第一章 三角形 单元练习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 浙教版八年级上册三角形单元卷，通过选择（10题30分）、填空（5题15分）、解答（8题75分）覆盖三角形高、全等判定等核心知识，注重几何直观与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形高、全等判定（SSA）、逆命题|结合图形辨析，如第4题木棍实验验证SSA不全等| |填空题|5/15|等腰三角形、中线性质、旋转性质|第15题等边三角形动态探究，体现创新意识| |解答题|8/75|全等证明、中线倍长、综合实践|第23题物理振动实验情境，第21题分层探究，培养应用与推理能力|

第一章 三角形 单元练习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，在中，边上的高是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2． 对于命题“若 ，则 .”能说明它属于假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．已知图中的两个三角形全等，则等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，把长短确定的两根木棍，的一端固定在处，和第三根木棍摆出固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（　　） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 5．如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．同旁内角互补，两直线平行 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．全等三角形的对应边相等 D．对顶角相等 7． 如图， AB=AE， ∠E=∠B， 再添加一个条件仍不能判定△ABC≌△AED 的是(　　) A．∠CAD=∠BAE B．AC=AD C．DE=CB D．∠C=∠D 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，AD是BC边上的中线，AD长不可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，，均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且，分别与，交于点M，N，连接．则下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤．其中正确的有其中正确结论的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（每题3分，共15分） 11．已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是　 　． 12．在△ABC中，AD为△ABC的中线，BE为 的中线，若 的面积为60，BD=5，则△BDE中BD 边上的高为　 　. 13．如图，在中，，，点在边上，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为　 　． 14．如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于　 　． 15．为等边三角形，点E在边上，，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，则下列说法正确的是：　 　． ①当时，为等腰三角形； ②； ③在边上存在点E，使； ④． 三、解答题（共8题，共75分） 16．一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长． 17．如图所示，在中，是角平分线，是高． （1）若，求：①的度数；②的度数． （2）已知，则 （用表示）． 18．如图，已知△ABC≌△ADE． （1）求证：∠1＝∠2； （2）当∠BED=50°时，求∠AEC的度数． 19．如图，已知，要使≌，还需要添加什么条件？请你选择其中一个加以证明． 20．如图，在中，，，垂直平分，交于点，求的度数. 21．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． （1）【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； （2）【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； （3）【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 22．如图，在中，，于点，交于点，，连接. （1）如图1，当在内部时，求证：； （2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：. 23．小明在物理课．上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，． （1）试说明； （2）求的长． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：线段所对的顶点是点， ∴线段是边边上的高， 故选：A． 【分析】根据图示，找到线段BC所对的顶点是点A作答求解即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A、a=3，b=1，满足a>b， a2=9，b2=1，a2>b2，不能作为反例，不符合题意； B、当a=-1，b=-3时，a>b， a2=1，b2=9，a2<b2，符合题意； C、a=-3，b=-1，不满足a>b，不符合题意； D、a=3，b=-1，满足a>b， a2=9，b2=1，a2>b2，不能作为反例，不符合题意. 故答案为：B . 【分析】根据“反例就是符合已知条件但不满足结论的例子”，进行判断即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示： ∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a， ∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°， ∴∠1＝180°−∠D−∠F＝58°， 故答案为：C． 【分析】先利用全等三角形的性质可得∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，再利用三角形的内角和求出∠1的度数即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意知，与中有两边和其中一边的对角分别相等， 与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选A． 【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，∴， ∵M、N分别在、的中垂线上， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 【分析】根据垂直平分线性质可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意． 、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题，符合题意； 故答案为：． 【分析】分别写出各命题的逆命题并判断它们的真假即可得出答案。 7．【答案】B 【解析】【解答】解： A、由得到 E， 由ASA判定 故A不符合题意； 和 分别是AC和AD的对角，不能判定△ ，故B符合题意； C、由SAS判定 故C不符合题意； D、由AAS判定 故D不符合题意. 故选： B. 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ BE平分ABC交AC边于E，∠ABE＝25°， ∴∠ABD=2∠ABE=50°. ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=90°－∠ABD=40°， ∵ ∠BAC＝60°， ∴∠DAC=∠BAC－∠BAD=20°. 故答案为：B. 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD的度数，再利用三角形高的性质以及三角形的内角和定理可求出∠BAD，最后利用角的和差运算即可得到答案. 9．【答案】D 【解析】【解答】解： 如图所示，延长AD到E，使DE = AD.连接CE，则AE=2 AD. ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD. 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD(SAS)， ∴CE= AB=5. ∵AC=9， ∴9-5<AE<9+5， 即AD的取值范围是：2< AD < 7， 故答案为：D . 【分析】延长AD到E，使DE = AD.连接CE，证明△ABD≌△ECD，即可得到CE= AB=5，然后根据三角形三边关系得到9-5<AE<9+5，进而求出AD的取值范围解答即可. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：①∵、均是等边三角形， ∴，，，， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴； ∴结论正确； ②由①得：△ACE≌△DCB， ∴，， ∵， 而∠BOE=180°-∠ONE-∠AEC，∠BCE=180°-∠BNC-∠DBC， ∴， ∴结论正确； ③由①得：∠DCE=∠ACD=60°， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴结论正确； ④过点C作于点P，作于点Q，如图所示： 由①得：△ACE≌△DCB， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴结论正确； ⑤由①得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴结论正确. 综上可知，正确的结论有5个． 故答案为：A． 【分析】①由等边三角形的性质可得，，，，所以，，用边角边可证，然后由全等三角形的对应边相等可求解； ②由①得：△ACE≌△DCB，由全等三角形的对应角相等可得，在△OEN和△BNC中，根据三角形的内角和定理可判断求解； ③由题意，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得到，然后根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可求解； ④过点C作于点P，作于点Q，由①得：△ACE≌△DCB，根据三角形的面积公式可证，然后根据角平分线的判定“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”可判断求解； ⑤由①得：，由平行线的判定“同位角相等两直线平行”可得，再根据平行线的性质“两直线平行内错角相等”并结合已知可求解． 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴底角=（180°-40°）÷2=70°， 故答案为：70°. 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出底角的度数即可. 12．【答案】6 【解析】【解答】解：连接CE. ∵BE为△ABD的中线， ∵AD为△ABC的中线， ∴D为BC 的中点，则DE为△BEC的中线. 设△BDE中BD 边上的高为h， 则 解得h=6. 故答案为：6. 【分析】根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，先求出 的面积，再根据三角形的面积公式计算即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【分析】 由旋转的性质可证明，则；再由等腰三角形的内角各可求得的度数，最后由三角形的内角和即可求解． 14．【答案】25 【解析】【解答】解：延长交于，如下图， ∵平分，垂直于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：25． 【分析】延长交于，由证明，得出，可得BD、CD分别是△ABE、△ACE的中线，根据中线平分面积可得出，，进一步即可得出的面积 ． 15．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 当时，， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，，故， 解得：（不符合题意），故③错误． ④证明：在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 【分析】根据等边三角形性质可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，当时，，根据等角对等边可判断①；根据角之间的关系可判断②；连接，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，当时，，故，解方程可判断③；在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系可判断④. 16．【答案】解：当底边长为，则腰长为：，所以另两边的长为 能构成三角形； 当腰长为，则底边长为： 底边长为，另一个腰长为 ，不能构成三角形. 因此另两边长为 答：这个等腰三角形的其它两边的长为 ​​​​​​​ 【解析】【分析】根据等腰三角形性质分类讨论，结合三角形三边关系即可求出答案. 17．【答案】（1）解：∵，∴， ∵是角平分线，是高， ∴，． ①∴； ②． （2） 【解析】【分析】（1）由，求得，根据是角平分线，是高，求得，，①根据，进行计算，即可求解；②根据，结合三角形内角和定理和角的平分线，进行作答，即可求解． （2）根据题意，得到，根据是角平分线，是高，求得，结合，即可求解. （1）∵， ∴， ∵是角平分线，是高， ∴，． ①∴； ②． （2）∵， ∴， ∵是角平分线，是高， ∴，． ∴； ∴． ， 故答案为：． 18．【答案】（1）证明：∵△ABC≌△ADE ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE∴∠1＝∠2 （2）解：∵△ABC≌△ADE ∴∠AED=∠C，AC=AE ∴∠AEC=∠C ∴∠AED=∠AEC=(180°-50°)=65° 【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到：，进而根据角的运算即可求证； （2）根据全等三角形的性质得到：，则，最后根据等腰三角形的性质即可求解. 19．【答案】解：，， 可以添加或利用判定≌； 添加或利用判定≌． 证明：， 在与中 ， ≌． 【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理和进行添加条件并证明即可. 20．【答案】解：， ， ， 垂直平分， ， ， ． 【解析】【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠ABC，再根据垂直平分线性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案. 21．【答案】（1）解：在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． ​​​​​​​ （2） （3）解：在中，， 平分， ， 在中 ， ， . ​​​​​​​ 【解析】【解答】 （2） 解：在中，， ， 平分.， ， 在中，， ， ， ， ． 【分析】 （1）利用三角形内角和定理求出，结合角平分线定义求出，再利用直角三角形两锐角互余求出，最后通过教的和差关系计算即可； （2）利用三角形内角和定理求出，结合角平分线定义求出，再在直角三角形DEF中利用两锐角互余求解； （3）利用三角形内角和定理求出，结合角平分线定义表示出，再结合直角三角形性质建立，，的关系. （1）解：在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， 平分.， ， 在中，， ， ， ， ． （3）解：在中，， 平分， ， 在中 ， ， . 22．【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接. ∵， ∴，. 又∵， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. 在和中， ∴. ∴. ∴. （2）证明：如图，在的延长线上截取，连接. ∵， ∴，. 又∵， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. 在和中， ∴. ∴. ∵， ∴. 【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可； （2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。 23．【答案】（1）解： 又 在和中 （2）解： ． 【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案. （2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $