第五章二次函数单元质量检测题2026-2027学年上学期数学九年级北师大版

**基本信息** 本卷为九年级上册第五章二次函数单元复习卷，A卷100分+B卷20分，覆盖二次函数定义、图像性质、平移、与方程不等式关系及实际应用，梯度设计合理，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|二次函数定义（题1）、图像性质（题2）、平移（题3）|结合图像分析（题4、8），体现几何直观| |填空题|5/20|开口方向（题9）、点坐标比较（题10）、方程根（题11）|注重概念辨析与符号意识| |解答题|7/62|图像交点（题14）、平移变换（题15）、最值应用（题16）、几何综合（题17）、利润模型（题22）|突出运算能力与模型意识，综合题（题23）考查推理能力，贴合核心素养|

2026-2027学年度九年级上册单元质量监测题（五） 第五章 二次函数 A卷（100分） 一、选择题(每题4分，共32分) 1．下列二次函数中，二次项系数是－3的是（　　） A.y＝3x2－2x＋5 B.y＝x2－3x＋2 C.y＝－3x2－x D.y＝x2－3 2．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A.图象经过原点 B.开口向上 C.对称轴是直线 D．最高点是 3.抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D.或 5.抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A． B． C． D．4 6.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax＋c和二次函数y=ax2＋c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 7．观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 8.如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m______． 10．若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）． 11．二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． ( 12题图 ) ( 11题图 ) 12．如图，是抛物线上两点，点为的中点，过作轴的垂线，交抛物线于点，．设两点的横坐标分别为．则的值为 ． 13. 将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 三、解答题(共48分) 14.(8分）已知二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B与C．  (1)求点A，B，C的坐标； (2)直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 15.(10分）已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 16.(10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的函数关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l//y轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大值是多少？ 17.(10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点P是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点P的坐标． 18.(10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围. B卷（20分） 1、 填空题（每小题2分，共6分） 19.已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 20.已知二次函数图象的顶点为P，若点P的坐标为，则与之间的关系式为 ． 21.如图，直线与抛物线交于A,B两点（点A在点B的左侧），若在抛物线L上存在定点P使，则点P到直线的最大距离为 ． 2、 解答题（4题6分，5题8分，共14分） 22.某商场销售A,B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元． (1)求A,B两种商品的销售单价; (2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，种商品售价不低于B种商品售价．设种商品降价元，如果A,B两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售A,B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 23.在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接,． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 九年级数学下（二） 　第 - 1 - 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年度九年级数学上册质量监测题参考答案 第五章二次函数 一、选择题 1-8:C DD C B D C D 二、填空题 9.m<1; 10.y>为；11.m≤9 12.25 18.y=-(x+3+6或 y=-(x-1)2+2 三、解答题 14解：(1)令y=0,则0=x2-4x+3, 解得=1，=3， :Bo)4g0) 令x=0,则y=x2-4x+3=3, :c0,3) (2)y<0, .图像位于x轴下方， x取值范围为1<x<3. 15.解：（1)二次函数解析式为y=-x2-4x+m=-(x+2+m+4, .当x=-2时，二次函数有最大值m+4, .该二次函数的最大值为2m, 1 ∴.m+4=2m, ∴.m=4; (2)把二次函数y=-(x+2+m+4向右平移2个单位长度，向下平移4个单位 长度后得新二次函数解析式为)=-(x+2-2+m+4-4=-2+m .·平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， .平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， .m>0 16.(1)解：抛物线y=x+br+c经过A、C两点，且0A=0C=3, .A(-3,0)C(0,-3) 9-3b+c=0 .将其分别代入抛物线解析式，得c=-3 b=2 解得c=-3. 故此抛物线的函数关系式为：y=x2+2x-3: (2)设直线AC的解析式为y=kc+t, 「-3k+t=0 将4(-3,0)，C(0,-3)代入，得t=-3, k=-1 解得t=-3, 2 「直线的解析式为=-3 AC 设a㎡+2m-3到，则Ma-n-) w3-a--3=+. -1<0 小当=-弓时，州m 9 4 3 7315Y 把”=2代入抛物线，得点N的坐标为24， 315 当点N的坐标为24)时，MN有最大值，最大值为4 17.证明：：点P是在该抛物线乃=x上的动点， 设点P的坐标为p)】 m-a-j+r--o+- PNL,直线的解析式是为=4， ∴.PF=PN ； (2)解：(-2)=4<6， 3 点(26 在抛物线= 的上方， 由(1)知PF=PN, .PE+PF=PE+PN≥EN ,当E,P,N共线时，等号成立，如图： 当x=-2时，=x2=4, 25 PE+PF的最小值为4，此时点P的坐标为(-2,4). 18,解：(1)：抛物线=ar2+r过点 （-1,3) 且对称轴为直线c=1 b= 2a a=1 a-b=3,解得： b=-2, -2x (2)当k=1时，则：y=x-1, 当x=0,y=-1,当x=2时，y=1, D(0,-1),E(2,1) y=-2-1 .顶点坐标在直线y=-1上移动， y=x-2-1 与线段DE有公共点， y=(x-h2-1 联立by=x-1,整理，得：x2-(2h+1)x+2=0, 4 六当△=(2h+1-4h=0,即：h=- 4时，满足题意， 1 将y=(x-h-1从h=一4开始向右移动，直至抛物线与线段DE只 有一个交点为(2,1 时，y=x--1与线段DE均有公共点， 当y=x--过点E(2,时，(2--1=1 解得：h=2-V2或h=2+√2， ∴当45h≤2+V2时，抛物线y=(K--1与线段DE有公共 点； B卷 填空题 19.5 20.b=2a 21.25 二、解答题 22.解：（1)设A的销售单价为x元，B的销售单价为'元，则 [20x+10y=840 x=30 10x+15y=660,解得y=24, 答：A的销售单价为30元，B的销售单价为24元： (2)·A种商品售价不低于B种商品售价， .30-m≥24 4,解得m≤6，即 0≤m≤6 设利润为w,则 5 w=(40+10m)×(30-m-20)+(24-20) =-10m2+100m+560 =-10(m-5)}+810 -10<0 在m=5 810 能取到最大值，最大值为， 当m 时，商场销售 48两种商品可获得总利润最大，最大利涧是810元 3 23解：（1)放物线)+x+Q y=- 与y轴交于点C(0,2). 对称轴是直线 6 2× c=2 3 c=2 ∴抛物线的解析式为y= -1x2- 22 x+2: 2在42，令，0，则方-+2=0， -1x2_3 x=-4x2=1 解得： 4(4,0)BL0) 设直线4C的解析式为 =kc+b(k≠0) 6 [-4k+b=0 将A(-4,0),C(0,2)代入直线解析式可得b=2 k= 2 解得：b=2 1 六直线4C的解析式为)=2x+2, 1 2m+2 23 在=2+2中，当y=m 1 2 +2时，+2=m2 m+2 2 2 2 解得x=-m2-3m,即气 ：MW+Mg=-m -2m+r-4m=r-6m=-r+4nl=-3a+2j+6, 2 3 20, 当m=-2时，MN+M0的值最大，为6； Et-22 t+2 (3)由题意可设 D(s,0)」 A(-4,0)C(0,2) ,平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形， [t+s=-4+0 一当4C为对角线时，由平行四边形的性质可得 -3 22 t+2+0=0+2, t=-3t=0 解得：s=-1或s=-4(不符合题意，舍去)， 7 此时点E的坐标为(-32). 当AC为边时，平行四边形为ADEC时，由平行四边形的性质可得 t+(-4)=s+0 -+20-0+2 [t=-3[t=0 解得： s=-7或s=-4(不符合题意，舍去)， 此时点E的坐标为3,2)， 当AC为边时，平行四边形为AEDC时，由平行四边形的性质可得 t+0=-4+5 1_3 22 +2+2=0+0, 5+V41 S= 2 解得： -3+√41或 t=- =3-④， 2 3雨，-2 此时点E的坐标为 2 综上所运，点E的￥标为(32)减3-2 -3±√41 8