25.2.2　公式法 同步练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练以“基础达标+能力提升”分层设计，通过梯度化题型构建从公式法概念理解到综合应用的巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|根的判别式计算、字母取值范围确定、公式法步骤应用、二次项系数不为0的考虑|以选择、填空为主，聚焦单一考点，如第1-9题巩固判别式计算与公式法步骤，第10-11题强化分类讨论意识，夯实基础运算能力| |能力提升|新定义转化、实际情境建模（数轴问题）、几何与代数综合（三角形形状判断）|以解答、推理题为主，如第2题新定义转化方程、第7题结合三角形性质推理，培养模型观念与逻辑推理能力，实现知识迁移|

25.2.2　公式法 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 1.用公式法解一元二次方程2x2-3x-1=0时,计算b2-4ac的结果为 (　　) A.17　　　　B.14　　　　C.11　　　　D.8 2.(2025广安中考)关于x的一元二次方程x2+3x+1=0的根的情况是 (　　) A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 根据一元二次方程根的情况确定字母的值或取值范围 3.(2025潍坊中考)若一元二次方程x2-2x+c=0有两个相等的实根,则c的值为 (　　) A.-1　　　　B.0　　　　C.　　　　D.1 4.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0. (1)根的判别式Δ=b2-4ac=　　　　.  (2)当m　　　　时,方程有两个不相等的实数根.  (3)当m　　　　时,方程有两个相等的实数根.  (4)当m　　　　时,方程无实数根.  用公式法解一元二次方程 5.用公式法解一元二次方程3x2-4x-2=0时,a,b,c的值分别是 (　　) A.3,-2,4 B.3,-4,2 C.3,-4,-2 D.3,4,-2 6.利用公式法解一元二次方程2x2-4x-1=0得到两个根,其中较小的根为 (　　) A.x= B.x= C.x= D.x= 7.小明在解方程x2-4x=2时出现了错误,解答过程如下: 解:∵a=1,b=-4,c=-2, 第一步 ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24. 第二步 ∴x=. 第三步 ∴x1=-2+,x2=-2-. 第四步 小明解答过程开始出错的步骤是 (　　) A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 8.求方程x2+3x+2=0的根时,根据求根公式,列式为x=,则m的值为　　　　.  9.用公式法解下列方程: (1)2x2-2x-1=0. (2)x2+10=2x. 用根的判别式时要考虑二次项系数不为0 10.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根,则实数a的取值范围是 (　　) A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 未进行分类讨论导致漏解 11.已知关于x的方程(m-2)x2+x-2=0.若方程有实数根,求m的取值范围. 1.小马在解方程x2-4x+c=0时,把常数项c的值抄成了c的相反数,解出两个相等的实数根,那么原方程的根的情况是 (　　) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有一个根是x=2 2.(新定义)规定:对于任意实数a,b,c,有【a,b】★c=ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如【2,3】★1=2×1+3=5.若关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围为 (　　) A.m< B.m>- C.m>-且m≠0 D.m<且m≠0 3.已知代数式7x(x+1)-10的值与代数式9x-9的值相等,则x的值为　　　　　　.  4.嘉淇准备完成题目:解一元二次方程x2-6x+□=0.若“□”表示一个常数,且一元二次方程x2-6x+□=0有实数根,则“□”的最大值为　　　　,此时方程的解为　　　　　.  5.如图,点A在数轴的负半轴上,点B在数轴的正半轴上,且点A对应的数是2x-1,点B对应的数是x2+x.已知AB=5,则x的值为　　　　.  6.已知一元二次方程x2+bx+c=0.有如下四组条件:①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2. (1)能使一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是　　　　.(填序号)  (2)选择(1)中的一组条件解方程. 7.(推理能力)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长. (1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由. (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由. (3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根. 【详解答案】 基础达标 1.A　2.B　3.D 4.(1)16-4m　(2)<4　(3)=4　(4)>4 5.C　6.B　7.C　8.-3 9.解:(1)2x2-2x-1=0, ∵a=2,b=-2,c=-1, ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12>0. ∴方程有两个不相等的实数根. ∴x===. ∴x1=,x2=. (2)x2+10=2x, 整理,得x2-2x+10=0, ∵a=1,b=-2,c=10, ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×10=-20<0. ∴此方程无实数根. 10.C　解析:∵关于x的一元二次方程(a-1)·x2+2x+1=0有实数根, ∴ 解得a≤2且a≠1,∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1.故选C. 11.解:当(m-2)x2+x-2=0是一元一次方程时,它有实数根,此时m-2=0, ∴m=2. 当(m-2)x2+x-2=0是一元二次方程时,方程有实数根, ∴Δ≥0且m-2≠0, 即1-4(m-2)×(-2)≥0且m≠2, 解得m≥且m≠2. 综上所述,m的取值范围是m≥. 能力提升 1.C　解析:∵方程x2-4x-c=0有两个相等的实数根,∴Δ=16+4c=0.∴c=-4.∴原方程为x2-4x-4=0.∵Δ=(-4)2-4×1×(-4)=32>0,∴原方程有两个不相等的实数根.故选C. 2.D　解析:根据题意,得x(mx)+x+1=0,整理,得mx2+x+1=0,∵关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根,∴Δ=12-4m·1>0且m≠0,解得m<且m≠0.故选D. 3.或　解析:由题意,得7x·(x+1)-10=9x-9,整理,得7x2-2x-1=0,∴Δ=(-2)2-4×7×(-1)=4+28=32,则x==,即x1=,x2=. 4.9　x1=x2=3　解析:设“□”表示的常数为m,则x2-6x+m=0.由题意,得Δ=b2-4ac=(-6)2-4m≥0,解得m≤9,∴“□”的最大值为9.此时方程为x2-6x+9=0,即(x-3)2=0,∴x1=x2=3. 5.　解析:由题可得AB=x2+x-(2x-1)=5,整理得x2-x-4=0,解得x1=,x2=. ∵点A在数轴的负半轴上,点B在数轴的正半轴上,∴2x-1<0,x2+x>0,∴x=.　 6.解:(1)②③ (2)选②.方程为x2+3x+1=0, ∵Δ=32-4×1×1=5>0, ∴x=, ∴x1=,x2=. 选③.方程为x2+3x-1=0, ∵Δ=32-4×1×(-1)=13>0, ∴x=, ∴x1=,x2=. (答案不唯一,任选其一即可) 7.解:(1)△ABC为等腰三角形.理由如下: 把x=-1代入方程,得a+c-2b+a-c=0,∴a=b, ∴△ABC为等腰三角形. (2)△ABC为直角三角形.理由如下: 根据题意,得Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,即b2+c2=a2, ∴△ABC为直角三角形. (3)∵△ABC为等边三角形, ∴a=b=c, ∴原方程可化为x2+x=0, 解得x1=0,x2=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $