6.1 几何图形（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中几何图形初步核心知识，系统梳理几何图形分类（平面与立体）、点线面体动态静态关系，以及三视图、展开图、截面与旋转体等空间转化内容，构建从基础概念到实际应用的递进式学习支架。 资料设计突出随学随练及时巩固，题型分类细致（如正方体11种展开图、截面边数规律），结合汽车雨刷、烟花轨迹等生活实例，培养学生空间观念与几何直观，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第六章 几何图形初步 6.1 几何图形 课标要点 画出简单几何体的三视图；由三视图还原简单立体； 掌握正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面展开图； 能裁剪、折叠展开图，建立空间观念。 学习重难点 重点： 分清平面图形与立体图形，能识别棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等常见几何体。 掌握点、线、面、体静态与动态关系：点动成线、线动成面、面动成体；面交得线、线交得点。 会识别几何体三视图与正方体展开图，实现立体图形和平面图形相互转化。 难点： 建立空间观念，根据三视图还原立体图形，或由立体准确画出三视图。 判断各类展开图能否折成正方体，理解立体表面展开后平面图形的对应位置。 区分旋转形成的立体图形，准确判断平面图形旋转一周得到的几何体。 知识点 核心概念 1. 几何图形的定义： 从现实物体中抽象出的各种形状统称为几何图形，是几何学研究的基本对象，研究几何图形只关注其形状、大小和位置关系，不涉及颜色、质量、材质等非几何属性。 2. 几何图形的分类： 几何图形根据维度和存在形式，分为平面图形和立体图形两大类： 平面图形：所有点都在同一个平面内的几何图形 ， 二维存在，只有面积没有体积 常见平面图形： 三角形、圆、长方形、平行四边形 立体图形 ：各部分不都在同一个平面内的几何图形，三维存在，有表面积也有体积 常见立体图形：正方体、圆柱、圆锥、球 特别提醒 区分平面与立体图形：平面图形仅占二维平面（长方形、圆）；立体图形占有空间（正方体、圆柱），存在棱、顶点、曲面。 平面图形只有周长面积，立体图形才有表面积与体积，不可混用公式。 随学随练 1．下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下面几何图形中，不属于平面图形的是（    ） A．圆 B．正方形 C．圆锥 D．五角星 3．下列图形中，属于立体图形的有（    ）个 （1）正方形；（2）圆；（3）棱柱；（4）圆锥；（5）六边形 A．1 B．2 C．3 D．4 4．图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 知识点 点、线、面、体的关系 点、线、面、体是构成几何图形的基本元素，四者之间存在逐级构成的动态关系。 1. 基本定义 · 点：几何图形最基本的组成单位，只表示位置，没有大小（即没有长度、宽度、厚度）。例如，多边形的顶点、线段的端点都是点。 · 线：点运动形成的轨迹，分为直线和曲线两类，只有长度，没有宽度和厚度。 · 面：线运动形成的轨迹，分为平面和曲面两类，有长和宽，没有厚度，是围成体的边界。 · 体：面运动形成的轨迹，占据三维空间，有长度、宽度、高度，也就是我们所说的立体图形。 2. 核心运动关系 点动成线，线动成面，面动成体： 1. 点动成线：笔尖在纸上移动画出线，流星划过天空留下的轨迹，都说明了点运动形成线。 2. 线动成面：汽车雨刮器摆动扫过玻璃形成扇形面，长方形绕一边旋转形成圆柱侧面，都说明了线运动形成面。 3. 面动成体：直角三角形绕一条直角边旋转形成圆锥，半圆绕直径旋转形成球，都说明了面运动形成体。 3. 静态构成关系 任何立体图形都由面围成，面与面相交得到线，线与线相交得到点： 1. 体由面围成：例如正方体由6个正方形平面围成，圆柱由2个圆形平面和1个曲面围成。 2. 面与面相交成线：正方体相邻两个平面相交得到棱（直线），圆柱的底面和侧面相交得到圆（曲线）。 特别提醒 面没有厚度，这是很多初学者容易混淆的点，一张纸看起来有厚度，但几何中把纸面看作是没有厚度的平面，纸本身才是有厚度的几何体。 随学随练 1．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 2．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 3．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 4．流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 5．诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． 知识点 平面图形核心知识点 常见平面图形分类： · 多边形：由线段首尾顺次相接围成的封闭图形，按照边数分为三角形（3边）、四边形（4边）、五边形（5边）……n边形有n条边、n个顶点，内角和为$(n-2)×180°$。 · 圆形：由曲线围成的封闭图形，没有顶点。 · 其他：扇形、弓形等由曲线和线段共同围成的图形。 平面图形与立体图形的联系 1. 立体图形的表面包含平面图形，我们绘制立体图形的视图（三视图、展开图）本质都是得到平面图形。例如正方体的每个面都是正方形，圆柱的两个底面都是圆形。 2. 很多立体图形可以展开为平面展开图，同一个立体图形按不同方式展开可以得到不同的平面展开图，平面展开图折叠后还原为原立体图形。 特别提醒 不是所有立体图形都有平面展开图，球体无法展开为平面图形。 随学随练 1．将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 2．如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． 3．如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图是（     ） A． B． C． D． 4．用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 知识点 立体图形核心知识点 1. 常见立体图形分类 类别 定义 常见例子 柱体 有两个互相平行且全等的底面，分为棱柱和圆柱 正方体、长方体都是四棱柱，圆柱 锥体 只有一个底面和一个顶点，分为棱锥和圆锥 三棱锥、圆锥 台体 用平行于锥体底面的平面截去锥体顶部得到的图形，分为棱台和圆台 四棱台、圆台 球体 半圆绕直径旋转一周形成的封闭曲面围成的立体，所有点到球心距离相等 篮球、足球对应的几何图形就是球 2. 棱柱的核心知识点 棱柱是考试中最常见的立体图形，核心要点整理： · 命名规则：按照底面多边形的边数命名，底面是n边形的棱柱称为n棱柱。 · 点线面数量规律：n棱柱有2n个顶点，3n条棱（其中n条侧棱），(n+2)个面（其中n个侧面、2个底面）。 · 特征：所有侧棱长度相等，侧面都是平行四边形，直棱柱的侧面都是长方形。 3. 常见立体图形的展开图 掌握常见立体图形展开图，是解决折叠类题目的基础： 1. 正方体展开图：一共11种基本类型，可以分为四类： · 1-4-1型：中间4个正方形作侧面，上下各1个作上下底面，共6种； · 1-3-2型：中间3个正方形作侧面，共3种； · 2-2-2型：每行各2个正方形，阶梯形排列，仅1种； · 3-3型：两行各3个正方形，仅1种。 2. 长方体展开图：相对的面在展开图中不相邻，且一般间隔一个面。 3. 圆柱展开图：两个圆形（底面）加一个长方形（侧面），长方形的长等于底面圆的周长。 4. 圆锥展开图：一个圆形（底面）加一个扇形（侧面）。 特别提醒 正方体和长方体都是特殊的四棱柱，正方体所有棱长都相等，长方体的每个面都是长方形（可能有两个相对面是正方形）。 正方体展开图中，如果出现“田字形”“凹字形”结构，一定不能折叠成正方体，这是判断错误展开图的核心依据，考试中高频考察。 随学随练 1．下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 2．有一个棱柱由5个面围成，那么它有（     ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 3．一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是（    ） A． B． C． D． 4．如图是一个几何体的展开图，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 5．图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 拓展 探究平面图形与立体图形的投影、截面规律 关联本质的深度归纳 平面图形和立体图形不是独立的两类图形，而是可以通过截面实现相互转化，转化过程中存在稳定的规律： 1. 截面图形的边数规律：用一个平面去截一个n面体，截面的边数最多等于几何体的面数。因为平面每和一个面相交就会产生一条交线，也就是截面的一条边，因此截面边数≤几何体面数。例如：正方体有6个面，截面最多是六边形，不可能出现七边形；三棱锥有4个面，截面最多是四边形。进一步延伸，对于凸多面体，截面边数k满足：3 ≤ k ≤ 面数，当平面同时和几何体所有面都相交时，就能得到边数等于面数的截面。 2. 三视图的还原规律：三视图中，主视图反映几何体的长和高，俯视图反映长和宽，左视图反映宽和高，因此“长对正、高平齐、宽相等”是基本投影规律。进一步探究可发现：若俯视图有m个小正方形，说明几何体底层最少有m个小正方体；主视图某一列高度为k，说明几何体该列最高层有k个；结合主视图和俯视图，最多小正方体个数是每一列最高层数乘对应列数，最少个数是保留每一列最高层，其余位置只保留底层。 3. 展开图的重构规律：多面体展开图中，相对面不相邻、相邻面共边。对于正方体展开图，可总结出“同行同列隔一个是对面”的规律：“1-4-1”型中，四个中间行的相对面满足隔一个相对，上下两个面互为相对面；“2-3-1”型中，三个中间行隔一个相对，剩余两个错开的面互为相对面，符合这个规律的展开图才能折叠成正方体，不符合的“凹”“田”字型都无法折叠。 典型探究问题 1. 用一个平面截正方体，能不能得到等边三角形？能不能得到直角三角形？能不能得到五边形？说明理由。 2. 一个几何体由若干个相同的小正方体搭成，俯视图是3行3列共9个正方形，主视图第一列高度为2，其余列高度为1，请问搭这个几何体最少和最多各需要多少个小正方体？ 活学活用 1．用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 2．用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 3．一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（    ） A．7或8 B．8或9 C．7或8或9 D．7或8或9或10 4．在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 5．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 题型 立体图形与平面图形的分类识别 解题贴士 1. 核心概念区分：立体图形是各部分不都在同一平面内的几何图形，常见的有长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等；平面图形是各部分都在同一平面内的几何图形，常见的有三角形、圆、正方形、长方形、平行四边形等。 2. 分类标准牢记：严格按照"各部分是否都在同一平面内"判断，不要被图形的绘制效果误导，比如画在纸上的长方体依然是立体图形，因为它的各个顶点不在同一个平面。 3. 答题技巧：答题时先把所有图形逐个判断，标记后再整理分类，避免漏数漏选。 ▌例1 在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（    ） A． B． C． D． ▌例2．下列几何图形中，属于平面图形的是（    ） A．圆柱 B．四棱锥 C．圆锥 D．圆形 ▌对点练1-1以下图形中，不是平面图形的是（   ） A．线段 B．角 C．圆柱 D．圆 ▌对点练1-2．下面几种几何图形中，属于立体图形的是（   ） ①三角形                ②长方形                ③正方体                ④圆        ⑤圆柱 A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．③⑤ ▌对点练1-3．下列各组图形都是平面图形的是（   ） A．三角形、球、圆柱 B．点、线、面、体 C．角、三角形、四边形、圆 D．点、相交线、线段、正方体 题型 从不同方向看立体图形 解题贴士 1. 常见几何体三视图牢记： · 正方体：三个方向看都是正方形； · 球：三个方向看都是圆； · 圆柱：正面、左面看是长方形，上面看是圆； · 圆锥：正面、左面看是等腰三角形，上面看是圆（带圆心）； 2. 堆积体小正方体个数计算方法：已知俯视图时，可在俯视图每个方格上标注对应位置的小正方体层数，再相加得到总数；画三视图时遵循"长对正、高平齐、宽相等"的原则，看得见的棱用实线，看不见的棱用虚线，不要漏画看不见的轮廓。 3. 遇到不规则组合体，可分层从每个方向数正方形个数，再结合位置确定图形形状。 ▌例1．如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（     ） A． B． C． D． ▌例2．下面摆放的几何体中，有一个几何体从正面与从上面看到的形状图不一样，这个几何体是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．下面四个几何体中，从正面看是三角形的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．如图为某个几何体从左面看到的形状，则该几何体不可能为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．如图是用同样大小的正方体搭成的模型，（     ）是从上面看到的模型的形状． A． B． C． D． 题型 立体图形的展开图 解题贴士 1. 记住正方体展开图的规律：正方体展开图共11种基本类型，可总结为口诀："一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面"。"一线不过四"指一条直线上的正方形不会超过四个，超过四个的都不能折叠成正方体；"田凹应弃之"如果展开图出现"田"字形或"凹"字形，一定不是正方体的展开图；"相间、Z端是对面"指展开图中，中间隔一个正方形的两个面是相对面，Z字形两端的两个面也是相对面。 2. 相邻面与相对面判断技巧：折叠展开图时，相邻面一定有公共边，相对面没有公共边，也不会相邻，遇到带图案的正方体展开图，可通过图案的位置关系判断选项是否正确。 3. 常见几何体展开图记牢：圆柱展开图是两个圆加一个长方形；圆锥展开图是一个圆加一个扇形；三棱柱展开图是两个三角形加三个长方形；四棱锥展开图是一个四边形加四个三角形。 ▌例1把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 ▌例2如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3在一次“我是小小秩序员”设计活动中，希希同学设计了一个圆柱形的路障柱，它的表面展开图可能是（     ） A． B． C． D． 题型 点、线、面、体的关系判断 解题贴士 基本关系牢记：体由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点，点是构成图形的最基本元素。运动关系：点动成线（比如雨滴下落形成线，笔尖画线）、线动成面（比如汽车雨刷转动扫过扇形区域，长方形绕一边转动形成圆柱）、面动成体（比如直角三角形绕直角边旋转得到圆锥）。 ▌例1钢笔在纸上书写出字，是属于______的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线段最短 ▌例2汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 ▌对点练1-1如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 ▌对点练1-2“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 ▌对点练1-3下列现象对应的数学原理描述错误的是（   ） A．流星划过夜空留下光迹——点动成线 B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面——线动成面 C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体——面动成体 D．铅笔在纸上写字留下笔画——线动成面 题型 立体图形的表面积与体积 解题贴士 1. 拼接问题规律：每拼接一次，两个立体图形就会减少2个重合面的面积，所以拼接后总表面积=原来各个小立体图形表面积之和-2×重合面面积和，拼接次数越多，减少的面积越多。 2. 切割问题规律：每切割一次，就会增加2个切面的面积，切割次数=切的刀数，所以表面积增加量=2×切面面积×切割次数，沿平行于底面切割，增加的是两个底面的面积，沿平行于侧面切割增加的是两个侧面的面积。 3. 如果是正方体切成多个小正方体，记住棱长扩大n倍，表面积扩大n²倍，体积扩大n³倍。 牢 ▌例1如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． ▌例2一个立体图形从不同方向看到的平面图形如图所示，则该立体图形的表面积S是________（结果保留π）． ▌对点练1-1如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)求该几何体的表面积（结果保留） (2)求该几何体的体积（结果保留）． (3)和这个圆柱等底等高的圆锥体积是 ． ▌对点练1-2小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示． (1)写出该几何体的名称___________． (2)根据图中标注的尺寸（单位：），求这个包装盒的体积． ▌对点练1-3画出如图所示的底面为直角三角形的直棱柱的表面展开图，并计算它的侧面积和表面积． 题型 立体图形的分类 解题贴士 1. 分类分清两大类：多面体（长方体、正方体、棱柱、棱锥，全是平面面）；旋转体（圆柱、圆锥、球，含曲面）。 2. 识图抓核心特征：看面、棱、顶点判断类型；有曲面必归旋转体，全平面是多面体。 解 ▌例1下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌例2下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ ▌对点练1-1下列小明的积木玩具抽象图中，是四棱柱的是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-2下列几何体的命名不正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3下列几何体中，三棱锥是（   ） A． B． C． D． 题型 正方体的展开图 解题贴士 1. 牢记禁忌形状：展开图不能出现“田”“凹”“7”字形，这类一律折不成正方体。 2. 区分四大基础类型：一四一、一三二、三三、二二二，只有这四种合规展开样式。 3. 找相对面窍门：同行隔一个，异行隔一列，相对面折叠后永不相邻。 4. 相邻面判断：有公共边/公共顶点的是相邻面，可用来排除错误选项。 解 ▌例1下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． ▌例2母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中，小丽可以选择的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“州”字一面的相对面上的字是（     ） A．中 B．国 C．酒 D．城 ▌对点练1-2如图是一个无盖正方体收纳盒，其侧面有一个标签，则此收纳盒平面展开图可以是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 题型 截一个几何体 解题贴士 1. 截面形状由切割角度、几何体类型共同决定，平行于面切得同形状，斜切会变多边形。 2. 含曲面几何体（圆柱、圆锥、球），截面只会出现曲线、圆、椭圆，不可能切出尖角多边形。 3. 多面体截面边数最多等于面数，正方体最多截出六边形，不会出现七边形及以上。 4. 快速排除法：出现曲面图形、边数超上限、角度明显矛盾的截面直接排除。 解 ▌例1科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． ▌例2给出下列几何体：①长方体；②圆柱；③三棱锥；④圆锥；⑤球体．用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②⑤ D．①③ ▌对点练1-1某棱柱共有个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2某校在数学学科节活动中，展出了一个密闭正方体形状的冰块流沙砖，将流沙砖任意放置时，流沙面形状不可能是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3某棱柱共有12个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面不可能是（   ） A．九边形 B．五边形 C．三角形 D．八边形 题型 平面图形旋转后所得的立体图形 解题贴士 1. 找准旋转轴：确定平面图形绕哪条直线旋转，轴不动，其余边线绕轴转成曲面或圆。 2. 基础图形对应记忆：长方形绕一边转圆柱，直角三角形绕直角边转圆锥，半圆绕直径转球。 3.看图形与轴距离：线段平行轴转出圆柱侧面，垂直轴转出圆，斜着转出曲面。 4. 组合图形拆分法：把复合平面拆成长方形、三角形等基础图形，分开判断旋转体再合并。 解 ▌例1将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱的是（     ） A． B． C． D． ▌例2下面各图中，以虚线为轴旋转，可以得到圆锥的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3考考你的想象力 如下三个图形，若沿着虚线旋转一周，则分别形成了什么物体？ 基础通关 1．下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 2．唐代诗人王维的《田园乐七首·其六》，格律工整、意境空灵，是六绝的巅峰范本．如图，先将其中的一句“柳绿更带朝烟”书写在正方体的展开图上，再将它折叠成正方体，与“绿”字所在的面相对的面上的字是（     ） A．“更” B．“带” C．“朝” D．“烟” 3．如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 4．如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．四棱锥 5．一个几何体的展开图如图所示，则这个几何体是（     ） A．圆 B．圆柱 C．圆锥 D．棱柱 6．分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 7．如图所示的几何体从正面看到的平面图形是（     ） A． B． C． D． 8．如图所示的手工编织帽，其形状可抽象成圆锥，它的侧面展开图可能是（     ） A． B． C． D． 9．将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 10．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 11．一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成，从正面、上面、左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体中小立方块的个数有_____个． 12．如图，长为28，宽为16的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子的体积是______． 13．如图所示，由个相同的小正方体组合成一个立体图形，请画出分别从正面、左面和上面看到这个几何体的形状图． 14．如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 15．想一想，连一连． 素养提升 1．把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，去掉一个方块可以拼成一个正方体盒子，共有几种方法（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 3．长方形的长是20cm，宽是10cm．绕它的一边所在直线旋转所得的圆柱体的体积是_____．（结果保留π） 4．将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则________． 5．如图，已知一个正方体展开图的六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是___________． 6．如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 7．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． (1)x，z 各表示多少？ (2)y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 8．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 9．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 10．如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成． (1)请在网格中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)在这个几何体中，当去掉一个小正方体________时，剩余部分从上面看到的形状没有改变（填写图中小正方体的序号）；如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 迁移创新 1．【项目式学习】根据素材，探索完成任务： 材料：十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着一个关系式，被称为欧拉公式，其实，你也可以做到！ 名称 四面体 三棱柱 正八面体 正十二面体 图形 顶点数V 4 6 6 20 面数F 4 5 8 12 棱数E 6 9 12 30 (1)任务一：通过表格，你发现简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是______________________________； (2)任务二：某设计师创作了一款多面体形状的灯具，已知它的面数比顶点数多10，且棱数比面数多8，求这个多面体的面数； (3)任务三：如图，有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮的是正五边形，白皮的是正六边形．它们的边长都相等并且每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形周围又连着3个正五边形和3个正六边形，求正五边形和正六边形的个数． 2．综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为________（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为________（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成2个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系________=________ ②求长方体纸盒的容积． (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？________（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． (4)请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 6.1 几何图形 课标要点 画出简单几何体的三视图；由三视图还原简单立体； 掌握正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面展开图； 能裁剪、折叠展开图，建立空间观念。 学习重难点 重点： 分清平面图形与立体图形，能识别棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等常见几何体。 掌握点、线、面、体静态与动态关系：点动成线、线动成面、面动成体；面交得线、线交得点。 会识别几何体三视图与正方体展开图，实现立体图形和平面图形相互转化。 难点： 建立空间观念，根据三视图还原立体图形，或由立体准确画出三视图。 判断各类展开图能否折成正方体，理解立体表面展开后平面图形的对应位置。 区分旋转形成的立体图形，准确判断平面图形旋转一周得到的几何体。 知识点 核心概念 1. 几何图形的定义： 从现实物体中抽象出的各种形状统称为几何图形，是几何学研究的基本对象，研究几何图形只关注其形状、大小和位置关系，不涉及颜色、质量、材质等非几何属性。 2. 几何图形的分类： 几何图形根据维度和存在形式，分为平面图形和立体图形两大类： 平面图形：所有点都在同一个平面内的几何图形 ， 二维存在，只有面积没有体积 常见平面图形： 三角形、圆、长方形、平行四边形 立体图形 ：各部分不都在同一个平面内的几何图形，三维存在，有表面积也有体积 常见立体图形：正方体、圆柱、圆锥、球 特别提醒 区分平面与立体图形：平面图形仅占二维平面（长方形、圆）；立体图形占有空间（正方体、圆柱），存在棱、顶点、曲面。 平面图形只有周长面积，立体图形才有表面积与体积，不可混用公式。 随学随练 1．下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形的定义 ，立体图形的定义，理解平面图形和立体图形的定义是解题的关键．根据平面图形的定义回答即可． 【详解】解：选项A是长方形，长方形是平面图形； 选项B是球体，球是立体图形； 选项C是长方体，长方体是立体图形； 选项D是三棱柱，三棱柱是立体图形； 故选：A． 2．下面几何图形中，不属于平面图形的是（    ） A．圆 B．正方形 C．圆锥 D．五角星 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形的定义，几何图形分为立体图形和平面图形，各部分不在同一平面内的图形叫做立体图形；各部分都在同一平面内的图形叫做平面图形．点、直线、线段、射线、三角形、四边形等为平面图形；长方体、球体、圆锥等为立体图形． 根据几何图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．圆的各部分都在同一平面内，是平面图形； B．正方形的各部分都在同一平面内，是平面图形； C．圆锥各部分不在同一平面内，是立体图形，不是平面图形； D．五角星的各部分都在同一平面内，是平面图形； 故选：C． 3．下列图形中，属于立体图形的有（    ）个 （1）正方形；（2）圆；（3）棱柱；（4）圆锥；（5）六边形 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形与平面图形的识别﹒立体图形是三维图形，具有长度、宽度和高度；平面图形是二维图形，只有长度和宽度，据此逐个判断即可求解﹒ 【详解】解：正方形是平面图形，圆是平面图形，棱柱是立体图形，圆锥是立体图形，六边形是平面图形﹒ 故选：B 4．图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是认识平面图形，解题关键是掌握长方形的特征以及周长、面积的定义． 根据面积、周长的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，图甲的面积与图乙的面积和是长方形的面积，但图甲、图乙的面积不一定相等，图甲、图乙的周长都等于长方形的长、宽与曲线对角线的和，即它们的周长相等． 故选：． 知识点 点、线、面、体的关系 点、线、面、体是构成几何图形的基本元素，四者之间存在逐级构成的动态关系。 1. 基本定义 · 点：几何图形最基本的组成单位，只表示位置，没有大小（即没有长度、宽度、厚度）。例如，多边形的顶点、线段的端点都是点。 · 线：点运动形成的轨迹，分为直线和曲线两类，只有长度，没有宽度和厚度。 · 面：线运动形成的轨迹，分为平面和曲面两类，有长和宽，没有厚度，是围成体的边界。 · 体：面运动形成的轨迹，占据三维空间，有长度、宽度、高度，也就是我们所说的立体图形。 2. 核心运动关系 点动成线，线动成面，面动成体： 1. 点动成线：笔尖在纸上移动画出线，流星划过天空留下的轨迹，都说明了点运动形成线。 2. 线动成面：汽车雨刮器摆动扫过玻璃形成扇形面，长方形绕一边旋转形成圆柱侧面，都说明了线运动形成面。 3. 面动成体：直角三角形绕一条直角边旋转形成圆锥，半圆绕直径旋转形成球，都说明了面运动形成体。 3. 静态构成关系 任何立体图形都由面围成，面与面相交得到线，线与线相交得到点： 1. 体由面围成：例如正方体由6个正方形平面围成，圆柱由2个圆形平面和1个曲面围成。 2. 面与面相交成线：正方体相邻两个平面相交得到棱（直线），圆柱的底面和侧面相交得到圆（曲线）。 特别提醒 面没有厚度，这是很多初学者容易混淆的点，一张纸看起来有厚度，但几何中把纸面看作是没有厚度的平面，纸本身才是有厚度的几何体。 随学随练 1．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 2．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的动态转化关系，需结合雨刷的运动形式判断对应数学原理． 【详解】解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净， 用数学知识解释为线动成面． 3．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【答案】点动成线，线动成面 【分析】根据点、线、面的运动关系，将生活实物抽象为几何图形，结合点动成线、线动成面的性质分析即可． 【详解】解：枪尖可看作点，点运动形成线，因此“枪挑一条线”对应点动成线； 棍可看作线，线运动形成面，因此“棍扫一大片”对应线动成面． 4．流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点、线、面之间的关系，将流星视为一个点，其运动轨迹形成一条线，根据点、线、面、体的关系，点移动生成线，因此用“点动成线”解释． 【详解】解：流星在夜空中可抽象为一个点，当点移动时，其轨迹形成一条连续的线，即光带，这符合几何中点动成线的原理． 故答案为：点动成线． 5．诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． 【答案】 点动成线 【分析】本题主要考查了“点线面体”的关系， 根据点、线、面、体的运动关系，雨滴可视为点，散丝表示线，点移动形成线． 【详解】解：诗句“密雨如散丝”中，雨滴是点，散丝是线，数学原理是点动成线． 故答案为：点动成线． 知识点 平面图形核心知识点 常见平面图形分类： · 多边形：由线段首尾顺次相接围成的封闭图形，按照边数分为三角形（3边）、四边形（4边）、五边形（5边）……n边形有n条边、n个顶点，内角和为$(n-2)×180°$。 · 圆形：由曲线围成的封闭图形，没有顶点。 · 其他：扇形、弓形等由曲线和线段共同围成的图形。 平面图形与立体图形的联系 1. 立体图形的表面包含平面图形，我们绘制立体图形的视图（三视图、展开图）本质都是得到平面图形。例如正方体的每个面都是正方形，圆柱的两个底面都是圆形。 2. 很多立体图形可以展开为平面展开图，同一个立体图形按不同方式展开可以得到不同的平面展开图，平面展开图折叠后还原为原立体图形。 特别提醒 不是所有立体图形都有平面展开图，球体无法展开为平面图形。 随学随练 1．将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：原图形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是． 2．如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从前面看到的图形解答即可． 【详解】解：从前面看，是上面小下面大的两个长方形，上面长方形中间有一条竖直的线段， ∴四个选项中，只有A选项符合题意． 3．如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将一个无上底面的纸杯沿侧面展开，它的侧面展开图是： 4．用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截的正方体，可以得到三角形，正方形，矩形， ∴截面形状不可能是圆 ． 知识点 立体图形核心知识点 1. 常见立体图形分类 类别 定义 常见例子 柱体 有两个互相平行且全等的底面，分为棱柱和圆柱 正方体、长方体都是四棱柱，圆柱 锥体 只有一个底面和一个顶点，分为棱锥和圆锥 三棱锥、圆锥 台体 用平行于锥体底面的平面截去锥体顶部得到的图形，分为棱台和圆台 四棱台、圆台 球体 半圆绕直径旋转一周形成的封闭曲面围成的立体，所有点到球心距离相等 篮球、足球对应的几何图形就是球 2. 棱柱的核心知识点 棱柱是考试中最常见的立体图形，核心要点整理： · 命名规则：按照底面多边形的边数命名，底面是n边形的棱柱称为n棱柱。 · 点线面数量规律：n棱柱有2n个顶点，3n条棱（其中n条侧棱），(n+2)个面（其中n个侧面、2个底面）。 · 特征：所有侧棱长度相等，侧面都是平行四边形，直棱柱的侧面都是长方形。 3. 常见立体图形的展开图 掌握常见立体图形展开图，是解决折叠类题目的基础： 1. 正方体展开图：一共11种基本类型，可以分为四类： · 1-4-1型：中间4个正方形作侧面，上下各1个作上下底面，共6种； · 1-3-2型：中间3个正方形作侧面，共3种； · 2-2-2型：每行各2个正方形，阶梯形排列，仅1种； · 3-3型：两行各3个正方形，仅1种。 2. 长方体展开图：相对的面在展开图中不相邻，且一般间隔一个面。 3. 圆柱展开图：两个圆形（底面）加一个长方形（侧面），长方形的长等于底面圆的周长。 4. 圆锥展开图：一个圆形（底面）加一个扇形（侧面）。 特别提醒 正方体和长方体都是特殊的四棱柱，正方体所有棱长都相等，长方体的每个面都是长方形（可能有两个相对面是正方形）。 正方体展开图中，如果出现“田字形”“凹字形”结构，一定不能折叠成正方体，这是判断错误展开图的核心依据，考试中高频考察。 随学随练 1．下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．几何体是圆锥，故此选项不符合题意； B． 几何体是三棱锥，故此选项符合题意； C． 几何体是三棱柱，故此选项不符合题意； D． 几何体是圆柱，故此选项不符合题意． 2．有一个棱柱由5个面围成，那么它有（     ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 【答案】B 【详解】解：∵任意棱柱都有2个底面， ∴该棱柱的侧面数量为，即该棱柱为三棱柱． ∵三棱柱的上下底面各有3条棱，侧面有3条棱， ∴总棱数为条． 3．一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱柱顶点个数可确定棱柱的侧棱数量，结合棱柱侧棱长都相等的性质，即可计算得到每条侧棱长． 【详解】解：∵棱柱有10个顶点，n棱柱的总顶点数为， ∴可得， 解得， 即该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱， ∵棱柱的所有侧棱长都相等，所有侧棱长的和为， ∴每条侧棱长为． 4．如图是一个几何体的展开图，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察题干展开图的构成，确定图形包含一个长方形和两个等大的圆形，逐一对照选项中的几何体，筛选出符合上述展开图特征的选项即可． 【详解】解：观察题干展开图的构成，确定图形包含一个长方形和两个等大的圆形， 选项A是圆锥：圆锥展开图是1个扇形+1个圆，不符合题意； 选项B是三棱柱：三棱柱展开图是3个长方形+2个三角形，不符合题意； 选项C是圆柱：和展开图特征匹配，符合； 选项D是四棱柱（长方体/正方体）：展开图由6个四边形组成，不符合题意． 5．图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的模型逐个判断即可． 【详解】解：对于（1），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（2），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（3），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（4），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（5），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（6），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（7），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（8），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 综上，是正方体展开图的一共有5个． 拓展 探究平面图形与立体图形的投影、截面规律 关联本质的深度归纳 平面图形和立体图形不是独立的两类图形，而是可以通过截面实现相互转化，转化过程中存在稳定的规律： 1. 截面图形的边数规律：用一个平面去截一个n面体，截面的边数最多等于几何体的面数。因为平面每和一个面相交就会产生一条交线，也就是截面的一条边，因此截面边数≤几何体面数。例如：正方体有6个面，截面最多是六边形，不可能出现七边形；三棱锥有4个面，截面最多是四边形。进一步延伸，对于凸多面体，截面边数k满足：3 ≤ k ≤ 面数，当平面同时和几何体所有面都相交时，就能得到边数等于面数的截面。 2. 三视图的还原规律：三视图中，主视图反映几何体的长和高，俯视图反映长和宽，左视图反映宽和高，因此“长对正、高平齐、宽相等”是基本投影规律。进一步探究可发现：若俯视图有m个小正方形，说明几何体底层最少有m个小正方体；主视图某一列高度为k，说明几何体该列最高层有k个；结合主视图和俯视图，最多小正方体个数是每一列最高层数乘对应列数，最少个数是保留每一列最高层，其余位置只保留底层。 3. 展开图的重构规律：多面体展开图中，相对面不相邻、相邻面共边。对于正方体展开图，可总结出“同行同列隔一个是对面”的规律：“1-4-1”型中，四个中间行的相对面满足隔一个相对，上下两个面互为相对面；“2-3-1”型中，三个中间行隔一个相对，剩余两个错开的面互为相对面，符合这个规律的展开图才能折叠成正方体，不符合的“凹”“田”字型都无法折叠。 典型探究问题 1. 用一个平面截正方体，能不能得到等边三角形？能不能得到直角三角形？能不能得到五边形？说明理由。 2. 一个几何体由若干个相同的小正方体搭成，俯视图是3行3列共9个正方形，主视图第一列高度为2，其余列高度为1，请问搭这个几何体最少和最多各需要多少个小正方体？ 活学活用 1．用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截的正方体，可以得到三角形，正方形，矩形， ∴截面形状不可能是圆 ． 2．用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：长方体是由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，用一个平面去截长方体，其截面边缘是由直线段组成的，因此截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故A不符合题意； 选项B：该几何体是由两个三角形底面和三个长方形侧面围成的立体图形，用一个平面去截三棱柱，其截面边缘也是由直线段组成的，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形），不可能是圆形，故B不符合题意； 选项C：圆锥是由一个扇形侧面和一个圆形底面围成的立体图形，当用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥时，截面是一个圆，故C符合题意； 选项D：正方体是由六个正方形围成的立体图形，用一个平面去截正方体，其截面边缘由直线段组成，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故D不符合题意． 3．一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（    ） A．7或8 B．8或9 C．7或8或9 D．7或8或9或10 【答案】D 【分析】正方体原有8个顶点，根据切割面经过原正方体顶点的不同情况分类讨论，即可得到剩下几何体的顶点个数． 【详解】解：∵正方体原有8个顶点，切掉一个角可分4种情况讨论， ①当切割面经过原正方体的3个顶点时，切掉1个原顶点，无新增顶点， ∴顶点个数为 ； ②当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的两个顶点和第三条棱上的一个非顶点时，切掉1个原顶点，新增1个顶点， ∴顶点个数为 ； ③当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的一个顶点和另外两条棱上的两个非顶点时，切掉1个原顶点，新增2个顶点， ∴顶点个数为 ； ④当切割面与被切掉角所在的三条棱相交于三个非顶点时，切掉1个原顶点，新增3个顶点， ∴顶点个数为 ； ∴剩下几何体顶点的个数是7或8或9或10， 故选：D． 4．在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】B 【分析】根据该几何体从三个方向看到的形状图中所提供的信息进行分析解答即可． 【详解】解：根据从上面看可知，该物体的最下面一层有7个正方体小货箱，由从正面看和从左面看的图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱， ∴组成该物体的正方体小货箱有：（个）． 5．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 【分析】根据从上面看组合体得到的形状图及相应数字可以想象该组合体的空间立体结构，进而得到从正面看与从左面看的形状图． 【详解】略 题型 立体图形与平面图形的分类识别 解题贴士 1. 核心概念区分：立体图形是各部分不都在同一平面内的几何图形，常见的有长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等；平面图形是各部分都在同一平面内的几何图形，常见的有三角形、圆、正方形、长方形、平行四边形等。 2. 分类标准牢记：严格按照"各部分是否都在同一平面内"判断，不要被图形的绘制效果误导，比如画在纸上的长方体依然是立体图形，因为它的各个顶点不在同一个平面。 3. 答题技巧：答题时先把所有图形逐个判断，标记后再整理分类，避免漏数漏选。 ▌例1 在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体和平面图形．根据几何体和平面图形进行甄别即可． 【详解】解：选项中前三个是立体图形，分别是球，长方体，四棱锥； 只有D选项是圆，是平面图形， 故选：D． ▌例2．下列几何图形中，属于平面图形的是（    ） A．圆柱 B．四棱锥 C．圆锥 D．圆形 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形的分类，根据几何图形的分类结合所给几何图形进行分析判断即可． 【详解】解：圆柱、四棱锥、圆锥都是立体图形；圆形是平面图形； 故选：D． ▌对点练1-1以下图形中，不是平面图形的是（   ） A．线段 B．角 C．圆柱 D．圆 【答案】C 【分析】本题考查了平面图形和立体图形的认识．熟悉平面图形与立体图形的特点是解本题的关键．有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形；有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形．根据概念逐一分析即可． 【详解】解：线段、角、圆都在平面内，是平面图形，故A，B，D不符合题意； 圆柱是立体图形，故C符合题意； 故选：C． ▌对点练1-2．下面几种几何图形中，属于立体图形的是（   ） ①三角形                ②长方形                ③正方体                ④圆        ⑤圆柱 A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．③⑤ 【答案】D 【分析】根据几何图形的分类结合所给几何图形进行分析判断即可． 【详解】解：①三角形 ， ②长方形 ，④圆，是平面图形； ③正方体，⑤圆柱，是立体图形． 综上，正确的有③⑤ ． 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟悉“常见几何图形中的平面图形和立体图形”． ▌对点练1-3．下列各组图形都是平面图形的是（   ） A．三角形、球、圆柱 B．点、线、面、体 C．角、三角形、四边形、圆 D．点、相交线、线段、正方体 【答案】C 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，根据平面图形和立体图形的定义逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.球、圆柱是立体图形，故不符合题意； B.体是立体图形，故不符合题意； C.角、三角形、四边形、圆都是平面图形，故符合题意； D.正方体是立体图形，故不符合题意； 故选：C． 题型 从不同方向看立体图形 解题贴士 1. 常见几何体三视图牢记： · 正方体：三个方向看都是正方形； · 球：三个方向看都是圆； · 圆柱：正面、左面看是长方形，上面看是圆； · 圆锥：正面、左面看是等腰三角形，上面看是圆（带圆心）； 2. 堆积体小正方体个数计算方法：已知俯视图时，可在俯视图每个方格上标注对应位置的小正方体层数，再相加得到总数；画三视图时遵循"长对正、高平齐、宽相等"的原则，看得见的棱用实线，看不见的棱用虚线，不要漏画看不见的轮廓。 3. 遇到不规则组合体，可分层从每个方向数正方形个数，再结合位置确定图形形状。 ▌例1．如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由图可知，从上面看的形状图是． ▌例2．下面摆放的几何体中，有一个几何体从正面与从上面看到的形状图不一样，这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、从正面与从上面看到的都是正方形，不符合题意； B、从正面与从上面看到的都是长方形，不符合题意； C、从正面看到的是三角形，从上面看到的是带圆心的圆形，符合题意； D、从正面与从上面看到的都是圆形，不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-1．下面四个几何体中，从正面看是三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、从正面看是三角形，符合题意； B、从正面看是长方形，不符合题意； C、从正面看是圆，不符合题意； D、从正面看是正方形，不符合题意. ▌对点练1-2．如图为某个几何体从左面看到的形状，则该几何体不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：选项A，B，C从左面看到的形状都是：， 而选项D从左面看到的形状为． ▌对点练1-3．如图是用同样大小的正方体搭成的模型，（     ）是从上面看到的模型的形状． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察几何体，确定从上面看到的形状，即俯视图，只需关注底面正方体的排列情况． 【详解】 解：是从上面看到的模型的形状． 题型 立体图形的展开图 解题贴士 1. 记住正方体展开图的规律：正方体展开图共11种基本类型，可总结为口诀："一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面"。"一线不过四"指一条直线上的正方形不会超过四个，超过四个的都不能折叠成正方体；"田凹应弃之"如果展开图出现"田"字形或"凹"字形，一定不是正方体的展开图；"相间、Z端是对面"指展开图中，中间隔一个正方形的两个面是相对面，Z字形两端的两个面也是相对面。 2. 相邻面与相对面判断技巧：折叠展开图时，相邻面一定有公共边，相对面没有公共边，也不会相邻，遇到带图案的正方体展开图，可通过图案的位置关系判断选项是否正确。 3. 常见几何体展开图记牢：圆柱展开图是两个圆加一个长方形；圆锥展开图是一个圆加一个扇形；三棱柱展开图是两个三角形加三个长方形；四棱锥展开图是一个四边形加四个三角形。 ▌例1把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【分析】展开图中有两个相同的三角形，是几何体的底面；三个长方形，连接在三角形的边上，是侧面；据此分析判断几何体的形状即可． 【详解】解：根据展开图，可知该几何体有两个平行的三角形面，且侧面是三个长方形，所以这个几何体是三棱柱． ▌例2如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，一个正方形的底面，四个三角形的侧面， 因此该几何体是四棱锥， 故选：D． ▌对点练1-1下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形，只有A选项符合题意． ▌对点练1-2下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、图形经过折叠可以围成一个棱柱，符合题意； B、底面图形的边数与侧面的个数不一致，不能围成棱柱，不符合题意； C、两个底面图形不一致，不能围成棱柱，不符合题意； D、两个底面都在同一侧，不能围成棱柱，不符合题意． ▌对点练1-3在一次“我是小小秩序员”设计活动中，希希同学设计了一个圆柱形的路障柱，它的表面展开图可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的侧面展开图是长方形，两个底面是圆，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】解： A选项，由一个长方形和两个圆组成，符合圆柱展开图的特征，故A符合题意； B选项，由四个三角形组成，是三棱锥的展开图，故B不符合题意； C选项，由一个扇形和一个圆组成，是圆锥的展开图，故C不符合题意； D选项，由三个长方形和两个三角形组成，是三棱柱的展开图，故D不符合题意． 题型 点、线、面、体的关系判断 解题贴士 基本关系牢记：体由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点，点是构成图形的最基本元素。运动关系：点动成线（比如雨滴下落形成线，笔尖画线）、线动成面（比如汽车雨刷转动扫过扇形区域，长方形绕一边转动形成圆柱）、面动成体（比如直角三角形绕直角边旋转得到圆锥）。 ▌例1钢笔在纸上书写出字，是属于______的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线段最短 【答案】A 【分析】根据点、线、面、体的关系，并结合钢笔书写的实际场景即可解答． 【详解】解：钢笔的笔尖可看作一个点，书写过程中点不断移动，形成线条组成字，即符合点动成线的规律． ▌例2汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的动态转化关系，需结合雨刷的运动形式判断对应数学原理． 【详解】解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净， 用数学知识解释为线动成面． ▌对点练1-1如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键． 汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面． 【详解】解：汽车的雨刮器工作的时候，可用线动成面的数学知识来解释． 故选：B． ▌对点练1-2“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的动态关系，需将雨滴和雨丝抽象为几何图形，结合概念判断即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵雨滴可抽象为点，雨丝可抽象为线， ∴点运动形成线，对应数学原理为点动成线， 故选：A． ▌对点练1-3下列现象对应的数学原理描述错误的是（   ） A．流星划过夜空留下光迹——点动成线 B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面——线动成面 C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体——面动成体 D．铅笔在纸上写字留下笔画——线动成面 【答案】D 【分析】本题考查了点动成线，线动成面，面动成体，理解和掌握点动成线，线动成面，面动成体是解决本题的关键．根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定． 【详解】解：A．流星划过夜空留下光迹，反映的是“点动成线”，本选项正确，故不符合题意； B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面，反映的是“线动成面”，本选项正确，故不符合题意； C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体，反映的是“面动成体”，本选项正确，故不符合题意； D．铅笔在纸上写字留下笔画，反映的是点动成线，本选项错误，故符合题意； 故选：D． 题型 立体图形的表面积与体积 解题贴士 1. 拼接问题规律：每拼接一次，两个立体图形就会减少2个重合面的面积，所以拼接后总表面积=原来各个小立体图形表面积之和-2×重合面面积和，拼接次数越多，减少的面积越多。 2. 切割问题规律：每切割一次，就会增加2个切面的面积，切割次数=切的刀数，所以表面积增加量=2×切面面积×切割次数，沿平行于底面切割，增加的是两个底面的面积，沿平行于侧面切割增加的是两个侧面的面积。 3. 如果是正方体切成多个小正方体，记住棱长扩大n倍，表面积扩大n²倍，体积扩大n³倍。 牢 ▌例1如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积，根据展开图可得该几何体是长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米，据此根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体是一个长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米， ∴这个几何体的表面积是平方米， 故答案为：． ▌例2一个立体图形从不同方向看到的平面图形如图所示，则该立体图形的表面积S是________（结果保留π）． 【答案】 【分析】本题需要先根据三视图判断出立体图形的形状为半圆柱，然后分别计算半圆柱的各个面的面积，最后将它们相加得到表面积． 【详解】由三视图可知，该立体图形是底面半径为，高为的半圆柱。 计算半圆柱的侧面积：圆柱侧面积公式为（为底面半径，为高），半圆柱侧面积为 这里，所以侧面积为 计算两个半圆的面积：圆的面积公式为，两个半圆可组成一个整圆，面积为 计算矩形的面积：矩形的长为，宽为，面积为 计算表面积：将上述各部分面积相加，可得表面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断立体图形以及立体图形表面积的计算，掌握根据三视图确定立体图形的形状，再分别计算各部分的面积并求和是解题的关键． ▌对点练1-1如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)求该几何体的表面积（结果保留） (2)求该几何体的体积（结果保留）． (3)和这个圆柱等底等高的圆锥体积是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查根据展开图求几何体的表面积和体积，熟练掌握圆柱体的表面积和体积的计算公式，圆锥的体积的计算公式是解题的关键： （1）由展开图可知，几何体为圆柱体，根据圆柱体的表面积等于展开图的侧面积加上两个底面圆的面积，进行计算即可； （2）根据圆柱体的体积公式进行计算即可； （3）根据圆柱体和圆锥的体积的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：由展开图可知，几何体为底面直径为4，高为5的圆柱体， ∴表面积为：； （2）圆柱体的体积为： （3）圆锥体的体积为圆柱体体积的，即为． 故答案为： ▌对点练1-2小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示． (1)写出该几何体的名称___________． (2)根据图中标注的尺寸（单位：），求这个包装盒的体积． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】本题主要考查了根据展开图识别几何体，求长方体的体积，熟知长方体的展开图是解题的关键． （1）根据展开图的特点即可得到该几何体为长方体； （2）根据题意可得该长方体的长，宽，高，再根据长方体体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由展开图可知，该几何体是长方体； （2）解：由题意得，该长方体的长为，宽为，高为， ∴这个包装盒的体积为． ▌对点练1-3画出如图所示的底面为直角三角形的直棱柱的表面展开图，并计算它的侧面积和表面积． 【答案】图见解析，侧面积18平方厘米，表面积21平方厘米 【分析】画出展开图，利用侧面积为三个矩形的面积之和，表面积是侧面积加上两个底面积进行计算即可． 【详解】解：展开图为： 侧面积平方厘米． 表面积平方厘米． 【点睛】本题考查棱柱的展开图，以及求棱柱的侧面积和表面积．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，注意表面是侧面积加上底面积的和． 题型 立体图形的分类 解题贴士 1. 分类分清两大类：多面体（长方体、正方体、棱柱、棱锥，全是平面面）；旋转体（圆柱、圆锥、球，含曲面）。 2. 识图抓核心特征：看面、棱、顶点判断类型；有曲面必归旋转体，全平面是多面体。 解 ▌例1下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的分类．柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：正方体是四棱柱，棱柱和圆柱都是柱体，则属于柱体的有3个， ▌例2下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形的分类，掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义即可求解． 【详解】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱；⑦球体． 属于棱柱的有：①③⑥． 故选：C． ▌对点练1-1下列小明的积木玩具抽象图中，是四棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的分类，解题的关键是掌握立体图形的特征，结合图形一一判断即可． 【详解】解：A、是三棱柱，不符合题意； B、是圆柱，不符合题意； C、是四棱柱，符合题意； D、是三棱锥，不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-2下列几何体的命名不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查认识立体图形，熟练掌握立体图形的特征是解题的关键．根据立体图形的特征进行作答即可． 【详解】解：A．本图是圆柱，故本选项不符合题意； B．本图是圆锥，故本选项不符合题意； C．本图是三棱柱，故本选项符合题意； D．本图是三棱锥，故本选项不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-3下列几何体中，三棱锥是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查生活中的立体图形，掌握各种几何体的特征是正确判断的前提．根据各个几何体的特征，得出棱锥的几何体． 【详解】解：选项中的四个几何体的名称分别为：长方体，四棱锥，三棱锥，三棱柱． 故选：C． 题型 正方体的展开图 解题贴士 1. 牢记禁忌形状：展开图不能出现“田”“凹”“7”字形，这类一律折不成正方体。 2. 区分四大基础类型：一四一、一三二、三三、二二二，只有这四种合规展开样式。 3. 找相对面窍门：同行隔一个，异行隔一列，相对面折叠后永不相邻。 4. 相邻面判断：有公共边/公共顶点的是相邻面，可用来排除错误选项。 解 ▌例1下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． ▌例2母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中，小丽可以选择的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图，不能出现“田字格”，“凹字格”，“7字型”． 【详解】解：A.折叠后有面会重叠，不符合题意； B.可折成正方体，符合题意； C.属于“7字型”，不符合题意； D.属于“凹字格”，不符合题意． ▌对点练1-1如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“州”字一面的相对面上的字是（     ） A．中 B．国 C．酒 D．城 【答案】D 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “州”与“城”是对面． ▌对点练1-2如图是一个无盖正方体收纳盒，其侧面有一个标签，则此收纳盒平面展开图可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体的展开与折叠， 将四个选项折叠成正方体，再与原图相比较得出答案即可． 【详解】解：将A图折叠成正方体，与标签相对的面是盒盖，所以不符合题意； 将B图折叠成正方体，与标签相邻的面是盒盖，标签的方向不对，所以不符合题意； 将C图折叠成正方体，与标签相邻的面是盒盖，且方向正确，所以符合题意； 将D图折叠成正方体，与标签相对的面是盒盖，所以不符合题意． 故选：C． ▌对点练1-3如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能 题型 截一个几何体 解题贴士 1. 截面形状由切割角度、几何体类型共同决定，平行于面切得同形状，斜切会变多边形。 2. 含曲面几何体（圆柱、圆锥、球），截面只会出现曲线、圆、椭圆，不可能切出尖角多边形。 3. 多面体截面边数最多等于面数，正方体最多截出六边形，不会出现七边形及以上。 4. 快速排除法：出现曲面图形、边数超上限、角度明显矛盾的截面直接排除。 解 ▌例1科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用平面截取圆柱体，不同截取方式得到不同截面，求解即可； 【详解】解：当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，圆柱直径与高相等时可得正方形截面， 故A是可能的； 平行于圆柱底面截取，可得到圆形截面，故B是可能的； 当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，直径与高不相等时可得长方形截面，故C是可能的，无论怎么用平面截取圆柱，都不可能得到三角形截面，因此截面不可能是三角形； ▌例2给出下列几何体：①长方体；②圆柱；③三棱锥；④圆锥；⑤球体．用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②⑤ D．①③ 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是长方体；三棱锥；圆锥． 即截面的形状可能是三角形的是①③④． ▌对点练1-1某棱柱共有个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用一个平面截几何体的知识，先根据棱柱顶点数确定棱柱类型，再分析截面可能的边数，进而判断选项． 【详解】解：∵某棱柱共有个顶点， ∴该棱柱为棱柱， ∵棱柱有个侧面和个底面，共个面 ∴用一个平面截该棱柱时，截面最多与个面相交，得到边形 ∴截面的边数可能是． 故选：D． ▌对点练1-2某校在数学学科节活动中，展出了一个密闭正方体形状的冰块流沙砖，将流沙砖任意放置时，流沙面形状不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的截面，正方体有六个面，解题的关键是熟练掌握面面相交得到线．用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案． 【详解】解：正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 将流沙砖任意放置时，流沙面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 故不可能出现七边形，可能是三角形、四边形、五边形和六边形． 故选：D． ▌对点练1-3某棱柱共有12个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面不可能是（   ） A．九边形 B．五边形 C．三角形 D．八边形 【答案】A 【分析】本题考查棱柱的有关知识、截一个几何体，熟知n棱柱有个顶点是解题的关键．先根据n棱柱有个顶点判断该棱柱为6棱柱，再依据截n棱柱最多得到边形的截面这一性质，确定截面的可能形状范围，从而找出不可能的截面形状． 【详解】解：∵n棱柱有个顶点，该棱柱共有12个顶点， ∴，解得，即该棱柱是六棱柱， ∵截n棱柱时，截面最多为边形， ∴截六棱柱时，截面最多为边形， ∴截面不可能是九边形， 故选：A． 题型 平面图形旋转后所得的立体图形 解题贴士 1. 找准旋转轴：确定平面图形绕哪条直线旋转，轴不动，其余边线绕轴转成曲面或圆。 2. 基础图形对应记忆：长方形绕一边转圆柱，直角三角形绕直角边转圆锥，半圆绕直径转球。 3.看图形与轴距离：线段平行轴转出圆柱侧面，垂直轴转出圆，斜着转出曲面。 4. 组合图形拆分法：把复合平面拆成长方形、三角形等基础图形，分开判断旋转体再合并。 解 ▌例1将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、绕轴旋转一周可得到一个圆锥，故此选项不符合题意； B、绕轴旋转一周，可得到两个圆锥，故此选项不符合题意； C、绕轴旋转一周，可得到圆柱，故此选项符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到一个球体，故此选项不符合题意． ▌例2下面各图中，以虚线为轴旋转，可以得到圆锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面动成体的原理，判断各选项图形绕轴旋转后形成的立体图形，依据直角三角形绕一条直角边旋转一周得到圆锥的性质，筛选出符合条件的 选项． 【详解】解：A、该直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的是圆锥，符合要求； B、该直角梯形绕直线旋转一周，得到的是圆台，不符合要求； C、该长方形绕直线旋转一周，得到的是圆柱，不符合要求； D、该图形绕直线旋转一周，得到的立体图形不是圆锥，不符合要求． ▌对点练1-1将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各平面图形根据面动成体得出对应的几何体，再判断即可． 【详解】解：将图A绕虚线转一周，可以得到类似于球的几何体，不符合题意； 将图B绕虚线转一周，可以得到类似于圆柱的几何体，不符合题意； 将图C绕虚线转一周，可以得到类似于圆台的几何体，符合题意； 将图D绕虚线转一周，可以得到类似于圆锥的几何体，不符合题意． ▌对点练1-2将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“面动成体”的原理，分析平面图形各部分旋转后形成的立体图形即可． 【详解】解：观察平面图形可知，该图形是一个三角形，且有一条边在旋转轴l上， ∵ 三角形绕其一边所在直线旋转一周，上半部分边旋转形成圆锥侧面，下半部分边旋转形成圆锥侧面， ∴ 得到的立体图形是两个底面重合的圆锥． ▌对点练1-3考考你的想象力 如下三个图形，若沿着虚线旋转一周，则分别形成了什么物体？ 【答案】球、茶杯、葫芦 【分析】由平面图旋转得到立体图形，据此即可解答． 【详解】解：半圆旋转一周得到一个球； 半边茶杯旋转一周得到一个茶杯； 半边葫芦旋转一周得到一个葫芦． 基础通关 1．下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是柱体，不符合题意； B、是锥体，不符合题意； C、是球体，符合题意； D、是锥体，不符合题意． 2．唐代诗人王维的《田园乐七首·其六》，格律工整、意境空灵，是六绝的巅峰范本．如图，先将其中的一句“柳绿更带朝烟”书写在正方体的展开图上，再将它折叠成正方体，与“绿”字所在的面相对的面上的字是（     ） A．“更” B．“带” C．“朝” D．“烟” 【答案】D 【分析】正方体的平面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，利用这一特点即可判断． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形． ∴ 在中间一行中，“柳”与“带”相隔一个“更”，故“柳”与“带”是相对面； “更”与“朝”相隔一个“带”，故“更”与“朝”是相对面． ∴ 剩余的“绿”与“烟”是相对面． 3．如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据题意，阴影正方形面为上面，圆圈正方形面为右面，黑白三角形面为前面，展开图中只有④符合要求； 【详解】解：④符合要求； 4．如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．四棱锥 【答案】A 【分析】根据展开图的面数和形状判断几何体类型，观察图形知，侧面由3个三角形组成，符合三棱锥的特征． 【详解】解：观察图形可知， 该几何体的侧面由共用一个顶点的3个三角形组成，符合三棱锥的特征， ∴该几何体是三棱锥． 5．一个几何体的展开图如图所示，则这个几何体是（     ） A．圆 B．圆柱 C．圆锥 D．棱柱 【答案】B 【详解】解：由展开图可知此几何体为圆柱． 6．分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】解：A．选项图形只有曲面，不符合题意； B．选项图形有曲面也有平面，不符合题意； C．选项图形有曲面也有平面，不符合题意； D．选项图形只有平面，符合题意． 7．如图所示的几何体从正面看到的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，根据图中正方体摆放的位置判定即可． 【详解】解：从正面看共有三列，左边列有两个正方形，中间列有一个正方形，右边列有一个正方形， 即为： ． 8．如图所示的手工编织帽，其形状可抽象成圆锥，它的侧面展开图可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，结合选项即可求解． 【详解】解：观察图形可知， 这个圆锥的侧面展开图可能是：． 9．将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 10．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【答案】点动成线，线动成面 【分析】根据点、线、面的运动关系，将生活实物抽象为几何图形，结合点动成线、线动成面的性质分析即可． 【详解】解：枪尖可看作点，点运动形成线，因此“枪挑一条线”对应点动成线； 棍可看作线，线运动形成面，因此“棍扫一大片”对应线动成面． 11．一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成，从正面、上面、左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体中小立方块的个数有_____个． 【答案】5 【分析】本题考查从不同方面看立体几何图形的平面图形还原立体图形，发挥空间想象能力是解决问题的关键． 从上面看，最底层有4个，从正面看和左面看，第二层有1个，即可得到答案． 【详解】解：从上面看，最底层有4个， 从正面看和左面看，第二层有1个， ∴这个几何体中小立方块的个数有5个． 故答案为：5． 12．如图，长为28，宽为16的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子的体积是______． 【答案】320 【分析】本题考查了长方体的展开图，体积．解题的关键在于根据图形求出长方体的高，底面正方形的边长． 由图可知，长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为，然后求体积即可． 【详解】解：根据题意可知长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为． 则制作成底面为正方形的长方体箱子的体积， 故答案为：320． 13．如图所示，由个相同的小正方体组合成一个立体图形，请画出分别从正面、左面和上面看到这个几何体的形状图． 【答案】图见解析 【分析】分别根据从正面、左面、上面看到该几何体的形状，依次画出图形． 【详解】解：如图所示： 14．如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)长方体 (2)该几何体的体积为，表面积为 【分析】本题主要考查了长方体展开图识别以及长方体体积和表面积的计算． （1）通过展开图的特征，即可判定该几何体是长方体； （2）根据长方体的体积公式和表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：通过展开图的特征，可知该几何体是长方体； （2）长方体的长为：， 体积为； 表面积为；   因此，该几何体的体积为，表面积为． 15．想一想，连一连． 【答案】见详解 【分析】本题考查了圆柱的认识及特征、圆锥的认识及特征，了解点、线、面、体的关系是解题的关键．圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体．以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．据此分析各平面图形的特点，确定旋转可以形成的立体图形．根据点动成线，线动成面，面动成体的特征即可求解．                【详解】 解：，上下两个直角三角形，都是1个顶点朝上，上边三角形大，下边三角形小，旋转1周形成的是摞起来的两个圆锥，且上面圆锥大，下面圆锥小； ，上下两个直角边拼起来的直角三角形，旋转1周形成的是两个底面拼起来的圆锥； ，长方形上边1个直角三角形，旋转1周形成的是类似谷仓的立体图形，下面是圆柱，上面是圆锥； ，长方形上边1个半圆，旋转1周形成的是下面是圆柱，上面是球． 连线如下： 素养提升 1．把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 2．如图所示，去掉一个方块可以拼成一个正方体盒子，共有几种方法（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】根据正方体的11种展开图，进行判断即可. 【详解】解：如图，去掉1，2，3，三个小正方形的任意一个，都可以拼成一个正方体盒子； 故共有3种方法. 3．长方形的长是20cm，宽是10cm．绕它的一边所在直线旋转所得的圆柱体的体积是_____．（结果保留π） 【答案】或 【分析】由于题目未说明是绕长方形的长还是宽旋转，所以需要分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： 当绕长为 的边所在直线旋转时，所得圆柱体底面半径，高， 根据圆柱体积公式得： ； 当绕宽为 的边所在直线旋转时，所得圆柱体底面半径 ，高， 根据圆柱体积公式得： ， 因此所得圆柱体的体积为或． 4．将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则________． 【答案】 【分析】根据展开图的具体结构，准确判断出2与y相对、1与x相对，再结合“相对面上两个数互为相反数”求出的值，进而代入中计算即可． 【详解】解：正方体相对面上的两个数互为相反数， ， ． 5．如图，已知一个正方体展开图的六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是___________． 【答案】想 【分析】本题主要考查了正方体的相对两个面上的字， 先将展开图折叠成正方体，再确定各相对面上的字，即可得出答案． 【详解】解：将展开图折叠为正方体上面的字是“追”，下面的字是“梦”，前面的字是“想”，后面的字是“勇”，左面的字是“敢”，右面的字是“逐”， 所以与“勇”相对的字是“想”． 故答案为：想． 6．如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查长方体的展开图．从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米．据此可得这个纸盒的容积． 【详解】解：从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后， 沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 故这个纸盒的容积是立方厘米． 故答案为：． 7．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． (1)x，z 各表示多少？ (2)y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】(1) (2)y 可能是 1 或 2；最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成 【分析】（1）结合从正面看到的图形与上面看到的图形在每个位置上的个数，即可求解； （2）根据从正面看和从上面看得到的图形，相应位置的数据，求得的可能数，即可求解． 【详解】（1）解：由从正面看得到的图形，最右侧是1个，最左侧是3个， 根据从上面看得到的图形，可得，； （2）解：从正面看，中间一列最高有 2 个小立方块，由俯视图看，最后一列有 2 个小立方块， 所以中间可以是 1 个小立方块或2个小立方块，即或 ； 最少：， 最多：， 这个几何体最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成． 8．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形． （2）由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为，代入到圆柱和圆锥的体积公式中即可求解． 【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形， 故答案为：． （2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为， ∴圆锥的体积为，圆柱的体积为， ∴这个几何体的体积为． 9．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）圆柱；三棱柱；圆锥；（2）（3）见解析 【分析】（1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）根据三棱柱的侧面积计算公式求得即可得出答案； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，据此可画出图形． 【详解】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是圆柱，图2是三棱柱，图3是圆锥， 故答案为：圆柱；三棱柱；圆锥； （2）三棱柱的侧面展开图是长方形，其长为，宽为， 所以面积为； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，如图： ． 10．如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成． (1)请在网格中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)在这个几何体中，当去掉一个小正方体________时，剩余部分从上面看到的形状没有改变（填写图中小正方体的序号）；如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)①； 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：当去掉一个小正方体①时，剩余部分从上面看到的形状没有改变． 保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，可在第一层的前面第一行添加2个小正方体． 迁移创新 1．【项目式学习】根据素材，探索完成任务： 材料：十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着一个关系式，被称为欧拉公式，其实，你也可以做到！ 名称 四面体 三棱柱 正八面体 正十二面体 图形 顶点数V 4 6 6 20 面数F 4 5 8 12 棱数E 6 9 12 30 (1)任务一：通过表格，你发现简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是______________________________； (2)任务二：某设计师创作了一款多面体形状的灯具，已知它的面数比顶点数多10，且棱数比面数多8，求这个多面体的面数； (3)任务三：如图，有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮的是正五边形，白皮的是正六边形．它们的边长都相等并且每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形周围又连着3个正五边形和3个正六边形，求正五边形和正六边形的个数． 【答案】(1) (2)这个多面体的面数为20 (3)正五边形有12个，正六边形有20个 【分析】（1）直接根据表格总结数量关系式即可； （2）设顶点数为V，则面数，棱数，代入欧拉公式求解即可； （3）设正五边形有x个，正六边形y个，则顶点数为；面数；棱数，代入欧拉公式求出，进而可知． 【详解】（1）解：由表格可知，简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是； （2）解：设顶点数为V，则面数，棱数． 代入欧拉公式得：， 解得：， ， 答：这个多面体的面数为20； （3）解：设正五边形有x个，正六边形y个， 则顶点数为；面数；棱数． 代入欧拉公式得：， 解得：， ∵， ∴， 把代入得：，所以． 答：正五边形有12个，正六边形有20个． 2．综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为________（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为________（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成2个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系________=________ ②求长方体纸盒的容积． (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？________（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． (4)请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)否，因为或，所以该方案不可行 (4)设计图形如图所示： 纸盒的容积为 【分析】（1）①该纸盒的底面边长等于正方形纸片的边长减去两个小正方形的边长；②根据长方体的容积公式求解即可； （2）①根据图形的折叠与剪拼即可求解；②根据题意以及图形的折叠与剪拼求出长方体的长、宽、高，即可求解； （3）结合图形即可判定； （4）根据（2）的制作方法画出图形，再根据长方体的容积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据图形可知：该纸盒底面的边长为； ②由图及题意可知：该纸盒的容积为； （2）解：①由图可知：另一组关键的等量关系为； ②∵长方形纸片无剩余，在长方形中，，， ∴由①可知：长方体的长为，宽为，高为， ∴长方体纸盒的容积为； （3）略 （4）解：图略， 由图可知：，设，则有， 解得：， ∴； 答：纸盒的容积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $