四川省广安市加德学校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

**基本信息** 广安加德学校高2025级月考数学卷，以集合、命题、不等式、函数为核心，通过基础题巩固概念（如单选1-3）、综合题提升能力（如解答19题三问递进），体现数学思维的逻辑性与运算能力的严谨性。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/32|集合关系（1）、命题否定（3）、不等式性质（4）|基础概念辨析，如单选5结合基本不等式求最值| |多选题|3/15|集合运算（9）、不等式命题（10）|韦恩图直观考查集合关系（9），体现几何直观| |填空题|3/15|不等式解集（12）、存在性命题（13）|13题以假命题转化为恒成立问题，考查逻辑推理| |解答题|5/88|集合运算（15）、不等式证明（16）、含参不等式（17）、函数综合（19）|19题三问递进，从恒成立到方程根分布，考查函数与方程思想，层次分明|

广安加德学校2025-2026学年度上期高2025级第一次月考 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或或1 3．命题的否定是（   ） A． B． C． D． 4．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 6．若一元二次不等式的解集是，那么下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的两根为 7．已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 10．若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 11．已知，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 三、填空题 12．不等式的解集是 ． 13．已知，若命题：“存在，使得”为假命题，则的最小值为 . 14．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②；③；④. 与集合相等的集合序号是 . 四、解答题 15．（1）已知全集，集合，，求：和.（6分） （2）设全集，，，求，.（7分） 16．（1）比较和的大小.（7分） （2）已知a，b都是正数，求证：.（8分） 17．（1）解不等式．（6分） （2）求关于x的不等式的解集，其中a是常数．（9分） 18．已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围（8分）； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围（9分）． 19．已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围；(5分) (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，且，求的取值范围；(6分) (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根,求实数的取值范围；(6分) 参考答案 1.【答案】C 【详解】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误. 故选：C. 2.【答案】C 【详解】由集合元素的互异性可知，又因为，所以a的取值只能是A中的元素，所以或．故选：C． 3.【答案】A 【详解】由全称命题的否定可知，命题的否定是：，故选：A 4.【答案】D 【详解】因为，且， 所以，，故AC错误； 因为，，所以即恒成立，故D正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：D 5.【答案】A 【详解】因为，，根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】B 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则，结合选项可知满足， 故选：B 9.【答案】AD 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 10.【答案】BC 【详解】对于A，取，满足且，但，不满足，错误； 对于B，因为，， 所以，即，正确； 对于C，， 因为，所以，所以，所以成立，正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，错误. 故选：BC 11.【答案】AC 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 故选：AC 12.【答案】 【详解】∵，∴，∴，故答案为：. 13.【答案】 【详解】因为命题：“存在，使得”为假命题， 则“任意，都有”为真命题， 对于，所以， 要使“任意，都有”为真命题，则，即， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：. 14.【答案】①②④ 【详解】对于①中的集合，，设，，， 则，则，①中的集合与集合相等； 对于②中的集合，，设，，，且、不同时为零. 则，其中，，②中的集合与集合相等； 对于③中的集合，取，，，，则，③中的集合与集合不相等； 对于④中的集合，设，，其中、、、，则，，，④中的集合与集合相等. 因此，集合相等的集合序号是①②④. 故答案为①②④. 15.（1）【答案】 【详解】因为全集，集合，，所以， 所以； 因为，，所以. （2）【答案】; 【详解】，，则或， 则,. 16.（1）【答案】. 【详解】解： -==-3<0 所以 （2）【答案】证明见解析. 【详解】∵，∵由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立.即证. 17（1）【答案】或 【详解】方程有两个不相等的实数根，． 函数的图象如图所示，与轴有两个交点，， 由图象得不等式的解集为或． （2）【详解】原不等式可化为， 方程的根为，或. 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得 综上所述，当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 18.【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，…………………………………… 2分 因为，所以；………………………………………………… 4分 所以，解得，……………………………………………… 7分 所以实数的取值范围为……………………………………………………8分 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，………2分 当时，，解得，………………………………………4分 当时，，解得…………………………………………7分 经检验，时，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去。………8分 综上所述，实数的取值范围为．……………………………………9分 19.【答案】(1) (2){ (3) 【详解】（1）由得恒成立，恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）将方程化简可得， 由题意可知，且解得或， 又，可得，故， 因，由可得，则有， 故的取值范围是{． （3）当时，令， 当且仅当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程， 即有两个不同正根， 则，由第二个与第三个不等式可得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $