 特殊形式，计算最快； 2. 配方法：通用解法，多用于代数式最值、恒等变形、公式推导； 3. 公式法：万能解法，优先用于系数复杂、不易配方的一元二次方程。 二.题型精析 【题型 1】确定系数、计算判别式（入门基础） 【例题1】（24-25八年级下·山东威海·期末）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，根据一元二次方程的得出的值，进而即可求解，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 解：∵一元二次方程的根为， ∴，，， ∴该一元二次方程为， 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）一元二次方程，用求根公式求解时c的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，把方程化为一般式，从而得到c的值，即可求解；正确理解一元二次方程的、、及求根公式是解决问题的关键． 解：方程化为一般式为， 所以c的值为， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·阶段检测）关于的一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式“一元二次方程的求根公式是”．根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断． 解：关于的一元二次方程的解是： ， 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·福建泉州·期末）下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第______步开始出错． 【答案】一 【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答． 解：原方程化为：， ∴． 故答案为：一． 【点拨】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键． 【题型 2】利用判别式判断根的情况（基础必考） 【例题2】（25-26九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断下列关于的一元二次方程根的情况： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）原方程没有实数根；（2）原方程有两个不相等的实数根；（3）原方程有两个相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,利用判别式直接判断一元二次方程的根的情况,解题关键是掌握判别式与根的关系． （1）计算判别式的值，即可快速判断根的情况； （2）先把方程化为一般形式，计算判别式的值，即可快速判断根的情况； （3）先把方程化为一般形式，计算判别式的值，即可快速判断根的情况 解：（1）解：． 原方程没有实数根． （2）解：原方程可化为． ． 原方程有两个不相等的实数根． （3）原方程可化为． ． 原方程有两个相等的实数根． 【变式1】（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 【变式2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）一般地，对于一元二次方程，当时，它的根的情况是_______． 【答案】有两个实数根 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 解：∵， ∴一元二次方程有两个实数根， 故答案为：有两个实数根． 【点拨】．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）证明：不论为何值，方程都有实根． 【答案】见分析． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先求出判别式，再根据非负数的性质即可得到结论． 解：， ∴不论为何值时，关于x的一元二次方程都有实根． 【题型 3】公式法解一元二次方程（核心重点1） 【例题3】（25-26九年级上·全国·课后作业）解方程时，有一名同学的解答如下： 上述过程中有无错误？如有错误请指出错误的地方，并写出正确的解题过程． 【答案】有错误．错误之处在于没有先把方程化成一般形式．正确的解题过程见分析 【分析】先把原方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据整理后的方程找出二次项系数，一次项系数及常数项，最后根据求根公式解方程． 解：有错误．错误之处在于没有先把方程化成一般形式． 正确的解题过程如下： 将原方程化成一般形式为， 则，， ， ， ; 故该同学的答案有错误，错误在于没有将原方程化为一般形式进行分析二次项系数、一次项系数和常数项． 【点拨】本题主要考查的知识点为一元二次方程系数的识别以及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键。 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，公式法解一元二次方程的过程：先确定的值，代入计算判别式，当，方程有实数根，当，方程无实数根，当时，将的值代入求根公式求解方程． 解： ，，， ， ， ， 一元二次方程的两个根，其中较小的根为． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）解方程，得______，______． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程，求出方程的根即可． 解：方程整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：， 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练运用求根公式是解答本题的关键． （1）将方程化为，再运用求根公式解答即可； （2）将方程化为，再运用求根公式解答即可． 解：（1）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 【题型 4】公式法解一元二次方程（核心重点2） 【例题4】（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2） 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 解：（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 【变式1】（25-26九年级上·全国·单元复习）一元二次方程的较大实数根a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，先解一元二次方程，进而估算较大实数根a的范围，即可求解． 解：， 解得：， ． ， ， 即． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，再利用求根公式求解． （1）方程已是一般形式，直接确定系数计算判别式后代入求根公式即可； （2）方程为一般形式，确定系数计算判别式后代入求根公式求解； （3）先将方程展开并整理为一般形式，再按公式法步骤求解； （4）先展开方程左边，移项整理为一般形式，再用公式法求解． 解：（1）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （2）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （3）解：先将方程整理为一般形式：， 其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （4）解：先将方程整理为一般形式：，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，． 【题型 5】根据根的情况求参数取值范围（中档高频） 【例题5】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，本题二次项系数为1，已经满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，只需计算判别式后解不等式即可得到结果． 解：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 该方程二次项系数为，满足一元二次方程定义，只需满足判别式． 计算判别式： 令，可得． 解得． 【变式1】（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 【变式3】（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】k的取值范围为 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式． 根据方程有两个不相等的实数根得到，解不等式即可得到答案． 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得， 即当时，方程有两个不相等的实数根． 【题型 6】公式法实际应用（拔高拓展） 【例题6】（25-26九年级下·山东淄博·期末）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． （1）若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； （2）请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 【答案】（1）解：∵ ， ， ， 当时， ， ∴线段的长是方程的一个解； （2）解：∵， ， ， 用求根公式求得， 正确性：的长就是方程的正根． 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【分析】（1）先根据勾股定理求得的长，可求的长，再代入方程验算即可； （2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． （1）解：略 （2）解：略 【变式1】（2025·安徽·一模）在菱形中，点是对角线上一点，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的运用，解一元二次方程，掌握菱形的性质，勾股定理的计算是解题的关键． 根据题意作图，设对角线交于点，根据题意得到，由菱形的性质得到，，，，则，在中，，即，在中，，即，由此列式求解即可． 解：根据题意，作图如下，设对角线交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴，即， 故选：D ． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 【答案】 10 4或 【分析】（1）先利用直接开平方法求解方程求出，再分两种情况解答即可． （2）分两种情况并结合勾股定理计算解答即可. 解：（1）， 解得． ①当底边长和腰长分别为4和2时，，此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，符合题意， 的周长为． （2）由（1）知，方程的两个根为． ①若2，4是的两条直角边的长，则， ②若2，4分别是Rt的一条直角边长和斜边长， 则另一条直角边长为， ． 的面积为4或． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）的三边，，． （1）求证：是直角三角形； （2）是否同时存在，，（，，均为正整数）使得？若存在，求，，的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：不存在，理由如下： 是直角三角形， ， ， ， ， 解得或，线段的长不能为负，舍去， ， ，均为正整数， 一定是有理数， ，是无理数，矛盾， 故不存在，，（，，均为正整数），使得； 【分析】（1）首先比较大小，再利用勾股定理逆定理，证明即可； （2）利用勾股定理，解方程，有理数，无理数的意义解答即可； （1）略 （2）略 【题型 7】判别式综合证明（压轴拓展） 【例题7】（2026·广东广州·三模）已知分式． （1）化简分式； （2）若关于的方程有两个实数根，且为正整数，求分式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的运算法则即可求解； （2）根据一元二次方程有两个实数根可得的取值范围，由为正整数，可得的值，再根据分式有意义的条件确定，即可求解． 解：（1）解：原式 ． （2）解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∵要使分式有意义， ， ∴当时，原式． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（     ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根确定的取值范围，再解分式方程，根据解为正整数筛选符合条件的整数，最后计算和即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且； 解分式方程， 方程两边同乘，得：， 整理得，解得， ∵分式方程的解为正整数，且分母不为0即， ∴，，且是正整数， ∴，，且为正偶数，即为奇数， 结合且，可得符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 【变式2】（23-24八年级上·上海·阶段检测）一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，再结合方程有两个实数根可得根的判别式大于等于，求解两个不等式的公共部分即可得到的取值范围． 解：∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 对于一元二次方程，根的判别式为： ∵方程有两个实数根， ∴ ∴ ∴且 【变式3】（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图象向下平移个单位，若平移后一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用点、在反比例函数图像上，横纵坐标的乘积相等列方程，解出，舍去负值，进而求得； （2）先求出一次函数解析式，再设向下平移个单位后的一次函数解析式，将其与反比例函数联立，然后令判别式解出，根据舍去不符合条件的值从而确定． 解：（1）解：，两点在反比例函数图像上， 将两点坐标代入可得，，， ， 解得，， ， ， ， 故反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）得，则，两点的坐标为，， 将，代入， 可得， 解得， 则一次函数的解析式为， 设向下平移后的一次函数解析式为， 若平移后一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点， 可得， 整理得， 令， 解得或， 若，则向下平移后的一次函数解析式为， 当，则，不符合题意，舍去， 故． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 2．（2024·甘肃陇南·一模）用公式法解方程时，Δ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】Δ＝，给赋值并代入求值即可． 解：， ∵， ∴Δ＝． 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键． 3．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 解：一元二次方程中，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根的判别式逐项判断即可． 解：A、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、， 该方程没有实数根，符合题意； C、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、， 该方程有两个相等的实数根，不符合题意． 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】先计算根的判别式，结合判断判别式的符号，即可确定方程根的情况，即可得出答案． 解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ， ，即， 该方程没有实数根． 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 7．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若关于x的方程有实数根，则c的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“方程有实数根时，根的判别式大于等于”列不等式，求解即可得到的取值范围． 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·山东·期末）如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，可得且，再解出方程可得，然后分两种情况解答即可． 解：∵一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0， ∴且， ∴且， ， 解得： 当时，，则，，不满足一个根大于而小于0，不符合题意； 当时，， 解得：； 综上所述，m的取值范围是． 故选：D 9．（2026·河南新乡·三模）若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 10．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）一元二次方程的根的判别式的值为________． 【答案】 【分析】先确定一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再根据一元二次方程根的判别式公式代入计算即可． 解：一元二次方程中，，，， 则． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____________时，． 【答案】 【分析】 首先观察新定义的运算规律，根据新运算可得关于的一元二次方程； 利用公式法解一元二次方程可得方程的两个根. 解：由题意可得． 整理得 ， 解得． 故答案为. 【点拨】本题考查的知识点为新定义和解一元二次方程，解题的关键是根据新定义得出正确的一元二次方程并进行求解。 13．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 【答案】 【分析】考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零．首先确保方程为一元二次方程，即二次项系数，再计算判别式，并分析其恒正性即可． 解：方程为一元二次方程，因此二次项系数，解得， 判别式， 对于二次式，其判别式为，且二次项系数开口向上，因此恒成立， 当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：． 14．（23-24九年级下·上海静安·阶段检测）关于方程有如下判断：（1）该方程的两根之和是7；（2）该方程的两根之积是16，以上两个判断中正确的有______个． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此判断出方程根的情况即可得到结论． 解：由题意得，， ∴原方程无实数根， ∴（1）和（2）都是错误的， 故答案为：0． 15．（25-26八年级下·重庆·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用根的判别式求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 16．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 【答案】 【分析】作的平分线交于点，得到的和都是顶角为的等腰三角形，根据它们的腰和底对应成比例，列比例式解答即可． 解：设等腰中，顶角，（腰长），（底边长）， ∴ ． 作的平分线交于点． 则， ， ． ， ， ， ∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴它们的腰和底的比相等， 即， 代入得， 整理得， 两边同除以， 设， 得， 解得， ， ． 17．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 18．（24-25九年级下·江苏扬州·阶段检测）已知E，F分别是正方形的边上的点，若．那么的最小值为__________________ ． 【答案】 【分析】延长至点G使，连接．证明．则．证明．则．设，得到，由勾股定理得到．令，得到．根据存在得到．即可求出． 解：如图，延长至点G使，连接． ∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． ∴． 设， ∴． 在中，， ∴． ∴． 令， ∴． ∴． ∴． ∵存在， ∴a有实数解． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式等知识，构造全等三角形是解题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 （1）； （2） 【答案】（1），；（2）， （1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； （2）解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． （1）略 （2）略 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程． （1）如果方程的一个根为，求k的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）；（2）证明：是一元二次方程， ， 无论取何实数，总有， ， 方程总有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键； （1）把代入方程即可求得k． （2）根据进行判断； 解：（1）解：把代入方程， 得， 解得， （2）略 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）关于x的一元二次方程． （1）判定此方程根的情况； （2）等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 【答案】（1）方程有两个实数根；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式． （1）计算判别式的值得到即可得解； （2）利用公式法求出方程的两个解为，，再根据三角形的三边关系，结合等腰三角形的定义进行分类讨论即可． 解：（1）证明：． 方程有两个实数根； （2）解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·湖南·阶段检测）已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． （1）若的长为1，求的值； （2）当为何值时，是矩形． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定． （1）将代入方程，求出的值即可； （2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 解：（1）解：∵的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根， ∴当的长为1时，， 解得：； （2）∵的两对角线，， ∴当时，是矩形， 方程有两个相等的实数根， ， 解得，即的值为1． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·山东潍坊·期末）关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． （1）代数式的等根值为____________； （2）已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】（1）0或1；（2）①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 解：（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $