6.2.2 线段的比较与运算 （暑期预习讲义） 2025-2026学年人教版数学七年级上册

第6章 6.2.2 线段的比较与运算 （暑期预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 知识与技能： · 掌握比较两条线段长短的两种基本方法（叠合法和度量法）。 · 理解线段的和与差的意义，并能借助直尺和圆规作一条线段等于已知线段的和或差。 · 理解线段中点的概念，能运用中点的性质进行简单的计算和推理。 2. 过程与方法： · 通过观察、操作、比较等数学活动，体验线段的比较方法，培养动手能力和几何直观。 · 在解决问题的过程中，体会数形结合思想和转化思想。 · 培养运用几何语言描述操作过程和结果的能力。 3. 情感态度与价值观： · 在探究活动中，感受数学的严谨性和结论的确定性。 · 培养学习几何的兴趣，以及认真细致的学习习惯。 知识点梳理 知识点一：线段的比较 1. 叠合法： · 操作方法： 把两条线段AB和CD放在同一条直线上，使它们的一个端点A和C重合，另一个端点B和D落在重合端点的同侧。 · 比较结果： · 如果点B与点D重合，则AB = CD。 · 如果点B落在点C和点D之间，则AB < CD。 · 如果点D落在点A和点B之间，则AB > CD。 · 几何语言描述： · 若点B与点D重合，则 AB = CD。 · 若点B在CD上（且不与D重合），则 AB < CD。 · 若点D在AB上（且不与B重合），则 AB > CD。 2. 度量法： · 操作方法： 用刻度尺分别量出两条线段的长度，再根据长度的大小来比较线段的长短。 · 步骤： ① 用刻度尺量出线段AB的长度，记为AB = a cm； ② 用刻度尺量出线段CD的长度，记为CD = b cm； ③ 比较a与b的大小：若a > b，则AB > CD；若a = b，则AB = CD；若a < b，则AB < CD。 · 优点： 可以得到具体的数量关系。 知识点二：线段的和与差 1. 线段的和： · 定义：点C在线段AB的延长线上，且BC = a，AC = AB + BC，我们就说线段AC是线段AB与BC的和，记作 AC = AB + BC。 · （或：在一条直线上，线段AB的一个端点B处，再顺次接上一条线段BC，那么线段AC就是AB与BC的和。） · 几何语言： ∵ 点A、B、C在同一直线上，且点B在A、C之间，∴ AC = AB + BC。 2. 线段的差： · 定义：点C在线段AB上，且AC = b，CB = AB - AC，我们就说线段CB是线段AB与AC的差，记作 CB = AB - AC。 · （或：在一条线段AB上，截取一段线段AC，那么剩余的线段CB就是AB与AC的差。） · 几何语言： ∵ 点C在线段AB上，∴ CB = AB - AC 或 AC = AB - CB。 3. 作一条线段等于已知线段的和或差（尺规作图初步，具体尺规作图步骤将在后续学习中详细介绍，此处为概念理解）： · 作线段的和： 已知线段a、b，求作线段AB = a + b。 · 方法：先作一条射线AP，在射线AP上截取AC = a，再在射线CP上截取CB = b，则线段AB = a + b。 · 作线段的差： 已知线段a、b（a > b），求作线段AB = a - b。 · 方法：先作一条射线AP，在射线AP上截取AC = a，再在线段AC上截取CB = b，则线段AB = a - b。 知识点三：线段的中点 1. 定义： 点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，那么点M叫做线段AB的中点。 · 几何语言描述： · ∵ 点M是线段AB的中点， · ∴ AM = MB = 1/2 AB 或 AB = 2AM = 2MB。 · （反之，如果AM = MB = 1/2 AB 或 AB = 2AM = 2MB，那么点M是线段AB的中点。） 2. 图形表示： A——M——B (AM = MB) 3. 中点的意义： 中点是线段上的一个特殊点，它将线段分成两条长度相等的线段，体现了“平分”的思想。 知识点总结 1. 线段的比较方法： · 叠合法： 重合法，直观比较，需规范操作（同一直线，一端点重合，看另一端点位置）。 · 度量法： 数量比较，需测量长度（数值比较）。 2. 线段的和与差： · 和： 两条线段拼接在一起的总长度。 · 差： 较长线段减去较短线段的剩余长度。 · 理解其几何意义，并能用几何语言描述。 3. 线段的中点： · 核心： 一个点，分线段为两条相等的线段。 · 数量关系： 若M是AB中点，则 AM = MB = 1/2 AB， AB = 2AM = 2MB。这是进行线段长度计算的重要依据。 希望这份预习讲义能帮助你更好地学习这一小节内容！预祝你学习愉快！ 巩固练习 一、选择题 1．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若厘米，厘米．则线段的长为（　　） A．1厘米 B．5厘米 C．1厘米或5厘米 D．无法确定 2．有两根木条，一根长为80cm，另一根长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A．25cm B．25cm或105cm C．105cm D．50cm或210cm 3．在直线m上顺次取A，B，C三点，使AB=10cm，BC=4cm，如果点O是线段AC的中点，则线段OB的长为（　　） A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．5cm或2cm 4．下列说法不正确的是（　　） A．若点C在线段BA的延长线上，则BA=AC﹣BC B．若点C在线段AB上，则AB=AC+BC C．若AC+BC＞AB，则点C一定在线段AB外 D．若A，B，C，三点不在一直线上，则AB＜AC+BC 5．如图AB=CD，则AC与BD的大小关系是（　　） A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC=BD D．无法确定 6．已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，则（　　） A．6或 B．6或2 C．6或3 D．2或 7．点P为线段MN上一点，点Q为NP中点．若MQ=6，则MP+MN=（　　） A．10 B．8 C．12 D．以上答案都不对 8．已知线段AB=3厘米，延长BA到C使BC=5厘米，则AC的长是（　　） A．2厘米 B．8厘米 C．3厘米 D．11厘米 9．下列说法正确的是（　　） A．两点之间的连线中，直线最短 B．若P是线段AB的中点，则AP=BP C．若AP=BP，则P是线段AB的中点 D．两点之间的线段叫做这两点之间的距离 10．如图，从A到B最短的路线是（　　） A．A﹣G﹣E﹣B B．A﹣C﹣E﹣B C．A﹣D﹣G﹣E﹣B D．A﹣F﹣E﹣B 11．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（　　） A．3 B．2 C．3或5 D．2或6 二、填空题 12．如图，点B是线段AD的中点，点C是线段BD的中点，若，则线段　 　cm． 13．已知点A、B、C、D在同一条直线上，线段，C是线段的中点，且，则线段的长为　 　． 14．如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是　 　． 15．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于　 　 16．线段AB=10cm，BC=5cm，A、B、C三点在同一条直线上，则AC=　 　 17．如图，已知C、D是AB上两点，且AB=20cm，CD=6cm，M是AD的中点，N是BC的中点，则线段MN的长为　 　． 三、解答题 18．如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是CB的中点，如果AB=10cm，AC=6cm．求： （1）AM的长； （2）MN的长． 19．，是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，、两点的距离是点到原点的距离的倍，即．点为数轴上的动点． （1）数轴上点表示的数是　 　； （2）当时，求点表示的数； （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 20．景区大楼AB段上有四处居民小区A，B，C，D，且有AC=CD=DB，为改善居民购物的环境，要在AB路建一家超市，每个小区的居民各执一词，难以确定超市的位置，如果由你出任超市负责人，以便民、获利的角度考虑，你将把超市建在哪儿？ 21．如图，已知线段 ，点E、F分别是线段AB、CD的中点，且EF=21cm，求AB、CD的长度. 参考答案 1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．A 7．C 8．A 9．B 10．D 11．D 12．8 13．1或4 14．或 15．2或6　 16．5cm或者15cm 17．7cm 18．（1）解：因为，M是AC的中点，AC=6cm， 所以，AM= AC= ×6=3 cm （2）解：因为，M是AC的中点，N是CB的中点， 所以，MC= AC，CN= CB， 所以，MN=MC+CN= AC+ CB= （AC+CB）= ×10=5cm 19．（1）20 （2）解：设点表示的数为， ， 点在点的左侧或点的右侧， 当点在点的左侧时， ， 解得； 当在的右侧时， ． 解得． 综上所述，点表示的数为或． （3）解：的长度不发生变换，理由如下： ①点在点的左侧， ，，是的中点，是的中点， ，， ； ②点在之间， ，，是的中点，是的中点， ，， ； ③点在点的右侧， ，，是的中点，是的中点， ，， ． 20．【解答】在线段CD上任取一点M，在线段AC上任取一点N，∵AC=CD=BD，∴当超市的位置在M点时，各居民区到超市和=AM+CM+DM+BM=AB+CD=4CD，当超市的位置在N点时，各居民区到超市的路程和=AN+CN+DN+BN=AB+CD+2CN=4CD+2CN，∵4CD＜4CD+2CN，∴以便民、获利的角度考虑，将把超市的位置建在线段CD上的任意一点．【分析】此题需先分别计算出当超市的位置在线段CD上和线段CD外，各居民区到超市的路程和即可确定出超市的位置． 21．解：如图 ， ， ， ， ， 分别是 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$