专题01一元二次方程的计算解答题（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程9大核心解法，构建“方法精讲-典例示范-变式迁移”三阶训练体系，强化运算能力与方法选择的推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|4题型/每题型2典例+3变式|直接开平方法（x²=p型）、配方法（五步规范）、公式法（求根公式应用）、因式分解法（降次原理）|从定义到解法，形成“形式识别-步骤操作-结果验证”逻辑链| |综合应用|3题型/每题型2典例+3变式|指定方法（步骤规范）、适当方法（最优选择）、十字相乘法（系数分解技巧）|从单一方法到方法优化，培养应用意识| |进阶与纠错|2题型/每题型2典例+3变式|换元法（整体代换降次）、过程判断（符号/漏根等典型错误）|从复杂方程到思维严谨性，提升推理能力|

专题01 一元二次方程的计算解答题 （题型突破·举一反三） 题型01 用直接开平方法解一元二次方程 题型02用配方法解一元二次方程 题型03用公式法解一元二次方程 题型04用因式分解法解一元二次方程 题型05用指定的方法解一元二次方程 题型06用适当的方法解一元二次方程 题型07用十字相乘法解一元二次方程 题型08用换元法解一元二次方程 题型09判断解一元二次的过程是否正确 ▌题型01 用直接开平方法解一元二次方程 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【典例1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程得方法和步骤是解答此题的关键． （1）先移项，然后直接开平方得，再解一元一次方程即可； （2）先变形得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】（1）解：， 移项得，， 开方得，， ∴，； （2）解：， 化简得，， 开方得，， ∴，． 【典例2】用直接开平方法解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， 解得． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 【变式1-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答． （2）先移项，再直接开平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 解得 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 【变式1-3】（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得； （3）先整理成，再直接开平方可得； （4）利用直接开平方法求解可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：∵， 整理得， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， 则， ∴，即，； （4）解：∵． ∴或， 解得，． ▌题型02 用配方法解一元二次方程 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 【典例3】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴，． 【典例4】（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，． 【变式1-1】（25-26九年级上·全国·期中）用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握解一元二次方程——配方法． （1）先去括号，移项、合并同类项，再配方，开方求解； （2）先移项、合并同类项，二次项系数化为 ，再配方求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 配方，得， 由此可得， ． （2）解：移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 配方，得 ∵， ∴原方程无实数根． 【变式1-2】（26-27八年级·上海·暑假作业）用配方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 【变式1-3】用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）（2）， ， ， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键． ▌题型03 用公式法解一元二次方程 ◆1、把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． ◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【典例5】（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)当时，解为；当且时，；③当时，原方程无实数解． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． （1）先化为一般形式，然后根据公式法，即可求解． （2）根据一元二次方程的一般形式，可以直接确定的值，并计算判别式的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根． 【详解】（1）解：方程整理为． （2）解：①当时，原方程为，解得； ②当，且， 即且时，， ③当，且，即时，原方程无实数解． 【典例6】（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 【变式1-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无实数解 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， ∴， ∴； （2）解：， ， 则， ∴此方程无实数解． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·周测）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ． （2）解：， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解答本题的关键． 【小问1分析】 对一元二次方程进行移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【小问2分析】 对一元二次方程进行去括号、移项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【详解】【小问1详解】 解： 移项、合并同类项得 观察可得 ；； 故答案为：. 【小问2详解】 解： 去括号得 移项得； 合并同类项得 ； ， ▌题型04 用因式分解法解一元二次方程 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【典例7】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据因式分解法和十字相乘法解一元二次方程即可 【详解】解：（1）整理，得， 移项，得， 把方程左边因式分解，得， 或， 解得． （2）原方程分解后可得， 或， 解得． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和十字相乘法是解答本题的关键． 【典例8】（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据解一元一次方程的方法即可求解； （2）移项得，再提取公因式，最后根据解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴或， ∴，； （2）解： ， ∴或， ∴，． 【变式1-1】（2026八年级下·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． （1）根据提取公因式法，可分解因式，可得方程的解； （2）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解． 【详解】（1）解：， ； ， ∴或， ∴，； （2）解：． ， ∴或， 解得，． 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1）整理，得， ， 即， 解得． （2）根据平方差公式，得， 整理，得， 或， 解得． 【变式1-3】（2026八年级下·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （2）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （3）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或， 所以，． ▌题型05 用指定的方法解一元二次方程 题目明确规定解法（直接开平方法 / 配方法 / 公式法 / 因式分解法），必须严格按指定步骤解题，不能换其他方法，考查四种基础解法的标准步骤、公式、变形规范。 【典例9】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）按要求解下列方程： (1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用指定方法解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解答本题的关键． （1）先将方程的常数项移到等号的右边，两边再加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求解即可； （2）先判断方程的的值，再代入求根公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， ∵ ， ∴ 【典例10】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）按要求解方程： (1)（因式分解法）； (2)（配方法）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过移项将右边式子变形为与左边有相同因式的形式，再提取公因式进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解； （2）利用配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开方求解． 本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的技巧以及配方法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：，即 ， 或， 解得； （2）解：， ，即， ， ． 【变式1-1】按要求解方程： (1)；（用直接开平方法） (2)；（用配方法） (3)；（用公式法） (4)；（用因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解； （3）先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）把方程化为，然后利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴； （4）解：∵， ∴， ∴． 【变式1-2】（24-25九年级上·四川自贡·阶段检测）解方程： (1)用直接开平方法：； (2)用配方法：； (3)用公式法：； (4)用因式分解法：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）把4移到右边，再直接开平方求解即可； （2）把3移到右边，再对左边配完全平方，再直接开平方求解即可； （3）先求判别式，再根据求根公式求解即可； （4）把移到左边，再因式分解，可得到两个一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， 或， ． 【变式1-3】解方程 (1)用直接开平方法解； (2)用配方法解； (3)用公式法解； (4)用因式分解法解． 【答案】(1)x1=1+，x2=1-； (2)x1=3+，x2=3-； (3)x1=，x2=； (4)x1=0，x2=2.5． 【分析】（1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得； （3）利用公式法求解可得； （4）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：∵3（x-1）2=6， ∴（x-1）2=2， 则x-1=±， ∴x1=1+，x2=1-； （2）解：∵x2-6x=-3， ∴x2-6x+9=-3+9，即（x-3）2=6， 则x-3=±， ∴x1=3+，x2=3-； （3）解：∵9x2+10x-4=0， ∴a=9，b=10，c=-4， 则△=102-4×9×（-4）=244＞0， ∴x===， 即x1=，x2=； （4）解：∵2x2-5x=0， ∴x（2x-5）=0， 则x=0或2x-5=0， 解得x1=0，x2=2.5． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． ▌题型06 用适当的方法解一元二次方程 选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程． 【典例11】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：整理得， 因式分解得， 或， 解得：，； （2）解：， 整理得， 配方得：，即， 两边同时开方得：， 解得：，． 【典例12】（25-26八年级下·山东东营·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， 或， ，． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南永州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握相关解法是关键． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解： ， 或， ，； （2）解： ，，， ， ， ，． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并会灵活选用合适的方法解答是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）运用公式法求解即可； 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ∴， ， ． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法（配方法、因式分解法），熟练掌握配方法的步骤和因式分解的技巧是解题的关键． （1）用配方法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． ▌题型07 用十字相乘法解一元二次方程 ◆1、x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ◆2、ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【典例13】（24-25八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：； ， ，， ，． （2）解： ， ，， ，． 【典例14】（24-25八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 解得：，； （2）解：， 方程整理得：， 解得：，． 【变式1-1】（25-26九年级上·全国·单元复习）用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 【详解】（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【变式1-2】（26-27九年级·全国·暑假作业）用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据因式分解法求解即可. 【详解】（1）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （2）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （3）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 【变式1-3】（25-26八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用十字相乘法进行因式分解求解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴或， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． （4）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． ▌题型08 用换元法解一元二次方程 ◆1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． ◆2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例15】阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 【答案】；． 【分析】仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程可变为，即， 解得，． 当时，，即， ， ∴此方程无解； 当时，，即， ∴， ∴；； ∴原方程有两个根：；． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键． 【典例16】（23-24八年级下·北京顺义·阶段检测）阅读下列材料：为解方程可将方程变形 为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 【变式1-1】（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方法进行解题，设，则原方程化为：，解方程得：，，将解带入，求解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可以化为， ∵，，， ∴， ∴． 解得，． 当时，， ∴，； 当时，， ∴，． ∴原方程的解为，，，． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______． (2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为 （1），解得＝1，＝4． 当y＝1时，＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根． 请你用 （2）中的方法求出方程的实数解． 【答案】(1)2022 (2)， 【分析】（1）根据题目所提供的方法即可求出答案； （2）根据换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵﹣x﹣1＝0， ∴＝x+1， ∴﹣3x+2020 ＝ ＝﹣x+2021 ＝x+1﹣x+2021 ＝2022． 故答案为：2022； （2）解：设+x＝y，那么，于是原方程可变为， 解得＝﹣2，＝4． 当y＝﹣2时，+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴方程无解； 当y＝4时，+x﹣4＝0， ∴x＝； ∴原方程有两个根：x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查了降次法求代数式的值和换元法解一元二次方程，能够降次是解此题的关键． 【变式1-3】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． (2)解方程： 【答案】(1)换元；转化 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解方程是解题的关键． （1）解方程运用了换元法，即体现了转化的数学思想； （2）设，则，解方程得到，进而得到方程，，分别解这两个方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想； （2）解：设， ∴原方程可变为， ∴， 解得， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无解； 当时，，即， ∴， 解得． ▌题型09 判断解一元二次的过程是否正确 1.看前提：判断是否为一元二次方程，二次项系数是否被遗漏、约分为 0； 2.逐行核查变形：每一步对照等式性质、公式、运算法则找错误； 3.查找典型错误：漏±、丢根、符号错误、右边未化为 0、配方未两边同加、判别式忽略、忘记回代； 4.写出错误位置 + 错误原因； 5.写出正确完整解题过程。 【典例17】在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“”让同学们讨论，甲乙两位同学的做法如下： 甲同学： 解：原式可化为： ，当时，，当时，，，． 乙同学： 解：原式可化为： ，，，，， (1)小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的解法有误______（填“甲”或“乙”），错误的原因是________________； (2)你是否还有其他解法？请写出来并与同学们交流． 【答案】(1)乙，常数项移到方程右边时未变号 (2)解：利用公式法： ，，， ， ， ，． 【详解】（1）解：乙，常数项移到方程右边时未变号； （2）解：略 【典例18】（1）关于 的方程，下列解法完全正确的是__________． 甲 乙 两边同时除以 得到． 移项得， ， ， ． 丙 丁 整理得， ， ， ， ． 整理得， 配方得， ， ， ． （2）选择合适的方法解方程 【答案】（1）丁；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）对甲、乙、丙、丁的解题的过程进行判断，然后作答即可； （2）利用因式分解法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：由题意知，丁的解法完全正确， 故答案为：丁； （2）解：， ， ∴或， 解得，． 【变式1-1】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）某中学数学社团组织了一场“方程解谜大挑战”活动，小颖要解决这样一个方程问题；若社团活动室的矩形文化墙的长和宽（单位：米）的值都满足方程，求文化墙的长和宽．以下是小颖解方程的过程： 解：．第一步 第二步 第三步 ，第四步 ．第五步 (1)小颖的解题过程从第___________步开始出现错误． (2)请完成这个方程的正确解题过程，帮小颖算出文化墙的长和宽． 【答案】(1)四 (2)文化墙的长和宽分别是和 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤即可判断． （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：小颖的解题过程中，从第四步开始出现错误．错误的原因是漏掉了一个解． 故答案为：四； （2）解：， ， ， 或， 解得，． 社团活动室的矩形文化墙的长和宽的值都满足方程， 文化墙的长和宽分别是和． 【变式1-2】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段检测）在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“”让同学们解答，甲、乙两位同学的做法如下： 甲同学 乙同学 解：原方程可化为：， 解：原方程可化为：， 当时，解得， ， 当时，解得， ， ∴，． ∴ ∴，． 小组在交流过程中发现甲、乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的做法有误（填“甲”或“乙”）______，并根据该同学使用的方法写出正确的解答过程． 【答案】乙，正确解答过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法熟练掌握因式分解法和配方法求解一元二次方程是解题的关键． 根据因式分解法对甲同学的解法进行判断；根据配方法对乙同学的解法进行判断．然后运用配方法求解即可． 【详解】解：甲同学用因式分解法求解，正确； ∵， ∴， ∴乙同学的做法错误． 故答案为：乙． 正确解答过程为： ， ， ， ， ， ∴，． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的计算解答题 （题型突破·举一反三） 题型01 用直接开平方法解一元二次方程 题型02用配方法解一元二次方程 题型03用公式法解一元二次方程 题型04用因式分解法解一元二次方程 题型05用指定的方法解一元二次方程 题型06用适当的方法解一元二次方程 题型07用十字相乘法解一元二次方程 题型08用换元法解一元二次方程 题型09判断解一元二次的过程是否正确 ▌题型01 用直接开平方法解一元二次方程 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【典例1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 【典例2】用直接开平方法解方程． (1) (2) 【变式1-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【变式1-3】（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型02 用配方法解一元二次方程 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 【典例3】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程： (1)． (2)． 【典例4】（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-1】（25-26九年级上·全国·期中）用配方法解方程： (1)； (2)． 【变式1-2】（26-27八年级·上海·暑假作业）用配方法解方程： (1) (2) 【变式1-3】用配方法解方程： (1)； (2)． ▌题型03 用公式法解一元二次方程 ◆1、把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． ◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【典例5】（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【典例6】（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·周测）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． ▌题型04 用因式分解法解一元二次方程 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【典例7】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【典例8】（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程： (1) (2)． 【变式1-1】（2026八年级下·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程 (1)； (2)． 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【变式1-3】（2026八年级下·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)． ▌题型05 用指定的方法解一元二次方程 题目明确规定解法（直接开平方法 / 配方法 / 公式法 / 因式分解法），必须严格按指定步骤解题，不能换其他方法，考查四种基础解法的标准步骤、公式、变形规范。 【典例9】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）按要求解下列方程： (1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 【典例10】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）按要求解方程： (1)（因式分解法）； (2)（配方法）． 【变式1-1】按要求解方程： (1)；（用直接开平方法） (2)；（用配方法） (3)；（用公式法） (4)；（用因式分解法） 【变式1-2】（24-25九年级上·四川自贡·阶段检测）解方程： (1)用直接开平方法：； (2)用配方法：； (3)用公式法：； (4)用因式分解法：． 【变式1-3】解方程 (1)用直接开平方法解； (2)用配方法解； (3)用公式法解； (4)用因式分解法解． ▌题型06 用适当的方法解一元二次方程 选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程． 【典例11】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【典例12】（25-26八年级下·山东东营·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南永州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程： (1) (2) ▌题型07 用十字相乘法解一元二次方程 ◆1、x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ◆2、ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【典例13】（24-25八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解方程： (1) (2) 【典例14】（24-25八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解方程 (1) (2) 【变式1-1】（25-26九年级上·全国·单元复习）用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 【变式1-2】（26-27九年级·全国·暑假作业）用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】（25-26八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型08 用换元法解一元二次方程 ◆1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． ◆2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例15】阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 【典例16】（23-24八年级下·北京顺义·阶段检测）阅读下列材料：为解方程可将方程变形 为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【变式1-1】（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______． (2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为 （1），解得＝1，＝4． 当y＝1时，＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根． 请你用 （2）中的方法求出方程的实数解． 【变式1-3】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． (2)解方程： ▌题型09 判断解一元二次的过程是否正确 1.看前提：判断是否为一元二次方程，二次项系数是否被遗漏、约分为 0； 2.逐行核查变形：每一步对照等式性质、公式、运算法则找错误； 3.查找典型错误：漏±、丢根、符号错误、右边未化为 0、配方未两边同加、判别式忽略、忘记回代； 4.写出错误位置 + 错误原因； 5.写出正确完整解题过程。 【典例17】在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“”让同学们讨论，甲乙两位同学的做法如下： 甲同学： 解：原式可化为： ，当时，，当时，，，． 乙同学： 解：原式可化为： ，，，，， (1)小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的解法有误______（填“甲”或“乙”），错误的原因是________________； (2)你是否还有其他解法？请写出来并与同学们交流． 【典例18】（1）关于 的方程，下列解法完全正确的是__________． 甲 乙 两边同时除以 得到． 移项得， ， ， ． 丙 丁 整理得， ， ， ， ． 整理得， 配方得， ， ， ． （2） 选择合适的方法解方程 【变式1-1】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）某中学数学社团组织了一场“方程解谜大挑战”活动，小颖要解决这样一个方程问题；若社团活动室的矩形文化墙的长和宽（单位：米）的值都满足方程，求文化墙的长和宽．以下是小颖解方程的过程： 解：．第一步 第二步 第三步 ，第四步 ．第五步 (1)小颖的解题过程从第___________步开始出现错误． (2)请完成这个方程的正确解题过程，帮小颖算出文化墙的长和宽． 【变式1-2】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段检测）在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“”让同学们解答，甲、乙两位同学的做法如下： 甲同学 乙同学 解：原方程可化为：， 解：原方程可化为：， 当时，解得， ， 当时，解得， ， ∴，． ∴ ∴，． 小组在交流过程中发现甲、乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的做法有误（填“甲”或“乙”）______，并根据该同学使用的方法写出正确的解答过程． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的计算解答题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 用直接开平方法解一元二次方程 【典例1】 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程得方法和步骤是解答此题的关键． （1）先移项，然后直接开平方得，再解一元一次方程即可； （2）先变形得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】（1）解：， 移项得，， 开方得，， ∴，； （2）解：， 化简得，， 开方得，， ∴，． 【典例2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， 解得． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答． （2）先移项，再直接开平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 解得 【变式1-2】 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 【变式1-3】 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得； （3）先整理成，再直接开平方可得； （4）利用直接开平方法求解可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：∵， 整理得， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， 则， ∴，即，； （4）解：∵． ∴或， 解得，． ▌题型02 用配方法解一元二次方程 【典例3】 【答案】(1)， (2)， 【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴，． 【典例4】 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握解一元二次方程——配方法． （1）先去括号，移项、合并同类项，再配方，开方求解； （2）先移项、合并同类项，二次项系数化为 ，再配方求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 配方，得， 由此可得， ． （2）解：移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 配方，得 ∵， ∴原方程无实数根． 【变式1-2】 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 【变式1-3】 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）（2）， ， ， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键． ▌题型03 用公式法解一元二次方程 【典例5】 【答案】(1) (2)当时，解为；当且时，；③当时，原方程无实数解． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． （1）先化为一般形式，然后根据公式法，即可求解． （2）根据一元二次方程的一般形式，可以直接确定的值，并计算判别式的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根． 【详解】（1）解：方程整理为． （2）解：①当时，原方程为，解得； ②当，且， 即且时，， ③当，且，即时，原方程无实数解． 【典例6】 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)方程无实数解 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， ∴， ∴； （2）解：， ， 则， ∴此方程无实数解． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ． （2）解：， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ． 【变式1-3】 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解答本题的关键． 【小问1分析】 对一元二次方程进行移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【小问2分析】 对一元二次方程进行去括号、移项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【详解】【小问1详解】 解： 移项、合并同类项得 观察可得 ；； 故答案为：. 【小问2详解】 解： 去括号得 移项得； 合并同类项得 ； ， ▌题型04 用因式分解法解一元二次方程 【典例7】 【答案】(1) (2) 【分析】根据因式分解法和十字相乘法解一元二次方程即可 【详解】解：（1）整理，得， 移项，得， 把方程左边因式分解，得， 或， 解得． （2）原方程分解后可得， 或， 解得． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和十字相乘法是解答本题的关键． 【典例8】 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据解一元一次方程的方法即可求解； （2）移项得，再提取公因式，最后根据解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴或， ∴，； （2）解： ， ∴或， ∴，． 【变式1-1】 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． （1）根据提取公因式法，可分解因式，可得方程的解； （2）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解． 【详解】（1）解：， ； ， ∴或， ∴，； （2）解：． ， ∴或， 解得，． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1）整理，得， ， 即， 解得． （2）根据平方差公式，得， 整理，得， 或， 解得． 【变式1-3】（ 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （2）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （3）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或， 所以，． ▌题型05 用指定的方法解一元二次方程 【典例9】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用指定方法解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解答本题的关键． （1）先将方程的常数项移到等号的右边，两边再加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求解即可； （2）先判断方程的的值，再代入求根公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， ∵ ， ∴ 【典例10】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过移项将右边式子变形为与左边有相同因式的形式，再提取公因式进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解； （2）利用配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开方求解． 本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的技巧以及配方法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：，即 ， 或， 解得； （2）解：， ，即， ， ． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解； （3）先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）把方程化为，然后利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴； （4）解：∵， ∴， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）把4移到右边，再直接开平方求解即可； （2）把3移到右边，再对左边配完全平方，再直接开平方求解即可； （3）先求判别式，再根据求根公式求解即可； （4）把移到左边，再因式分解，可得到两个一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， 或， ． 【变式1-3】 【答案】(1)x1=1+，x2=1-； (2)x1=3+，x2=3-； (3)x1=，x2=； (4)x1=0，x2=2.5． 【分析】（1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得； （3）利用公式法求解可得； （4）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：∵3（x-1）2=6， ∴（x-1）2=2， 则x-1=±， ∴x1=1+，x2=1-； （2）解：∵x2-6x=-3， ∴x2-6x+9=-3+9，即（x-3）2=6， 则x-3=±， ∴x1=3+，x2=3-； （3）解：∵9x2+10x-4=0， ∴a=9，b=10，c=-4， 则△=102-4×9×（-4）=244＞0， ∴x===， 即x1=，x2=； （4）解：∵2x2-5x=0， ∴x（2x-5）=0， 则x=0或2x-5=0， 解得x1=0，x2=2.5． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． ▌题型06 用适当的方法解一元二次方程 【典例11】 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：整理得， 因式分解得， 或， 解得：，； （2）解：， 整理得， 配方得：，即， 两边同时开方得：， 解得：，． 【典例12】 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， 或， ，． 【变式1-1】 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握相关解法是关键． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解： ， 或， ，； （2）解： ，，， ， ， ，． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并会灵活选用合适的方法解答是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）运用公式法求解即可； 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ∴， ， ． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法（配方法、因式分解法），熟练掌握配方法的步骤和因式分解的技巧是解题的关键． （1）用配方法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． ▌题型07 用十字相乘法解一元二次方程 【典例13】 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：； ， ，， ，． （2）解： ， ，， ，． 【典例14】 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 解得：，； （2）解：， 方程整理得：， 解得：，． 【变式1-1】 【答案】(1)或 (2)或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 【详解】（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【变式1-2】 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据因式分解法求解即可. 【详解】（1）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （2）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （3）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 【变式1-3】 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用十字相乘法进行因式分解求解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴或， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． （4）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． ▌题型08 用换元法解一元二次方程 【典例15】 【答案】；． 【分析】仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程可变为，即， 解得，． 当时，，即， ， ∴此方程无解； 当时，，即， ∴， ∴；； ∴原方程有两个根：；． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键． 【典例16】 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 【变式1-1】 【答案】，，， 【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方法进行解题，设，则原方程化为：，解方程得：，，将解带入，求解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可以化为， ∵，，， ∴， ∴． 解得，． 当时，， ∴，； 当时，， ∴，． ∴原方程的解为，，，． 【变式1-2】 【答案】(1)2022 (2)， 【分析】（1）根据题目所提供的方法即可求出答案； （2）根据换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵﹣x﹣1＝0， ∴＝x+1， ∴﹣3x+2020 ＝ ＝﹣x+2021 ＝x+1﹣x+2021 ＝2022． 故答案为：2022； （2）解：设+x＝y，那么，于是原方程可变为， 解得＝﹣2，＝4． 当y＝﹣2时，+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴方程无解； 当y＝4时，+x﹣4＝0， ∴x＝； ∴原方程有两个根：x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查了降次法求代数式的值和换元法解一元二次方程，能够降次是解此题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1)换元；转化 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解方程是解题的关键． （1）解方程运用了换元法，即体现了转化的数学思想； （2）设，则，解方程得到，进而得到方程，，分别解这两个方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想； （2）解：设， ∴原方程可变为， ∴， 解得， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无解； 当时，，即， ∴， 解得． ▌题型09 判断解一元二次的过程是否正确 【典例17】 【答案】(1)乙，常数项移到方程右边时未变号 (2)解：利用公式法： ，，， ， ， ，． 【详解】（1）解：乙，常数项移到方程右边时未变号； （2）解：略 【典例18】 【答案】（1）丁；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）对甲、乙、丙、丁的解题的过程进行判断，然后作答即可； （2）利用因式分解法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：由题意知，丁的解法完全正确， 故答案为：丁； （2）解：， ， ∴或， 解得，． 【变式1-1】 【答案】(1)四 (2)文化墙的长和宽分别是和 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤即可判断． （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：小颖的解题过程中，从第四步开始出现错误．错误的原因是漏掉了一个解． 故答案为：四； （2）解：， ， ， 或， 解得，． 社团活动室的矩形文化墙的长和宽的值都满足方程， 文化墙的长和宽分别是和． 【变式1-2】 【答案】乙，正确解答过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法熟练掌握因式分解法和配方法求解一元二次方程是解题的关键． 根据因式分解法对甲同学的解法进行判断；根据配方法对乙同学的解法进行判断．然后运用配方法求解即可． 【详解】解：甲同学用因式分解法求解，正确； ∵， ∴， ∴乙同学的做法错误． 故答案为：乙． 正确解答过程为： ， ， ， ， ， ∴，． 【变式1-3】 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $