第5章 二次函数单元测试卷（培优拔高）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版二次函数单元培优卷，聚焦核心素养，融合运动轨迹、建筑设计等现实情境与新定义问题，适配单元拔高复习，提升综合应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数关系判断、图像性质、最值|结合正方形运动（几何直观）、含绝对值方程根（推理能力）| |填空题|5/15|图像象限分布、参数范围、实际应用|下沉式立交桥积水问题（模型观念）、分段函数图像（空间观念）| |解答题|7/75|表达式求解、存在性问题、综合应用|排球运动轨迹建模（应用意识）、“靓点”新定义探究（创新意识）|

北师大版第5章二次函数单元测试卷（培优拔高） 满分：120分时间：120分钟 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.边长为5的正方形ABCD,点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF,交CD于点G,设BF 的长为x,△EFG的面积为y,则y与x满足的函数关系是() B A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上都不是 2.抛物线y1=x2+mx+3与直线y2=x-n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y=-x+ (1-m)x-n-3的图象可能是() a 3.如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧.己知从小球刚接触弹 簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v(cs)与弹簧被压缩的长度x(cm)之间的函数关系 第1页（共8页） 式为v=-寻x2+x+3,则这个过程中，小球速度的最大值为〈) 7777777777777737777 A.3.5c/s B.4cn/s C.4.5c/s D.5cm/s 4.小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程x2-2x-3引=的 根，他发现方程有四个不等实数根，则的值可能是() A.0 B.1 C.4 D.5 5.设函数y1=-(x-a1)2,y2=-(x-a2)2,直线x=1的图象与函数y1,y2的图象分别交于点A(1,c1), B(1,c2),得() A.若1<a1<,则c1<c2 B.若a1<1<a,则c1<c2 C.若1<a2<1,则c1<c2 D.若a1<a2<1,则c2<c1 6.已知二次函数y=m2-bx+5(a≠0)的图象上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2),当x1>x2>0时， 始终有y1<y2,则下列结论正确的是() A.a>0 B.方程ax2-bx+2=0没有实数根 C.该函数图象的顶点位于第三象限 D.该函数的最大值不小于5 7.二次函数y=m+bx+c（a≠0)的图象如图所示.下列结论： ①abc<0 ②a-b+c<0 ③2atb=0 ④(atc)2>b2 ⑤若A(2,y1),B(-1,y2),C(4,3),则y1>2>y3 其中正确结论的个数有() 第2页（共8页） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.抛物线y=arx2+br+c(a≠0)经过A(x1,y1),B(x2,y2),C(t,n),D(2-t,n)四点，且-4<x1 <-2,若存在正数，使得当<x2<叶1时，总有y1卡y2成立，则正数m的取值范围是() A.0<≤3或≥6 B.3<m≤5 C.0<≤6 D.0<≤4或≥6 9.若二次函数y=-x2+4x+9在t≤x≤什3的范围内的最大值为4，则实数t的值为() A.-4或5 B.-1或5 C.-1或7 D.-4或7 10.已知函数y=2+bx+c的图象过点A(3,2),B(-1,-2),C(2,n),则下列选项中，对应的a的 值最大的是() A.n=2 B.n=1 C.n-0 D.n=-1 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分) 11.“数形结合”是研究函数的重要思想方法.若二次函数y=x+2x+m的图象在平面直角坐标系中只经过 两个象限，则的值可以是·（写出满足条件的一个值即可） 12.如图，抛物线y=m2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x= .给出下列四个结论：①a>0:②a-b+c >0:®2a+30<0@时a+b<am2+bm（u+号. 上述结论中，正确结论的序号有」 13.函数y=x2-x-2的图象如图所示，则图象与y轴交点的坐标为 ;若方程x2-x-2= -x+恰好有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 14.随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置 越来越多的下沉式立交桥.下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地 下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点.某下沉式立交桥 的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面 直角坐标系.己知主路桥面跨径AB=100L,主路桥面的最低点O到AB的距离为10m.由于下沉式立 第3页（共8页） 交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且 积水跨径为CD,已知普通轿车的安全涉水深度大于30C,若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式 立交桥安全通过，则积水跨径CD的长度不能超过 米 D 15.在平面直角坐标系中，抛物线y=x+2x-3的图象如图所示.P为第三象限内抛物线上一动点，作PD ⊥x轴于点D,交AC于点E,点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC=30°，设点P的横坐标为m, 则PE+BG的最大值为 A /B 三.解答题（共7小题，共75分） 16.(10分)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(1,1),B(3,1),与y轴交于 点C,顶点为P. (1)求抛物线的表达式： (2)抛物线y=x2+x+p(m≠1)的对称轴是直线x=2,且经过点M(5,9),与y轴交于点D,顶 点为0.求巴的值. PO 第4页（共8页） 17.（10分)己知抛物线y=2+bx+c过点M(,),N(n,n),且<n. (1)若+n=0,求b的值： (2)设点P(x0,yo)是抛物线的顶点，若n<寻证明：xo<受 18.(10分)如图1是某图书馆阅览区的大门，其外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，点O、A为抛物 线与地面的交点（点0与点A关于抛物线的对称轴对称），0A=号米，抛物线的最高点到OA的距离 门外墙壁上固定两个矩形区域（图中阴影部分），分别 识牌、已知规章制度牌（矩形BCDH)的顶点B在抛物线上，BC∥OA,BH=米，以OA所在直线为 x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，图中所有的点与线都在同一平面内. (1)求该抛物线大门的函数表达式： (2)若规章制度牌的最高处到地面OA的距离不大于2米，则视为方便读者阅览，已知点B到y轴的 距离为2米，计算并判断该规章度牌是否方便读者阅览？ y/m D A x/m 图1 图2 第5页（共8页） 19.(10分)如图1，小明同学很喜欢排球运动，他发现排球的运动轨迹可以近似地看作一条抛物线，如图 2,他通常站在与球网水平距离为9米的点O处发球，通过跳跃使排球出发点A距地面高2米，当排球与 发球点水平距离为6米时，排球到达运动轨迹的最高点，已知排球网顶端C距地面的高度为2.4米，若以 小明站立点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系。 y 小明 A 0 B B 图1 图2 备用图 (1)图中A点坐标是 ,C点坐标是 (2)若排球刚好越过排球网，请求出排球运动轨迹的函数表达式： (3)小明和小天是同组队员，在一次比赛对阵中，对方回击排球的运动轨迹满足y=ax+2ax(a<0), 小明准备在点M(x1,y1)处接球，小天准备在点N(x2,y2)处接球，已知M,N两点均在抛物线上， 若对于x1=-4a,3≤2≤7，都有y1>y2,求a的取值范围. 第6页（共8页） 20.(11分)综合与实践 问题情境： 数学小组的同学在透明的玻璃容器中装入水，当容器水平放置时，从外面用视图的方法得到如图1所示 的图形（阴影部分为玻璃壁）. 观察测量： 同学们经测量发现该容器口是一个以点F为圆心，直径为I2cm的圆，容器最大深度EF=9Cm,且通过 观察可将该容器内壁曲线CED近似看作抛物线的一部分，E是该抛物线的顶点且在线段AB上. F D M N E B B 30° 图1 图2 数学建模： (1)在图1中以点E为原点，AB所在的直线为x轴，EF所在的直线为y轴建立平面直角坐标系. ①在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的表达式： ②当液面MN离杯口的距离为5c时，求MN的长度. (2)将玻璃容器缓缓倾斜倒出部分水，从外面用视图的方法得到如图2所示的图形.当AB所在的直 线与水平桌面之间的夹角为30°时停止，此时将筷子从点F处垂直于容器口浸入水中，求筷子被浸湿 的长度.（提示：以AB所在的直线为x轴，过点D垂直于AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系） 第7页（共8页） 21.(11分)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,6),顶点D 坐标为(2,8). (1)求二次函数的表达式： (2)在抛物线的对称轴上有一点M,使得△ACM的周长最小，求出点M的坐标： (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P,使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. D M B 22.(12分)我们约定：在平面直角坐标系中，当点(x,y)的坐标满足x+y=y时，称点(x,y)为“靓 点”.请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点P(x,y)为“靓点”，则点2(2-x,2-y)是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明： (2)当k>0时，求证：关于x的函数y=+(k,为常数)的图象上总存在两个不同的“靓点”： (3)己知关于x的二次函数y=ax2-4ax+4叶2(a为常数)的图象上存在三个不同的“靓点”：(x1,y1), (x2,y),(x3,y3),且满足y1+y3+y3=x+x3+x3,求a的值 第8页（共8页） 北师大版第5章 二次函数单元测试卷（培优拔高） 满分：120分 时间：120分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 1.C【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBF＝∠ECG＝45°，AC⊥BD，EB＝EC，∵EF⊥EG， ∴∠BEC＝∠FEG＝90°，∴∠BEF＝∠CEG，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴S四边形EGCF＝S△BECS正方形ABCD，∵S△EFG＝S四边形EGCF﹣S△CFG，∴y（5﹣x）•xx2x，∴y与x满足的函数关系是二次函数． 2．抛物线与直线y2＝x﹣n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣n﹣3的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2.【答案】B 【解析】由图象可得抛物线 与直线y2＝x﹣n交点的横坐标为a，b，即方程x2+mx+3＝x﹣n的两根为a，b，当y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣n﹣3＝0时，整理得x2+mx+3＝x﹣n，此时方程的两根为a，b，∴抛物线y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣n﹣3 的图象与x轴交点横坐标为a，b. 3．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（cm/s）与弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（　　） A．3.5cm/s B．4cm/s C．4.5cm/s D．5cm/s 3.【答案】B 【解析】解：由题意得：小球的速度v（cm/s）与弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系式为，∵a＜0，∴该函数图象开口向下，有最大值，∴对称轴为，将x＝2代入得：，即小球速度的最大值为4cm/s． 4.小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程|x2﹣2x﹣3|＝n的根，他发现方程有四个不等实数根，则n的值可能是（　　） A．0 B．1 C．4 D．5 4.【答案】B 【解析】先看y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．这是开口向上的抛物线，顶点为（1，﹣4），与x轴交于（﹣1，0）和（3，0），y＝|x2﹣2x﹣3|的图象，是将原抛物线在x轴下方的部分翻折到x轴上方，此时图象的顶点变为（1，4），其余部分不变，如图所示： ， 当n＝0时，直线y＝0与图象交于（﹣1，0）和（3，0），共2个交点，当0＜n＜4时，直线Y＝n与图象交于4个不同的点，当n＝4时，直线y＝4与图象交于3个点，当n＞4时，直线y＝n与图象交于2个点， ∵题目要求方程有四个不等实数根，∴0＜n＜4，选项中只有n＝1符合条件． 5．设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 5.【答案】C 【解析】由题意可得：A．若1＜a1＜a2，如图所示， 则c1＞c2 B．若a1＜1＜a2，如图所示， 则c1＞c2 则c1＜c2， 故B选项不合题意， C．若a1＜a2＜1，如图所示， ∴c1＜c2，故C选项正确，D选项不正确； 故选：C． 6．已知二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），当x1＞x2＞0时，始终有y1＜y2，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0 B．方程ax2﹣bx+2＝0没有实数根 C．该函数图象的顶点位于第三象限 D．该函数的最大值不小于5 6.【答案】D 【解析】二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的对称轴为直线：x， ∵二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），当x1＞x2＞0时，始终有y1＜y2， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，0， ∴a＜0，b≥0，故选项A错误； ∴（﹣b）2﹣8a＝b2﹣8a＞0， ∴方程ax2﹣bx+2＝0有两个不相等的实数根，故选项B错误； ∴50， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或y的正半轴上，故选项C错误； ∵x＝0时，y＝ax2﹣bx+5＝5，且开口向下， ∴该函数的最大值不小于5，故选项D正确． 故选：D． 7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论： ①abc＜0 ②a﹣b+c＜0 ③2a+b＝0 ④（a+c）2＞b2 ⑤若A（2，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3），则y1＞y2＞y3． 其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7.【答案】C 【解析】∵开口向下，对称轴为x＝1，与y轴交于正半轴， ∴c＞0，a＜0，， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①正确． ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标小于3，又对称轴为直线x＝1 ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标大于﹣1， ∵当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故②正确． ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故③正确； ∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0， 又a﹣b+c＜0， ∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0， ∴（a+c）2﹣b2＜0， ∴（a+c）2＜b2，故④错误． ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∵|2﹣1|＝1，|﹣1﹣1|＝2，|4﹣1|＝3， ∴y1＞y2＞y3，故⑤正确． 故选：C． 8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（t，n），D（2﹣t，n）四点，且﹣4＜x1＜﹣2，若存在正数m，使得当m＜x2＜m+1时，总有y1≠y2成立，则正数m的取值范围是（　　） A．0＜m≤3或m≥6 B．3＜m≤5 C．0＜m≤6 D．0＜m≤4或m≥6 8.【答案】A 【解析】由条件可知抛物线的对称轴为直线， 设A（x1，y1）的对称点为M（xM，yM）， ∴， ∴x1＝2﹣xM， ∵﹣4＜x1＜﹣2， ∴﹣4＜2﹣xM＜﹣2， ∴4＜xM＜6， ∵当m＜x2＜m+1时，总有y1≠y2成立， ∴或m≥6， 解得0＜m≤3或m≥6． 故选：A． 9.若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 9.【答案】A 【解析】若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4， ∵y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点， ①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大， ∴当t+3＜2，即t＜﹣1，函数有最大值4， ∴﹣（t+3）2+4（t+3）+9＝4， 解得t＝﹣4或t＝2（舍去，t＜﹣1）， ∴t＝﹣4； ②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小， ∴当t＞2时，即函数有最大值4， ∴﹣t2+4t+9＝4， 解得t＝5或t＝﹣1（舍去）， ∴t＝5， 综上，t的值为﹣4或5， 故选A． 10.已知函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，2），B（﹣1，﹣2），C（2，n），则下列选项中，对应的a的值最大的是（　　） A．n＝2 B．n＝1 C．n＝0 D．n＝﹣1 10.【答案】D 【解析】把A（3，2），B（﹣1，﹣2）分别代入y＝ax2+bx+c得， ∴b＝﹣2a+1，c＝﹣3a﹣1， 把C（2，n）代入y＝ax2+bx+c得4a+2b+c＝n， ∴4a+2（﹣2a+1）﹣3a﹣1＝n， ∴an， ∴当n＝2时，a；当n＝1时，a＝0（不符合题意）；当n＝0时，a；当n＝﹣1时，a， ∴当n＝﹣1时，a的值最大． 故选：D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．“数形结合”是研究函数的重要思想方法．若二次函数y＝x2+2x+m的图象在平面直角坐标系中只经过两个象限，则m的值可以是　　 ．（写出满足条件的一个值即可） 11.【答案】1（答案不唯一）． 【解析】将抛物线解析式配方可得y＝x2+2x+m＝（x+1）2+m﹣1， ∴顶点为（﹣1，m﹣1），开口向上， 由条件可知抛物线顶点落在x轴及以上， ∴m﹣1≥0，即m≥1， ∴m的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线．给出下列四个结论：①a＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＜0；④（m）．上述结论中，正确结论的序号有　　 ． 12.【答案】①②④． 【解析】解：因为抛物线的开口向上， 所以a＞0， 故①正确； 因为当x＝﹣1时，函数值大于零， 所以a﹣b+c＞0， 故②正确； 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则2a＝﹣3b， 所以2a+3b＝0， 故③错误； 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以当x时，函数取得最小值为， 则当m时，， 所以， 故④正确； 故答案为：①②④． 13．函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象如图所示，则图象与y轴交点的坐标为　　 ；若方程|x2﹣x﹣2|＝﹣x+m恰好有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　　 ． 13.【答案】（0，2），﹣1＜m＜2或m＞3． 【解析】由x2﹣x﹣2＝0得， x1＝﹣1，x2＝2， 所以函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（2，0）． 当﹣1＜x＜2时，函数的解析式为y＝﹣x2+x+2， 则x＝0时，y＝2， 即图象与y轴交点的坐标为（0，2）． 如图所示， 将点（﹣1，0）代入y＝﹣x+m得， m＝﹣1， 将点（0，2）代入y＝﹣x+m得， m＝2， 所以当﹣1＜m＜2时，方程|x2﹣x﹣2|＝﹣x+m恰好有两个不相等的实数根； 由﹣x2+x+2＝﹣x+m得， x2﹣2x+m﹣2＝0， 则Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝0， 解得m＝3， 所以当m＞3时，方程|x2﹣x﹣2|＝﹣x+m恰好有两个不相等的实数根， 综上所述，当﹣1＜m＜2或m＞3时，方程|x2﹣x﹣2|＝﹣x+m恰好有两个不相等的实数根； 故答案为：（0，2），﹣1＜m＜2或m＞3． 14．随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥．下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径AB＝100m，主路桥面的最低点O到AB的距离为10m．由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为CD，已知普通轿车的安全涉水深度大于30cm，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径CD的长度不能超过 　　 米． 14.【答案】17.32米． 【解析】由题意，∵AB＝100m，主路桥面的最低点到AB的距离为10m， ∴点A的坐标为（﹣50，10）． 从而可设抛物线的表达式为y＝ax2，把点A（﹣50，10）代入，得10＝a•（﹣50）2， ∴a． ∴抛物线的表达式为yx2． （2）由题意，在yx2中，令y＝0.3时， ∴0.3x2． ∴x＝±5． 又5（﹣5）＝1017.32， ∴积水跨径CD的长度不能超过17.32米． 故答案为：17.32． 15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC＝30°，设点P的横坐标为m，则的最大值为　　 ． 15.【答案】4 【解析】如图，作EH⊥y轴于点H， 令y＝x2+2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 将A（﹣3，0）和C（0，﹣3）代入，得：， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3； ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为（m，m2+2m﹣3），点E的坐标为（m，﹣m﹣3）， ∴PD＝﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣2m+3，ED＝﹣（﹣m﹣3）＝m+3，EH＝﹣m， ∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m ∵∠EGC＝30°， ∴， ∴， ∴的最大值为4． 故答案为：4． 三．解答题（共7小题，共75分） 16．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，1），B（3，1），与y轴交于点C，顶点为P． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线y＝mx2+nx+p（m≠1）的对称轴是直线x＝2，且经过点M（5，9），与y轴交于点D，顶点为Q．求的值． 16.解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，1），B（3，1）， ∴， ∴， ∴y＝x2﹣4x+4； （2）由（1）得抛物线为y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2， ∴顶点P为（2，0），与y轴交点C为（0，4）， ∵抛物线y＝mx2+nx+p的对称轴是直线x＝2，且经过点M（5，9）， ∴， ∴， ∴抛物线y＝mx2+nx+p为：y＝mx2﹣4mx+9﹣5m， ∴当x＝2时，y＝9﹣9m， ∴顶点Q为（2，9﹣9m），与y轴交点D为（0，9﹣5m）， ∴CD＝|9﹣5m﹣4|＝5|1﹣m|，PQ＝|9﹣9m|＝9|1﹣m|， ∴． 17．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M（m，m），N（n，n），且m＜n． （1）若m+n＝0，求b的值； （2）设点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若，证明：． 17.解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M（m，m），N（n，n），且m＜n． 抛物线过点M（m，m），N（n，n），且m+n＝0，即n＝﹣m． ∴am2+bm+c＝m，am2﹣bm+c＝﹣m． 两式相减得：2bm＝2m， ∵m＜n且m+n＝0， ∴m≠0， ∴b＝1； （2）证明：∵M（m，m），N（n，n）在抛物线上， ∴am2+bm+c＝m，an2+bn+c＝n． 两式相减得：a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝m﹣n （m﹣n）[a（m+n）+b﹣1]＝0 ∵m＜n， ∴a（m+n）+b﹣1＝0，即b＝1﹣a（m+n）． 顶点横坐标． ∵， ∴．得证． 18．（10分）如图1是某图书馆阅览区的大门，其外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，点O、A为抛物线与地面的交点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），米，抛物线的最高点到OA的距离为米，管理员计划在门外墙壁上固定两个矩形区域（图中阴影部分），分别作为规章制度牌和功能标识牌、已知规章制度牌（矩形BCDH）的顶点B在抛物线上，BC∥OA，米，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，图中所有的点与线都在同一平面内． （1）求该抛物线大门的函数表达式； （2）若规章制度牌的最高处到地面OA的距离不大于2米，则视为方便读者阅览，已知点B到y轴的距离为2米，计算并判断该规章制度牌是否方便读者阅览？ 18.（1）解：∵点O与点A关于抛物线的对称轴对称，，抛物线的最高点到OA的距离为米， ∴抛物线顶点坐标为． ∴可设抛物线大门的函数表达式为， ∵图象过原点O（0，0）， ∴， ∴， ∴抛物线大门的函数表达式为； （2）解：由题意得，点B的横坐标为2， ∴，则， ∴B为， ∵BC∥OA，四边形BCDH为矩形， ∴BC⊥BH，即BH⊥x轴， ∵， ∴H，即， ∵， ∴该规章制度牌方便读者阅览． 19.（10分）如图1，小明同学很喜欢排球运动，他发现排球的运动轨迹可以近似地看作一条抛物线，如图2，他通常站在与球网水平距离为9米的点O处发球，通过跳跃使排球出发点A距地面高2米，当排球与发球点水平距离为6米时，排球到达运动轨迹的最高点，已知排球网顶端C距地面的高度为2.4米，若以小明站立点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）图中A点坐标是　　 ，C点坐标是　　 ； （2）若排球刚好越过排球网，请求出排球运动轨迹的函数表达式； （3）小明和小天是同组队员，在一次比赛对阵中，对方回击排球的运动轨迹满足y＝ax2+2a2x（a＜0），小明准备在点M（x1，y1）处接球，小天准备在点N（x2，y2）处接球，已知M，N两点均在抛物线上，若对于x1＝﹣4a，3≤x2≤7，都有y1＞y2，求a的取值范围． 19.（1）解：依题得：点A在y轴上，且距O点距离为2， 球网与O点的水平距离为9，球网顶端C距地面的高度为2.4， 则A（0，2），C（9，2.4）． 故答案为：（0，2）；（9，2.4）； （2）解：∵当排球与发球点水平距离为6米时，排球达到最高点， ∴设满足排球运动轨迹的函数关系式为y＝a（x﹣6）2+k， ∵图象过（0，2），（9，2.4）， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2a2x上， ∴当x1＝﹣4a时，， ， 又∵y1＞y2， ∴y1﹣y2，即﹣a（x2﹣2a）（x2+4a）＞0， 又∵a＜0， ∴﹣a＞0，﹣2a＞0， ∴x2﹣2a＞0， ∴x2+4a＞0，则x2＞﹣4a； 又∵3≤x2≤7， ∴﹣4a＜3， ∴， 又∵a＜0， ∴． 20．（11分）综合与实践 问题情境： 数学小组的同学在透明的玻璃容器中装入水，当容器水平放置时，从外面用视图的方法得到如图1所示的图形（阴影部分为玻璃壁）． 观察测量： 同学们经测量发现该容器口是一个以点F为圆心，直径为12cm的圆，容器最大深度EF＝9cm，且通过观察可将该容器内壁曲线CED近似看作抛物线的一部分，E是该抛物线的顶点且在线段AB上． 数学建模： （1）在图1中以点E为原点，AB所在的直线为x轴，EF所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． ①在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的表达式； ②当液面MN离杯口的距离为5cm时，求MN的长度． （2）将玻璃容器缓缓倾斜倒出部分水，从外面用视图的方法得到如图2所示的图形．当AB所在的直线与水平桌面之间的夹角为30°时停止，此时将筷子从点F处垂直于容器口浸入水中，求筷子被浸湿的长度．（提示：以AB所在的直线为x轴，过点D垂直于AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系） 20.解：（1）①建立的平面直角坐标系如图所示， 根据题意，得CD＝12cm，EF垂直平分CD，EF＝9cm， ∴CF＝DF＝6cm， ∴D（6，9）， ∵抛物线的顶点E（0，0）， ∴设抛物线的表达式为y＝ax2． 把D（6，9）代入，得36a＝9． 解得a， ∴抛物线的表达式为yx2（﹣6≤x≤6）． ②∵EF＝9cm，液面MN离杯口的距离为5cm， ∴点M，N的纵坐标为9﹣5＝4， 把y＝4代入yx2，得x2＝4． 解得x1＝﹣4，x2＝4， ∴M（﹣4，4），N（4，4）， ∴MN＝8（cm）． （2）如图，以AB所在的直线为x轴，过点D垂直于AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，记坐标原点为P，DG与EF交于点H，延长DG交x轴于点R，则四边形EPDF是矩形，筷子被浸湿的长度为EH． ∴DP＝EF＝9cm，EP＝DF＝6cm，∠DRP＝30°，∠DPR＝90°， ∴E（﹣6，0），PR9（cm）， ∴RE＝PR﹣EP＝96（cm）， ∴EH＝ER•tan30°＝9﹣2（cm）， 答：浸湿筷子的长度为（9﹣2）cm． 21．（11分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，6），顶点D坐标为（2，8）． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△ACM的周长最小，求出点M的坐标； （3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21.解：（1）∵抛物线的顶点为（2，8），设函数表达式为y＝a（x﹣2）2+8，图象过点C（0，6）， ∴6＝（0﹣2）2×a+8， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）如图1，连接BM，AC， 由（1）得二次函数的表达式为， 二次函数的图象与x轴交于A，B两点， 当y＝0时，得：， 解得：x1＝﹣2，x2＝6， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）， ∵A、B关于对称轴直线x＝2对称，点M在对称轴上， ∴MA＝MB， ∴△ACM的周长＝AC+CM+AM＝AC+CM+BM， 当B、M、C三点共线时，△ACM的周长最小，如图2， 设直线BC的函数解析式为y＝mx+n，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+6， ∵点M的横坐标为x＝2， ∴点M的坐标为（2，4）； （3）抛物线上存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形；理由如下： ∵点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上， ∴设Q（2，q），， ①当AB为对角线时，如图3， 依题意得：， 解得：， ∴p＝2时，得：， ∴P（2，8）； ②当BQ为对角线时，如图4， 依题意得：， 解得， ∴p＝10时，得：， ∴P（10，﹣24）； ③当BP为对角线时，如图5， 依题意得：， 解得：， ∴p＝﹣6时，得：， ∴P（﹣6，﹣24）； 综上可知：抛物线上存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P坐标为（2，8）或（10，﹣24）或（﹣6，﹣24）． 22.（12分）我们约定：在平面直角坐标系中，当点（x，y）的坐标满足x+y＝xy时，称点（x，y）为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点P（x，y）为“靓点”，则点Q（2﹣x，2﹣y）是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）当k＞0时，求证：关于x的函数y＝kx+m（k，m为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+2（a为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且满足，求a的值． 22.（1）解：点Q（2﹣x，2﹣y）是“靓点”， 证明如下：∵点P（x，y）为“靓点”， ∴x+y＝xy， ∵（2﹣x）+（2﹣y）＝4﹣（x+y），（2﹣x）（2﹣y）＝4﹣2x﹣2y+xy＝4﹣2（x+y）+xy， ∴将x+y＝xy代入上式，得（2﹣x）（2﹣y）＝4﹣2（x+y）+（x+y）＝4﹣（x+y）， ∴（2﹣x）+（2﹣y）＝（2﹣x）（2﹣y）， ∴点Q（2﹣x，2﹣y）是“靓点”； （2）证明：将y＝kx+m代入x+y＝xy，得x+kx+m＝x（kx+m）， 整理得kx2+（m﹣k﹣1）x﹣m＝0， ∵k＞0， ∴判别式Δ＝（m﹣k﹣1）2﹣4•k•（﹣m） ＝（m﹣k﹣1）2+4km ＝m2﹣2（k+1）m+（k+1）2+4km ＝m2+2km+k2+2k+1 ＝（m+k）2+2k+1， ∵（m+k）2≥0，k＞0， ∴2k+1＞0， ∴Δ＝（m+k）2+2k+1＞0， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将x＝1代入方程左边，得k•12+（m﹣k﹣1）•1﹣m＝k+m﹣k﹣1﹣m＝﹣1≠0， ∴方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又∵k≠0，两个不同的x对应两个不同的y， ∴函数y＝kx+m的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）解：将y＝ax2﹣4ax+4a+2代入x+y＝xy得x+ax2﹣4ax+4a+2＝x（ax2﹣4ax+4a+2）， 整理得（x﹣2）（ax2﹣3ax+2a+1）＝0， ∵关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+2（a为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， ∴令x1＝2，则方程ax2﹣3ax+2a+1＝0有两个不相等的实数根x2，x3， ∴Δ＝（﹣3a）2﹣4×a×（2a+1）＞0， ∴a＜0或a＞4， 将x1＝2代入y＝ax2﹣4ax+4a+2得y1＝4a﹣8a+4a+2＝2， ∵， ∴， ∴， ∵方程ax2﹣3ax+2a+1＝0有两个不相等的实数根x2，x3， ∴，， ∴， ∵， ∴y2+y3＝a4a×3+8a+4＝5a﹣2﹣12a+8a+4＝a+2， ∵x+y＝xy， ∴， ∴， ∴， 整理得（a+2）（a﹣1）2＝0， ∴a＝1（不符合题意，舍去）或a＝﹣2， ∴a的值为﹣2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/20 23:14:48；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版第5章 二次函数单元测试卷（培优拔高） 满分：120分 时间：120分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 2．抛物线与直线y2＝x﹣n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣n﹣3的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（cm/s）与弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（　　） A．3.5cm/s B．4cm/s C．4.5cm/s D．5cm/s 4.小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程|x2﹣2x﹣3|＝n的根，他发现方程有四个不等实数根，则n的值可能是（　　） A．0 B．1 C．4 D．5 5．设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 6．已知二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），当x1＞x2＞0时，始终有y1＜y2，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0 B．方程ax2﹣bx+2＝0没有实数根 C．该函数图象的顶点位于第三象限 D．该函数的最大值不小于5 7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论： ①abc＜0 ②a﹣b+c＜0 ③2a+b＝0 ④（a+c）2＞b2 ⑤若A（2，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3），则y1＞y2＞y3． 其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（t，n），D（2﹣t，n）四点，且﹣4＜x1＜﹣2，若存在正数m，使得当m＜x2＜m+1时，总有y1≠y2成立，则正数m的取值范围是（　　） A．0＜m≤3或m≥6 B．3＜m≤5 C．0＜m≤6 D．0＜m≤4或m≥6 9.若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 10.已知函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，2），B（﹣1，﹣2），C（2，n），则下列选项中，对应的a的值最大的是（　　） A．n＝2 B．n＝1 C．n＝0 D．n＝﹣1 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．“数形结合”是研究函数的重要思想方法．若二次函数y＝x2+2x+m的图象在平面直角坐标系中只经过两个象限，则m的值可以是　　 ．（写出满足条件的一个值即可） 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线．给出下列四个结论：①a＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＜0；④（m）．上述结论中，正确结论的序号有　　 ． 13．函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象如图所示，则图象与y轴交点的坐标为　　 ；若方程|x2﹣x﹣2|＝﹣x+m恰好有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　　 ． 14．随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥．下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径AB＝100m，主路桥面的最低点O到AB的距离为10m．由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为CD，已知普通轿车的安全涉水深度大于30cm，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径CD的长度不能超过 　　 米． 15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC＝30°，设点P的横坐标为m，则的最大值为　　 ． 三．解答题（共7小题，共75分） 16．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，1），B（3，1），与y轴交于点C，顶点为P． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线y＝mx2+nx+p（m≠1）的对称轴是直线x＝2，且经过点M（5，9），与y轴交于点D，顶点为Q．求的值． 17．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M（m，m），N（n，n），且m＜n． （1）若m+n＝0，求b的值； （2）设点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若，证明：． 18．（10分）如图1是某图书馆阅览区的大门，其外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，点O、A为抛物线与地面的交点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），米，抛物线的最高点到OA的距离为米，管理员计划在门外墙壁上固定两个矩形区域（图中阴影部分），分别作为规章制度牌和功能标识牌、已知规章制度牌（矩形BCDH）的顶点B在抛物线上，BC∥OA，米，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，图中所有的点与线都在同一平面内． （1）求该抛物线大门的函数表达式； （2）若规章制度牌的最高处到地面OA的距离不大于2米，则视为方便读者阅览，已知点B到y轴的距离为2米，计算并判断该规章制度牌是否方便读者阅览？ 19.（10分）如图1，小明同学很喜欢排球运动，他发现排球的运动轨迹可以近似地看作一条抛物线，如图2，他通常站在与球网水平距离为9米的点O处发球，通过跳跃使排球出发点A距地面高2米，当排球与发球点水平距离为6米时，排球到达运动轨迹的最高点，已知排球网顶端C距地面的高度为2.4米，若以小明站立点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）图中A点坐标是　　 ，C点坐标是　　 ； （2）若排球刚好越过排球网，请求出排球运动轨迹的函数表达式； （3）小明和小天是同组队员，在一次比赛对阵中，对方回击排球的运动轨迹满足y＝ax2+2a2x（a＜0），小明准备在点M（x1，y1）处接球，小天准备在点N（x2，y2）处接球，已知M，N两点均在抛物线上，若对于x1＝﹣4a，3≤x2≤7，都有y1＞y2，求a的取值范围． 20．（11分）综合与实践 问题情境： 数学小组的同学在透明的玻璃容器中装入水，当容器水平放置时，从外面用视图的方法得到如图1所示的图形（阴影部分为玻璃壁）． 观察测量： 同学们经测量发现该容器口是一个以点F为圆心，直径为12cm的圆，容器最大深度EF＝9cm，且通过观察可将该容器内壁曲线CED近似看作抛物线的一部分，E是该抛物线的顶点且在线段AB上． 数学建模： （1）在图1中以点E为原点，AB所在的直线为x轴，EF所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． ①在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的表达式； ②当液面MN离杯口的距离为5cm时，求MN的长度． （2）将玻璃容器缓缓倾斜倒出部分水，从外面用视图的方法得到如图2所示的图形．当AB所在的直线与水平桌面之间的夹角为30°时停止，此时将筷子从点F处垂直于容器口浸入水中，求筷子被浸湿的长度．（提示：以AB所在的直线为x轴，过点D垂直于AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系） 21．（11分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，6），顶点D坐标为（2，8）． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△ACM的周长最小，求出点M的坐标； （3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22.（12分）我们约定：在平面直角坐标系中，当点（x，y）的坐标满足x+y＝xy时，称点（x，y）为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点P（x，y）为“靓点”，则点Q（2﹣x，2﹣y）是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）当k＞0时，求证：关于x的函数y＝kx+m（k，m为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+2（a为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且满足，求a的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $