2.1 等式性质与不等式性质 归纳练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，系统整合不等式性质的表示、比较、判断、证明及实际应用，提炼作差法、作商法等核心方法，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等关系表示|3题|明确变量关系，选准不等号|从实际情境抽象数学符号，建立不等关系模型| |比较大小|6题|作差法（因式分解判符号）、作商法（与1比较）|通过代数变形实现数量大小比较，强化运算能力| |性质应用|12题|性质判断（正负数、乘除方向）、命题真假（反例验证）|以不等式性质为依据，培养逻辑推理与批判性思维| |证明与求范围|7题|同向不等式可加性、整体代换求范围|利用性质进行逻辑推导，提升数学论证能力| |实际应用|3题|建模转化（行程、利润问题）|用数学语言表达现实问题，发展应用意识|

2.1 等式性质与不等式性质 归纳练 2026-2027学年 上学期高中数学人教A版必修第一册 一、用不等式（组）表示不等关系 1．将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 2．在日常生活中，我们经常看到下列标志： 【思考】各个标志有什么作用？如何用一个数学式子表示其含义？ 3．怎样构建变量所满足的不等关系？ 二、利用作差法比较大小 4．已知x，y均为正数，设，比较m和n的大小． 5．已知，为正数，且，比较与的大小． 三、利用作商法比较大小 6．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 7．设，比较与的大小 8．若，求证：． 四、由不等式的性质比较数（式）大小 9．若,试比较和的大小. 10．若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 五、由已知条件判断所给不等式是否正确 11．设、、为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 六、利用不等式的性质判断命题的真假 13．若，则. ( ) 14．判断正误 是成立的充要条件．( ) 15．设，且，则.( ) 16．下列说法中，错误的是（    ） A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 七、利用不等式的性质证明简单的不等式 18．已知，，，求证：． 19．（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 八、利用不等式的性质求取值范围 20．若，则的取值范围为________. 21．已知1<a<4，2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围． 22．已知，，求的取值范围. 23．（1）已知，，求的取值范围； （2）比较两个代数式与的大小． （3）若2，4，求的取值范围. 九、不等式的实际应用 24．某城市有一个面积为的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（    ） A．步行道的宽度 B．步行道的宽度 C．步行道的宽度 D．草坪不可能为黄金矩形 25．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地． 26．一公司投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元,该公司通过引进先进技术,在生产线A投资减少了x万元,且每万元的利润提高了0.5x%;若将少用的x万元全部投入B生产线,每万元创造的利润为万元,其中. (1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,用不等关系表示; (2)若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润,用不等关系表示. 参考答案 题号 1 11 12 16 17 24 答案 D D BC A BC D 1．D 直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案. 由题意,可知另一段绳子的长度为. 因为两段绳子长度之差不小于，所以， 化简得：. 故选：D 2． ①是最低限速标志，限制车辆行驶速度v不得低于 km/h，可用表示； ②是限重标志，限制车辆装载总重量G不得超过10 t，可用表示； ③是限高标志，限制车辆装载高度h不得超过m，可用表示； ④是限宽标志，限制车辆装载宽度a不得超过3 m，可用表示； ⑤是限时标志，限制时间t的范围是，可用表示． 略 3．用不等式（组）正确表示出不等关系， 要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数，还是一组变量之间的不等关系； 然后类比等式的建立找到不等式，选准不等号，将量与量之间用不等号连接； 最后注意不等式与不等关系的对应，做到不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围． 略 4．m≥n. 用作差的方法，因式分解，判断符号，判断与0的关系，可得结果. ∵. 又x，y均为正数， ∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0. ∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)． 5． 通过作差，提取公因式便可得出，并根据条件可以判断，这样即可得出所比较两个式子的大小关系 ； ，且； ，； ； 即； ． 本题主要考查作差法比较两个代数式的大小关系，分解因式法的运用，以及平方差公式，属于基础题． 6． 由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. ∵，即. 又， . 故答案为：>. 7． 先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. ， ， ， . 8．证明见解析 作商法证明不等式. 证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 9． 根据不等式的性质比较即可. ，， 又，∴， ∴， ∴， 又∵， ∴. 10．，理由见解析. 利用不等式的基本性质，直接判断两式的大小关系. ，理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 11．D 根据不等式的性质判断A、D，利用特例说明B，利用作差法判断C. 因为、、为实数，且， 所以，，，，故A错误，D正确； 当时，故B错误， 因为，所以，故C错误； 故选：D 12．BC 根据不等性质分别判断各选项. A选项：当时，，A选项错误； B选项：，，B选项正确； C选项：，，C选项正确； D选项：当，时，，，D选项错误； 故选：BC. 13．错误 根据不等式的性质判断即可. 例如，满足， 但不成立，故错误. 故答案为：错误. 14．错误 根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 充分性：若时，无意义， 即当时，不一定有成立； 必要性：若，则， ，即. 故是的必要不充分条件. 故答案为：错误. 15．正确 利用不等式的性质分类讨论即可判断. 因为，且， 当时，显然有； 当时，由不等式的性质可得； 当时，则，可得， 此时可得，即，所以； 综上，若，且，则. 故答案为：正确. 16．A 对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断. 对于A，若，则，故A错误. 对于B，由，可知，所以，所以.故B正确. 对于C，，因为， 所以，所以.故C正确. 对于D，因为，所以.又，所以.故D正确. 故选：A. 17．BC 根据不等式的性质，结合特殊值判断. A. 取特殊值，，，显然不满足结论； B. 由可知，，由不等式性质可得，结论正确； C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确； D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误. 故选：BC. 18．证明见解析. 应用不等式的基本性质；同乘性：不等式两边同时乘以一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以一个负数，不等号改变．同向可加性：由，，能推出 证明：，， ．． 又， ． 即． 考查不等式的基本性质，同乘性与同向可加性，属于基础题． 19． （1）由，且， 所以，且 所以，所以， 即；所以，即． （2）要证， 只需证， 即证； 即证， 即证；即证，显然成立； 所以． (1)利用不等式的性质证明即可； (2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明. （1）略 （2）略 20． 根据已知条件结合不等式性质求范围即可. 因为,所以, 又因为,所以. 故答案为：. 21．8<2a＋3b<32，－7<a－b<2. 由1<a<4，2<b<8，求出2a、3b、－b的范围，然后利用不等式的性质得结果 ∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24 ∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又∵1<a<4， ∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. 故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2. 本题主要考查利用不等式的基本性质求范围，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 22． 先把转化为，利用不等式的可乘性和同向不等式相加即可求得. 设，则有： ，解得：，所以. 因为，所以， 因为，所以， 所以， 即， 所以的取值范围为. 23．（1）；（2）；(3) （1）由不等式的性质即可求解； （2）根据作差法比较大小即可； （2）由不等式的性质即可求解. （1）因为，，所以，所以. （2）， . （3）若2，4，则， 所以. 24．D 分别设草坪的长、宽，利用求解. 设草坪的长、宽分别为，（），步行道的宽度为， ， 则，草坪不可能为黄金矩形. 故选：D. 25．甲先到达B地． 设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，． 然后利用作差法或作商法比较大小，作商法中要注意结合基本不等式的使用得到结论. 设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，． 方法一  因为，即，所以甲先到达B地． 方法二  ，因为，所以，从而，即，所以甲先到达B地． 本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题. 26．(1)(2) 解:(1)由题意得,整理得. (2)由题意知,生产线B的利润为万元, 由（1）技术改进后生产线A的利润为万元, 则. 本题考查实际应用中的不等关系,属于基础题 学科网（北京）股份有限公司 $