培优04 一元二次函数、方程和不等式（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次函数、方程和不等式的性质应用与综合，通过分层题型构建从概念到应用的逻辑体系，培养运算能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等式与不等式的性质|4题型×3题|重性质判断、大小比较及取值范围推导|从不等式基本性质到逻辑推理，奠定基础| |基本不等式|6题型×3题|涵盖和积最值、恒成立、对勾函数及实际应用|性质应用进阶，强化建模与转化能力| |二次函数、方程与不等式|4题型×3题|突出含参不等式求解、参数确定及三者关系|函数与方程思想融合，实现知识综合应用|

专题04 一元二次函数、方程和不等式 常考题型·精准突破 考点一 等式与不等式的性质 题型1 不等式的性质（重） 题型2 比较两个数（式子）的大小 题型3 由不等式性质求取值范围（高频） 题型4 由不等式性质证明不等式 考点二 基本不等式 题型1 基本不等式求和的最小值（重） 题型2 基本不等式求积的最大值（重） 题型3 基本不等式恒成立问题（高频） 题型4 对勾函数求最值（高频） 题型5 基本不等式“1”的妙用求最值（高频） 题型6 基本不等式的实际应用 考点三 二次函数、方程与不等式 题型1 解不含参的一元二次不等式（重） 题型2 解含参的一元二次不等式（重） 题型3 由一元二次不等式的解确定参数（高频） 题型4 一元二次不等式与二次函数、方程的关系（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 等式与不等式的性质 ◆题型1不等式的性质 1．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． ◆题型2 比较两个数（式子）的大小 1．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． ◆题型3 由不等式的性质求取值范围 1．已知，，求，，的范围． 2．已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 3．（1）已知实数，满足，求和的取值范围 （2）已知满足，求的取值范围 ◆题型4 由不等式的性质证明不等式 1．（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 2．已知，求证：． 3．（1）已知．求证：． （2）已知，求证：的充要条件是． 考点二 基本不等式 ◆题型1基本不等式求和的最小值 1．设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 2．已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 3．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 ◆题型2 基本不等式求积的最大值 1．已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 3．若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． ◆题型3 基本不等式恒成立问题 1．已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 2．已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 3．已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围. ◆题型4 对勾函数求最值 1．下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 2．函数的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 3．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 ◆题型5 基本不等式“1”的妙用求最值 1．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 2．若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 3．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 ◆题型6 基本不等式的实际应用 1．某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 2．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 3．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 考点三 二次函数、方程与不等式 ◆题型1解不含参的一元二次不等式 1．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 2．解下列不等式 (1) (2) 3．解下列不等式： (1)； (2)； ◆题型2 解含参的一元二次不等式 1．解关于的不等式. 2．解下列关于x的不等式 3． 解关于的不等式（为常数且）. ◆题型3 由一元二次不等式的解确定参数 1．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 2．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（   ） A．8 B．12 C． D． ◆题型4 一元二次不等式与二次函数、方程的关系 1．函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 2．函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 3．对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 4．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 5．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 6．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 8．已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 9．不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 三、填空题 10．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 11．不等式 的解集为__________． 12．已知的解集为，则的解集是_______________. 四、解答题 13．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 14．（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 15．已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次函数、方程和不等式 常考题型·精准突破 考点一 等式与不等式的性质 题型1 不等式的性质（重） 题型2 比较两个数（式子）的大小 题型3 由不等式性质求取值范围（高频） 题型4 由不等式性质证明不等式 考点二 基本不等式 题型1 基本不等式求和的最小值（重） 题型2 基本不等式求积的最大值（重） 题型3 基本不等式恒成立问题（高频） 题型4 对勾函数求最值（高频） 题型5 基本不等式“1”的妙用求最值（高频） 题型6 基本不等式的实际应用 考点三 二次函数、方程与不等式 题型1 解不含参的一元二次不等式（重） 题型2 解含参的一元二次不等式（重） 题型3 由一元二次不等式的解确定参数（高频） 题型4 一元二次不等式与二次函数、方程的关系（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 等式与不等式的性质 ◆题型1不等式的性质 1．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质结合特殊值即可判断. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，因为，所以，则，故D正确． 3．如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C ◆题型2 比较两个数（式子）的大小 1．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 2．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，故A不成立； 当时，满足，此时， 故B不成立； 当时，满足， ，故，故C不成立； ，， ， ，故成立． 3．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． ◆题型3 由不等式的性质求取值范围 1．已知，，求，，的范围． 【详解】 ，， ，， ，； ，， ， ． 2．已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 【详解】（1）， （2） （3）由条件， ， 又 3．（1）已知实数，满足，求和的取值范围 （2）已知满足，求的取值范围 【详解】（1）因为实数，满足， 所以， 所以，； （2）因为， ， 所以. ◆题型4 由不等式的性质证明不等式 1．（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 2．已知，求证：． 【答案】 证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 3．（1）已知．求证：． （2）已知，求证：的充要条件是． 【答案】（1）证明: 由，所以． （2）证明: 因为，所以，又， 所以 ，即，充分性成立； ， 而，所以，即，必要性成立． 综上，的充要条件是． 考点二 基本不等式 ◆题型1基本不等式求和的最小值 1．设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由基本不等式求解最小值. 【详解】，当且仅当，即（因为）时取等号， 所以的最小值为. 2．已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 3．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. ◆题型2 基本不等式求积的最大值 1．已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 2．已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式求解. 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 3．若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式即可得到不等式，解出即可. 【详解】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. ◆题型3 基本不等式恒成立问题 1．已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 【详解】正数，且，则， 当且仅当时取等号，又恒成立，则， 所以m的取值范围是. 2．已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【详解】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 3．已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【详解】解：因为，，且， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，. ◆题型4 对勾函数求最值 1．下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 【答案】D 【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质直接可得. 【详解】对于A：当时， ， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是3，故A正确； 对于B：当，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值是，故B正确； 对于C：当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是5，故C正确； 对于D：令，所以， 由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，故D错误. 故选：D. 2．函数的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】设，函数变形后利用基本不等式求出，结合对勾函数性质得到答案. 【详解】设，则，， 因为， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以. 故选：D. 3．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． ◆题型5 基本不等式“1”的妙用求最值 1．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 2．若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 【答案】B 【详解】因为，，，所以 ， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 3．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. ◆题型6 基本不等式的实际应用 1．某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 【详解】（1）根据题意可得库房左侧面和右侧面的墙面面积之和为， 库房前面和后面的墙面面积之和为， 所以. （2）由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立. 故该库房的最低总造价为216000元. 2．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 3．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 考点三 二次函数、方程与不等式 ◆题型1解不含参的一元二次不等式 1．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【详解】（1）因， 则原不等式的解集为； （2）因， 则原不等式的解集为； （3）因， 因方程的判别式，故原不等式的解集为. 2．解下列不等式 (1) (2) 【详解】（1）由，得，则， 则，解得， 所以原不等式的解为. （2）不等式化为， 即，则，解得， 所以原不等式的解为. 3．解下列不等式： (1)； (2)； 【详解】（1）由 ，得，解得， 所以不等式的解集为 。 （2）不等式 等价于，解得或， 所以不等式的解集为 . ◆题型2 解含参的一元二次不等式 1．解关于的不等式. 【详解】由题意，，即， 由于方程的根为， ①当时，，故原不等式的解为； ②当时，，原不等式为，故原不等式无实数解； ③当时，，故原不等式的解为； 综上所述： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 2．解下列关于x的不等式 【详解】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 3．解关于的不等式（为常数且）. 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. ◆题型3 由一元二次不等式的解确定参数 1．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 2．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 3．已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式解集与方程根的关系可得，再由对勾函数单调性即可求得最小值. 【详解】由题中条件可知，是方程的两个根， 则，, 所以， 又，令， 可知该函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 则的最小值为． 故选：C ◆题型4 一元二次不等式与二次函数、方程的关系 1．函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，当时，，解得， 所以的解集为. （2）由题意，只有1个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1. （3），即的解集为， 当时，，解得，不符合要求， 当时，需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 2．函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以的解集为. （2）当时，恒成立； 当时，恒成立，则有，解得， 当时，显然不恒成立. 综上，的取值范围是. （3）有两个实数根，所以，，解得或，， 因为，所以， 解得或， 综上可得或. 3．对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【详解】（1）令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. （2）二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ， 不等式两边加同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此A错误； ∵ 不等式两边减同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此B正确； ∵ 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，因此C正确； 不等式两边减，得，因此D正确． 2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用“1的代换”构造符合基本不等式的结构，进而求解的最小值. 【详解】已知为正实数，且，则 ， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 3．的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即时取等. 4．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 5．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 6．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求出参数的值，再代入分式不等式，移项通分转化为整式不等式求解，注意排除分母为0的情况。 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 二、多选题 7．下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 8．已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A，利用基本不等式可判断的最大值；对于选项B，根据基本不等式，求出，再利用基本不等式求的最小值，判断B的正误；对于选项C，先对变形，再利用求其范围；对于选项D，由，通过换元，利用函数的单调性求其最小值. 【详解】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； ，令，则．函数在上单调递减， 所以在上的最小值为． 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 9．不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 三、填空题 10．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 11．不等式 的解集为__________． 【答案】 【详解】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为. 12．已知的解集为，则的解集是_______________. 【答案】 【详解】由题意可知是方程的两根， ∴，， ∴， ∴. 四、解答题 13．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 14．（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【详解】（1）原不等式可化为：， 故该不等式的解集为； （2）不等式的解集为 ， 这说明抛物线开口向下， 同时，和是方程的两个实数根， 利用韦达定理得：， 代入要求解的不等式中， 得：， 因为， 所以， 解得： 故不等式的解集为 . 15．已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $