26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第3课时 y=a（x-h）²+k的图象）（教学课件，含交互动画）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，通过复习y=ax²+k与y=a(x-h)²的平移规律，以问题链引导学生思考两者结合的平移过程，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于采用“作图—观察—对比—归纳—应用”探究流程，结合喷水池、排球运动等实例，培养学生的几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。课堂小结梳理知识、思想方法及易错点，助力学生提升数形转化能力，也为教师提供系统教学资源。

null26.2二次函数的图象和性质 26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第3课时 函数y=a(x-h)²+k的图象 第二十六章 二次函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握二次函数y=a(x-h)²+k的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值；熟练掌握抛物线横纵综合平移规律，能实现y=ax2与y=ax2+k的图象互推；能利用函数性质解决参数求解、图象平移、函数值比较等基础题型. 延续“作图—观察—对比—归纳—应用”的探究流程，通过类比旧知探究新知，掌握二次函数图象变换的通用探究方法，提升数形转化、规律归纳、知识迁移的能力. 在图象动态变换探究中感受函数图象的规律性、对称性与统一性，培养严谨的数学思维和自主探究、合作交流的学习习惯，建立二次函数知识体系的整体认知. 上下平移规律 左右平移规律 知识回顾 向上k 个单位 向下k 个单位 抛物线y=ax2+k与抛物线y=a(x-h)2由抛物线y=ax2怎样平移得到? y=ax2 y=ax2+k y=ax2 -k y=a(x+h)2 向左h个单位 y=a(x-h)2 向右h个单位 常数项上加下减 括号内左加右减 注：k＞0，h＞0 1.抛物线 的顶点坐标为( ) C A. B. C. D. 返回 练一练 知识回顾 2.下列二次函数中，其图象的对称轴为直线 的是( ) D A. B. C. D. 3.将抛物线 向左平移4个单位长度后所得抛物线的解析式是( ) A A. B. C. D. 返回 4. 二次函数y=2x²－3的顶点坐标 ，对称轴 ， 当x= 时，y有最 值是 。 将y=2x²－3向 平移 个单位得 y=2x²+5 将y=2x²－3向 平移 个单位得 y=2x²－6 知识回顾 练一练 5.二次函数y=－2（x－3）²的顶点坐标 ，对称轴 ， 当x= 时，y有最 值是 。 将y= － 2（x－3）²向 平移 个单位得 y= － 2x² 将y= － 2（x－3）²向 平移 个单位得 y= － 2 -3 直线x= -3， y轴 (0，-3) (-3，0) -3 0 小 上 下 8 3 大 0 左 右 3 3 导入新课 y=2x2 y= 2x²-3 ٭抛物线y=2x²－3左右移动会得到怎样的解析式？ ٭抛物线y=2（x－3）²上下移动会得到怎样的解析式？ ٭抛物线y=a(x-h)2+k可以由抛物线y=ax2直接平移得到吗? ٭二次函数y=2x²变形为y=2(x-1)²-3，图象除上下平移外，还会发生什么变化？ ٭抛物线y=a(x-h)2+k中的参数h与k对抛物线有怎样的影响？ ——二次函数y=a(x-h)2+k的图像与性质 y=2（x－3）² 思 考 新知探究 探究点1 画二次函数图象 活动1 在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 解：1.列表 … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 新知探究 探究点1 画二次函数图象 2.描点、连线，画出函数的图象. y= -(x+1)2-1 开口_______， 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 向下 直线x = -1 (-1, -1) 活动1 在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 直线x =－1 新知探究 探究点1 画二次函数图象 活动2 观察抛物线与抛物线有什么关系? -2 -1 y -3 O -1 1 x 2 -2 函数 图像的 开口方向 图像的 对称轴 图像的 顶点坐标 向下 x=0 (0,0) 向下 x=0 (0.-1) 向下 x = -1 (-1.0) 向下 x = -1 (-1,-1) 新知探究 探究点1 画二次函数图象 活动2 观察抛物线与抛物线有什么关系? y=-(x+1)2 y=- x2 y=- x2 y=- (x+1)2 向左平移1个单位 y=- (x+1)2-1 向下平移 1个 单位 还有其他的平移方法吗？ y=-(x+1)2-1 方法一 新知探究 探究点1 画二次函数图象 议一议 观察抛物线与抛物线有什么关系? y=- x2 y=- x2 向下平移1个单位 y=- x2+1 y=- x2-1 y=- (x+1)2-1 向左平移1个单位 y=-(x+1)2-1 方法二 结论： 与抛物线形状相同，位置不同. a 抛物线大小和开口方向 决定 抛物线顶点纵坐标 决定 抛物线的对称轴位置， 即顶点横坐标 决定 -2 -1 y -3 O -1 1 x 2 -2 新知探究 探究点1 画二次函数图象 活动2 观察抛物线与抛物线有什么关系? 抛物线y=a(x-h)2+k图像受哪些因素影响？ 新知探究 探究点2 函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的关系 活动3 利用信息技术工具画函数y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的图象(改变h、k的值)，观察两图象变化和平移规律. y=ax2 h k y=a(x-h)2+k h<0，将抛物线y=ax2向左平移， h>0，将抛物线y=ax2向右平移； k>0，将抛物线y=ax2向上平移； k<0，将抛物线y=ax2向下平移， 平移方法：左加右减，上加下减. 抛物线y=a(x-h)²+k图象特征: (1）当a>0时，开口向上;当a<0时，开口向下. (2）对称轴是直线x=h. (3）顶点是(h, k). 新知探究 探究点2 函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的关系 y=ax2 y=a(x-h)2+k 开口方向 a>0时开口向上，a<0时开口向下 对称轴 x=0 x=h 顶点坐标 (0, 0) (h, k) 顶点式 y=ax2、 y=ax2+k、y=a(x-h)2是特殊的顶点式. 归一归 抛物线y=a(x-h)²+k图象特征总结 x y O y x O 新知探究 归一归 y=ax2 y=a(x-h)2 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 y=ax2+k 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度， 再向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 简记为： 上下平移看k， 上加下减； 左右平移看h， 左加右减. 二次项系数a不变。 探究点2 函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的关系 函数y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的图象平移规律. 新知探究 探究点2 函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的关系 归一归 y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质总结 y=a(x-h)2+k a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 向上 直线x=h （h，k） x=h时，y最小值=k 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线x=h （h，k） x=h时，y最大值=k 典例分析 例1：已知二次函数y=-2(x+1)²-4 （1）直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值； （2）说明该抛物线是由y=-2x²经过怎样的平移得到的； （3）若有三点A(-2,)、B(-1,)、C(0,)，比较、、的大小. 解：（1）函数为标准形式： y=-2[x-(-1)]²-4 ∴a=-2，h=-1，k=-4. ∵ a=-2<0， ∴抛物线开口向下， 对称轴为:直线x=-1， 顶点坐标为：(-1，-4)； 当x=-1时，函数有最大值， 最大值为y=-4，无最小值. （2）根据平移规律“左加右减、上加下减”得： 抛物线y=-2(x+1)²-4是由抛物线y=-2x²向左平移1个单位，再向下平移4个单位得到. 典例分析 例1：已知二次函数y=-2(x+1)²-4 （1）直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值； （2）说明该抛物线是由y=-2x²经过怎样的平移得到的； （3）若有三点A(-2,)、B(-1,)、C(0,)，比较、、的大小. 解：（3）∵ a=-2<0。抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1 开口向下的抛物线，点到对称轴距离越近，函数值越大 分别计算三点到对称轴x=-1的距离： A(-2,)：距离|-2-(-1)|=1； B(-1,)：距离|-1-(-1)|=0（顶点，函数值最大）； C(0,)：距离|0-(-1)|=1， ∴ >=. 方法一 方法二 把A(-2,)、B(-1,)、C(0,)代入y=-2(x+1)²-4中 =-2(-2+1)²-4=-6 =-2(-1+1)²-4=-4 =-2(0+1)²-4=-6 ∴ >=. 典例分析 例2.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少? 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系.点（1.6，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为： y=a(x-1.6)²+3(0≤x≤3.6). ∵这段抛物线经过点（3.6，0)， ∴0=a(3.6-1.6)²+3. 解得： ∴   ∴当x=0时，y=1.08， 答：水管的长应为1.08m. 新知巩固 教材P38 1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： （1）y=2(x+3)2+5； （2）y=-3(x-1)2-2； 解：∵a=2＞0 ∴抛物线开口向上， 对称轴为x=-3， 顶点坐标为（-3，5）， 当x<-3时，y随x的增大而减小，当x>-3时，y随x的增大而增大. 解：∵a=-3＜0 ∴抛物线开口向下， 对称轴为x=1， 顶点坐标为（1，-2）， 当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小. 解：∵a=4＞0 ∴抛物线开口向上， 对称轴为x=3， 顶点坐标为（3，7）， 当x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大. 解：∵a=-5＜0 ∴抛物线开口向下， 对称轴为x=-2， 顶点坐标为（-2，-6）， 当x<-2时，y随x的增大而增大，当x>-2时，y随x的增大而减小. （3）y=4(x-3)2+7； （4）y=-5(x+2)2-6. 新知巩固 2.说出下列二次函数的最大值或最小值： (1) y= (x+2)²－2; (2) y= － (x － 1)²+2. 解：(1)∵在抛物线 y= (x+2)²－2中a=＞0 ∴抛物线开口向上，顶点坐标（-2，-2） ∴当x=-2时，函数有最小值，y最小值=-2. 教材P38 (2)∵在抛物线 y=－ (x－1)²＋2中a=0 ∴抛物线开口向下，顶点坐标（1，2） ∴当x=1时，函数有最大值，y最大值=2. 拓展提升 1.如图，杭州亚运会上某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． (1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； (2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 解：（1）由题意可知： 该抛物线顶点为， ∴， 把的坐标代入解析式，得： ， 解得：， ∴函数关系式为：； 拓展提升 1.如图，杭州亚运会上某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． (1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； (2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 解：（2）没有出界，理由如下： 设第一次落地点为B，令，得： ， 解得： （舍），， ∵， ∴排球第一次落地没出界． 真题感知 1.（2025•台湾省）坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+7）2+12的图形，今将此图形向右平移10单位，平移过程中此图形与y轴的交点也会跟着变化．假设此图形与y轴的交点为P，判断在平移过程中，P点位置的变化情形为下列何者？（　　） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 解：∵ 二次函数为y＝﹣（x+7）2+12， ∴令x＝0，则y＝﹣37，即此时图象与y轴的交点P为（0，﹣37）． 又根据“左加右减，上加下减”的平移规律， 设此图形向右平移m单位（0＜m≤10）， ∴新图象函数解析式为：y＝﹣（x+7﹣m）2+12． ∴图象与y轴交点P'为（0，﹣m2+14m﹣37）． ∴ y P' =﹣m2+14m﹣37＝﹣（m﹣7）2+12， ∴当m＝7时，P'的纵坐标y P'取最大值12． 又∵0＜m≤10， ∴P点位置的变化先向上再向下． D 真题感知 2.（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　　 m． 解：由题意，OA＝1.6m，得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝﹣2， ∴OB为8m 8 真题感知 3.（2026哈尔滨校考）小明跳起投篮，已知球在处出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为米，当球出手后在处达到最大高度米，此时球运动的水平距离为米，设篮球运行的轨迹为如图所示的抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由． （1）解：根据题意， 点的坐标为，点坐标为， 设此抛物线对应的解析式为： ，， 抛物线经过， ， ， 抛物线的解析式为： ． 真题感知 3.（2026哈尔滨校考）小明跳起投篮，已知球在处出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为米，当球出手后在处达到最大高度米，此时球运动的水平距离为米，设篮球运行的轨迹为如图所示的抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由． （2）由（1）得抛物线的解析式为： ． 篮圈中心的坐标为， 将坐标代入解析式中，得： ， ∴此球能投中． 真题感知 4．（2026·台州校考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． （1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得：， ∴这个函数的表达式为：； （2）∵， ∴其对称轴为：， ∵， ∴图象开口向上，则当时，随的增大而减小， ∴的取值范围为． 知识与技能 （1）掌握顶点式y=a(x-h)²+k的核心要素： a定开口，直线x=h为对称轴，(h,k)为顶点； （2）熟记完整平移规律： 左加右减、上加下减，可实现任意顶点式抛物线与基础抛物线的平移转化； （3）熟练判断函数最值、增减性，掌握利用对称轴距离比较函数值大小的方法. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）数形结合思想： 以图象直观特征解读函数解析式参数含义，以解析式精准量化图象性质； （2）类比迁移思想： 类比纵向平移规律，探究横向平移规律，实现知识的迁移拓展； （3）从特殊到一般思想： 由具体函数图象特征，归纳出所有顶点式二次函数的通用性质. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）符号误区： 识别h时必须对照标准式y=a(x-h)²+k，x+h实际对应h为负数，极易判断平移方向错误； （2）平移误区： 混淆横、纵向平移对应的参数，h管左右、k管上下，不可混淆； （3）性质误区： 忽略a的正负直接判断增减性、最值； （4）顶点误区： 顶点坐标是(h,k)，切勿直接带入解析式中的符号写错坐标. 课后练习 2.分别在同一平面直角坐标系中，画出下列各组二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点: （3）y = 2(x + )2－ 5， y = 2(x－ )2 + 1. 习题 26.2 课本p44页 O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 –2 –1 （3） y = 2(x + )2－ 5对称轴是 x = -， 顶点是 (-，-5) y = 2(x－ )2 + 1对称轴是 x = ， 顶点是 (，1) 课后练习 已知二次函数与的一些对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 0 5 … (1)求此二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． （1）解：由表格可知此二次函数的顶点为 设此二次函数解析式为 ∵二次函数经过， ∴， 解得： ∴此二次函数解析式为 探究性作业 课后练习 已知二次函数与的一些对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 0 5 … (1)求此二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． （2）由（1）得： ， 当时，函数有最小值为， ， 当时，取最大值为 当时， y的取值范围是． 探究性作业 谢谢聆听 $