第一章 三角形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学第一章三角形单元自测卷，立足基础能力提升，融合中考真题与各地期末试题，覆盖三角形性质、全等判定等核心知识，适配单元复习巩固与素养发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形分类、三边关系、全等识别|第8-9题整合四川中考真题，考查尺规作图与几何计算，体现数学眼光中的空间观念| |填空题|6/18|高、中线、角平分线性质|第11-12题结合面积计算与中线性质，培养数学思维中的推理能力| |解答题|8/72|全等证明、动点问题、截长补短法|24题以阅读材料引入截长补短法，23题探究等边三角形综合应用，发展数学语言表达与创新意识|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，则是（ ）三角形 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．无法确定 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知三角形三条边的长分别为、、，则的值可能是（） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，M，N分别是边，上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．下列语句中，不是命题的是（ ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 5．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为E，交于点D，则的周长是（ ） A．10 B．12 C．13 D．14 8．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 9．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 10．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是_______． 12．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 13．如图，是的角平分线，于E，若，，则的度数为______度． 14．如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为__________． 15．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，则的周长为______． 16．如图，中，由尺规作图痕迹得到的射线交于点．若，，则的度数为______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 18．（8分）如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 19．（8分）已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 20．（8分）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（8分）用圆规与直尺作图：如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 22．（10分）（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 23．（10分）（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D． (1)求的度数． (2)连接，求证：平分． (3)连接，求证：． 24．（12分）阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.C 2.C 3.B 4.C 5.D 6.B 7.B 8.D 9.B 10.A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.4.8 12.3 13.15 14.53/53度 15.10 16.70°70度 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：由三角形外角的性质可得，∠BED=∠ABE+∠BAE, .∠ABE=∠BED-∠BAE=60°-40°=20°， 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠ABE=40°， .AF为高， ∴.∠AFB=90°， .∠BAF=180°-∠AFB-∠ABF=50°： 4分 (2)解：，AD是中线， ∴.BD=CD=5,即BC=10, 则S。x方8C×A=0,解得AF=20=8, 10 4分 18.(8分) 【详解】(1)解：.∠O=60°， .∴.∠AB0+∠BAO=120°， AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线， 1 AC=OAC三专∠BAO,∠ABC=D ·∠ABO, ∠ABC+∠BAC=∠AB0+∠BMO1=60, ∴.∠ACG=∠ABC+∠BAC=60°. 4分 (2).∠0=72°， ∴.∠ABO+∠BAO=108°， AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线， :∠BAC=∠OAC=号∠BMO,∠ABC=∠OBC=∠AB0, ·∠ABC+∠BAC=∠AB0+∠BAO=54, ∴.∠ACG=∠ABC+∠BAC=54°， .CF OA, .∴.∠ACF=∠CAG, .∴.∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG=54°， 故∠BGO与∠ACF的数量关系为∠BGO-∠ACF=54°. 8分 2/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.(8分) 【详解】(1)解：△ABC≌△乙， ∴.△ABC和△U的对应边为：AB和DE,BC和EF,AC和DF, 对应角为：∠A和∠D,∠B和∠乙，∠ACB和∠F. 3分 (2)解：在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， :.∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-78°-35°=67°. .△ABC≌△U,BC=18, ∴.∠F=∠ACB=67°，EF=BC=18 答：∠F的度数为67°，边EF的长为18 8分 20.(8分) 【答案】(1) 证明：在△ABD与△DCE中， ∠B=∠C ∠1=∠2 AD=DE ∴.△ABD≌△DCE(AAS: 4分 (2).'△ABD≌△DCE,AC=AB, ∴.AB=DC=5,CE=BD=3, ∴.AC=5,AE=5-3=2. 8分 21.(8分) 【详解】解：如图所示：P点即为所求 8分 22.(10分) 3/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由题意得，当t=1时，AP=2,BQ=a, ∴.BP=AB-AP=6-2=4, 故答案为：2,4，a 2分 (2)证明：①当a=2,t=1时，AP=2,BQ=2,BP=4, .'AC=BP,AP=BQ, ,AC⊥AB,BD⊥AB, ∴.∠CAP=∠PBQ=90°， .△APC≌△BQPSAS: ②：△APC≌△BQP, .∠ACP=∠BPQ, .∠ACP+∠APC=90°， ∴.∠BPQ+∠APC=90°， ∴.∠CPQ=180°-∠APC+∠BPQ=90°， ∴.CP⊥PQ; 6分 (3)解：当△APC≌△BQP时，则BQ=AP,BP=AC=4, ∴.AP=AB-BP=2, t=2-1, 2 a=2-=2 1 当△APC≌△BPQ时，则BQ=AC=4,BP=AP=AB=3, .t=3 :048 33； 2 8 上所述，a=2,t=1或a3t=) 10分 23.(10分) 【答案】(1)【详解】(1)解：，△ABE和△AFC是等边三角形， 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 .AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=60°， 又，AE⊥AF, .∠EAF=90°， ∠BAC=360°-∠BAE+∠EAF+CAF=150°. (2) 证明：过点A作AM⊥BE于点M,AN⊥CE于点N,如图所示： E D .∠BAE=∠CAF=60° .∠BAE+∠EAF=∠CAF+∠EAF=150°， 即∠BAF=∠EAC=150°， 在△BAF和△EAC中， AB=AE,∠BAF=∠EAC,AF=AC, ∴.△BAF≌△EACSAS, .BF=EC,SABAF=S△EAC, .AM=AN, .点A在∠BDC的平分线上， .AD平分∠BDC. (3) 证明：在BD上截取BP=ED,连接AP,AD,设AE与BF交于点H,如图所示： B .△BAF≌△EAC, “.∠ABF=∠AEC, 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABP和△AED中， AB=AE ∠ABF=∠AEC BP=ED .△ABP≌△AED|SAS, ∴AP=AD,∠BPA=∠EDA, 在△EDH中，∠EDH+∠AEC+∠EHD=180°， ,∠ABF=∠AEC,∠EHD=∠BHA, ∴.∠EDH+∠ABF+∠BHA=180°， 在△ABH中，∠BAE+∠ABF+∠BHA=180°， .∠EDH=∠BAE=60°， .∠BDC=120°， ,AD平分∠BDC, ∴.∠BDA=∠CDA=60°， .△APD是等边三角形， ..PD=AD ∴.BD=PD+BP=AD+ED. 24.（12分) 【详解】(1)解：延长AD到点E使DE=AD,连接BE,在△ADC和△EDB中， AD=DE ∠ADC=∠EDB CD=DB ∴.△ADC≌△EDB(S, ∴.BE=AC=8, AB-BE<AE<AB+BE,12-8<2AD<12+8, .2<AD<10, 故答案为：2<AD<10: 5分 (2) 证明：延长CB到G,使BG=DF如下图所示， 617 学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 D G .∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABG=180°， ∴.∠ADC=∠ABG, 在△ABG和△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(S上， ∴.AG=AF,∠GAB=∠FAD, :∠EAF=号∠BAD, .∠FAD+∠BAE=∠GAB+∠BAE=I∠BAD, ∴.∠GAE=∠FAE, 在△AEG和△AEF中， AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE ∴.△AEG≌△AEF(SE, .EF=≥， ∴.EF=BE十BG=BE+DF 12分 7/7 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，则是（ ）三角形 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用．利用三角形内角和定理，结合已知条件求出各角大小，再判断三角形类型． 【详解】解：设，则． ，， ， ， ， ，，． ， 是钝角三角形． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知三角形三条边的长分别为、、，则的值可能是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据此关系列出不等式，求出的取值范围． 【详解】解：三角形的三边长为、、， 由三边关系得： ． 选项中，只有满足条件． 故选：C． 3．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，M，N分别是边，上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据折叠的性质得出，最后利用平角的定义及角的和差关系计算即可． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点B落在点处， ， ∵点A，M，B在同一直线上， ． 4．下列语句中，不是命题的是（ ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键． 根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可． 【详解】解：命题必须是陈述句且可判断真假， 选项A、B、D均为陈述句，可判断真假，是命题； 选项C为操作指令，不是陈述句，不是命题， 故选：C． 5．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等形的识别，观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等形”即可得到答案． 【详解】解：属于全等形的是D选项，其他选项的两个图形大小不一致，不符合题意， 故选：D． 6．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得出，再利用SAS证明，得出，最后利用三角形外角的性质求出即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 则． ． 7．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为E，交于点D，则的周长是（ ） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而推出的周长为的长，即可得出结果． 【详解】解：∵直线垂直平分，垂足为E，交于点D， ∴， ∴的周长； 故选：B． 8．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 9．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知直线 是线段 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 ，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用 求解即可． 【详解】由作图可知，直线 是线段 的垂直平分线， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 10．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线的定义，根据三角形的面积求解是解题的关键；根据题意，利用等面积法即可求解． 【详解】解：线段，分别是的边，上的高，，，， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 13．如图，是的角平分线，于E，若，，则的度数为______度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线与高． 根据三角形的内角和定理求出，再由是的角平分线可求出，根据得到，从而可求出，进而求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为__________． 【答案】53°/53度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题关键是牢记相关概念．本题先求出，再利用角平分线的定义求出后即可求解． 【详解】解：∵于点E， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 15．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，则的周长为______． 【答案】10 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得，从而可得的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∵，， ∴ ∴的周长为， 故答案为：． 16．如图，中，由尺规作图痕迹得到的射线交于点．若，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了作角平分线、三角形内角和定理的应用，先根据三角形内角和定理求得，根据作图可得是的角平分线，得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 根据作图可得是的角平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高以及角平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）由三角形外角的性质可得，，得到，根据角平分线的定义可得，，再根据为高可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由是中线可得，再根据面积求解即可． 【详解】（1）解：由三角形外角的性质可得，， ∴， 平分， ， 为高， ， ； （2）解：∵是中线， ∴，即， 则，解得． 18．（8分）如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三角形外角性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出的度数； （2）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出，根据平行线的性质得到，进而得到． 【详解】（1）解：， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． （2）， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ， 故与的数量关系为． 19．（8分）已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【答案】(1) 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． (2)， 【分析】本题主要考查全等三角形的概念与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握其概念与性质是做题的关键． （1）根据全等三角形的概念与图示即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解： ， 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． （2）解：在中，， ∴． ∵，， ∴，． 答：的度数为，边的长为． 20．（8分）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：在与中， ； (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据可证明； （2）得出，，求出，则可求出． 【详解】（1）略 （2）， ∴， ． 21．（8分）用圆规与直尺作图：如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了角平分线、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法． 作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点P就是所求点． 【详解】解：如图所示：P点即为所求． 22．（10分）（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 【答案】(1)2，4， (2) 证明：①当，时，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)，或， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，列代数，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论；②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4，； （2）略 （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，，或，． 23．（10分）（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D． (1)求的度数． (2)连接，求证：平分． (3)连接，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ∵， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分． (3) 证明：在上截取，连接，，设与交于点H，如图所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，，再根据得，由此可得的度数； （2）过点A作于点M，于点N，先证明和全等得，，再根据三角形的面积公式得，然后根据角平分线的性质可得结论； （3）在上截取，连接，设与交于点H，先证明和全等得，进而再证明是等边三角形得，进一步即可得出答案． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ． （2）略 （3）略 24．（12分）阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 【答案】(1) (2) 证明：延长到，使如下图所示， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 【分析】求解本题的关键是熟练掌握 “截长补短”的方法，结合全等三角形的判定条件 “”，证明构造的三角形全等， （1）掌握全等三角形的判定，证明，然后，利用三角形三边关系“两边长度之和大于第三边，两边长度之差小于第三边” 即可得出范围； （2）关键是作辅助线，延长到，使，利用全等三角形的判定条件得到和，即可证明结论． 【详解】（1）解：延长到点使，连接，在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）略 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，则是（ ）三角形 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．无法确定 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知三角形三条边的长分别为、、，则的值可能是（） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，M，N分别是边，上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．下列语句中，不是命题的是（ ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 5．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为E，交于点D，则的周长是（ ） A．10 B．12 C．13 D．14 8．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 9．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 10．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是_______． 12．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 13．如图，是的角平分线，于E，若，，则的度数为______度． 14．如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为__________． 15．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，则的周长为______． 16．如图，中，由尺规作图痕迹得到的射线交于点．若，，则的度数为______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 18．（8分）如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 19．（8分）已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 20．（8分）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（8分）用圆规与直尺作图：如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 22．（10分）（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 23．（10分）（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D． (1)求的度数． (2)连接，求证：平分． (3)连接，求证：． 24．（12分）阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $