26.2.1 二次函数y＝ax2的图象和性质 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦人教版九年级上册二次函数y=ax²的图象和性质，通过“温故知新”回顾一次函数与正比例函数的学习方法，以类比、从特殊到一般为支架，衔接二次函数概念与描点法画图，构建前后知识脉络。 其亮点在于通过描点法绘制y=x²、y=2x²等图象，观察对比a>0与a<0时的开口方向、增减性等特征，培养学生几何直观与推理意识，用表格系统总结性质规范数学语言，例题与变式训练提升应用能力，助力学生深化理解，教师教学更具条理与实效。

26.2 二次函数的图象和性质 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 26.2.1 二次函数y＝ax2的图象和性质 二次函数 概念 图象 性质 一次函数 正比例函数 从特殊 到一般 类比 描点法画图 观察图象特征 归纳函数性质 形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的函数. 温故知新 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 最简单的二次函数y=ax2 y=x2 探索新知 画二次函数 y=x2 的图象. 1.列表：在y = x2中，自变量x可以是任意实数. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 2.描点. 3.连线. y =x2 用平滑曲线，自左向右顺次连接，向两端无限延伸. y =x2 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫作抛物线. 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴. 抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点. y =x2 议一议：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 1.y＝x2的图象是一条抛物线； 2.图象开口向上； 3.图象关于y轴对称； 4.顶点（0，0）； 5.图象有最低点． y =x2 想一想：二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化? 从二次函数y=x2的图象可以看出： 当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. 例1 在同一平面直角坐标系中，画出函数y= x2，y=2x2的图象. y =x2 ①列表； x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y=2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· ②描点； ③连线. y=2x2 例题解析 y =x2 y=2x2 思考：（1）函数y= x2 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ ①图象开口向上； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最低点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. 开口大小 思考：(2)当a>0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？ y =x2 y=2x2 ①图象开口向上； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最低点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. ⑥a越大，抛物线的开口越小. 回顾上面研究二次函数y=ax²(a>0)的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数y=ax²(а<0)的图象和性质吗? 探索新知 在同一直角坐标系中画出函数y= -x2， y= -x2，y= -2x2的图象，观察这些抛物线有什么共同点和不同点. ①列表； x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ··· x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y=-x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y=-2x2 ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ··· ②描点； ③连线. y =－x2 y=-2x2 y =－x2 y=-2x2 ①图象开口向下； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最高点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而增大； 当x>0时，y随着x的增大而减小. ⑥a越小，抛物线的开口越小. y=ax2(a＜0)的特点： y=ax2 a>0 a<0 图象 位置开口方向 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点 最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 增减性 当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大. 当x<0时, y随着x的增大而增大; 当x>0时, y随着x的增大而减小. 1. 已知抛物线y＝－ x2，则： (1)开口向___； (2)对称轴是______； (3)顶点坐标是________； (4)当x＝____时，y的最____值＝____； (5)当x______时，y随x的增大而增大. 下 y轴 (0，0) 0 大 0 ＜0 对应练习 2. 二次函数y＝ x2的图象如图所示，则： (1)a____0；(2)开口向____； (3)对称轴是______； (4)顶点坐标是________； (5)当x＝____时，y的最小值＝____； (6)当x>0时，y随x的增大而_______. ＞ 上 y轴 (0，0) 0 0 增大 对应练习 观察右面图象，抛物线y=ax2与y=-ax2(a>0)的关系是什么? 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. 二次函数y=ax2的 图象和性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂练习 A　 B　 C　 D 1.二次函数y＝－x2的图象大致为( ) A 课堂练习 2.二次函数y＝x2的图象经过的象限是( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 A 3.已知二次函数y＝(2－a)x2的图象如图所示，则a的取值范围为　 　. 　a＞2　 4.[教材P34例1改编]在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①y＝x2；②y＝3x2；③y＝－x2； ④y＝－3x2. 略 　 抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大. 5.填写下表： 抛物线 ①y＝x2 ②y＝－5x2 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 向上 向下 y轴 y轴 (0，0) (0，0) 抛物线 ①y＝x2 ②y＝－5x2 最值 当x＝　 　时，y有最 　 　值是　 　.  当x＝　 　时，y有最 　 　值是　 　.  增减性 当x＞0时，y随x的增大而 　 　；当x＜0时，y随x的增大而　 　.  当x＞0时，y随x的增大而　 　；当x＜0时，y随x的增大而 　.  增大　 　减小　 　0　 　大　 　0　 　减小　 　增大　 　0　 　小　 　0　 6.已知二次函数y＝2x2，当x＜k时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是　 　. 　k≤0　 7.已知函数y＝(m－3)是关于x的二次函数，且该函数图象的开口向下，则m的值为　 　.  　－1　 8.[与T10互为孪生题]已知点A(－2，y1)和点B(－4，y2)都在二次函数y＝－3x2的图象上，则y1　 　y2.(填“＞”“＝”或“＜”)  　＞　 点在对称轴同侧→点在对称轴异侧 已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( ) A.y1＞0＞y2　　　　B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0 C 9.[易错题]已知二次函数y＝－4x2且－1≤x≤2，则函数值y的取值范围是( ) A.y≤0 B.－16≤y≤－4 C.－4≤y≤0 D.－16≤y≤0 D 10.[与T8互为孪生题]已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在抛物线y＝x2上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1 C.y1＜y3＜y2 D.y2＜y3＜y1 D A B C D 11.二次函数y＝ax2与正比例函数y＝－ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) B C　　　　 D 　A　　　　 B 二次函数与正比例函数的图象→二次函数与一次函数的图象 当ab＞0时，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) D 12.如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，则阴影部分的面积是　 　.  　8　 13.如图，一次函数y＝kx＋b与二次函数y＝ax2的图象交于点A(1，m)，B(－2，4)，与y轴交于点C. (1)求两个函数的解析式； (2)写出该抛物线上点A的对称点D的坐标； (3)求△AOB的面积. 解：(1)一次函数的解析式为y＝－x＋2，二次函数的解析式为y＝x2. (2)点D的坐标为(－1，1). (3)易知点C(0，2)， ∴S△AOB＝S△AOC＋S△COB＝×2×1＋×2×2＝3. 14.已知函数y＝的图象如图所示，点A(x1，y1)在该函数第一象限内的图象上(包含原点)，点B(x2，y2)在该函数第二象限内的图象上. (1)当y1＝y2＝4时，求x1，x2的值； 解：(1)由题意可知y1＝，y2＝－x2， ∵y1＝y2＝4，∴＝4，－x2＝4， 解得x1＝2(负值舍去)，x2＝－4. (2)若x1＋x2＝0，设w＝2y1－，求w的最小值. (2)∵x1＋x2＝0，∴x1＝－x2. ∵y1＝，y2＝－x2＝x1， ∴w＝2y1－＝2， ∴当x1＝0时，w有最小值为0. $