精品解析：湖北襄阳市枣阳市师苑高级中学2025-2026学年高三下学期第三次质检数学试题

2025-2026学年高三下学期第三次质检数学试题 （考试用时：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法及集合的运算求解. 【详解】因为，， 所以，， ，， 故选：B 2. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，是线段上靠近的一个三等分点，设，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件分别求出与的值，再使用正弦和差公式即可求解. 【详解】因为，所以有，即， ， 代入得， 则有. 4. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 5. 过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件结合三角形与内切圆的位置关系得出点在的角平分线上， 利用线线垂直证出四边形进而证出为正方形，由焦点到渐近线的距离结合双曲线、 、三者的几何意义，利用直线的斜率与倾斜角的关系式得出的值，结合双曲线的离心率与 的关系式得出双曲线的离心率. 【详解】如图， 设的内切圆的圆心为，则在的平分线上， 过点分别作于，于， 由得出四边形为正方形， 设，直线的方程为，则. 又因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 6. 国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式可求解. 【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示： 为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高，正四棱台上、下底面积为和， 所以体积 . 故选：A. 7. 已知函数，给出下列两个结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增． 则下列判断正确的是：（ ） A. ①②都错误 B. ①②都正确 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】B 【解析】 【分析】借助降幂公式可得，再结合余弦型函数性质计算即可得. 【详解】， ，故的最小正周期为，即①正确； 当时，， 由在上单调递增， 故在上单调递增，故②正确. 8. 已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用赋值法可得，，根据奇函数定义可得，赋值可得，分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解. 【详解】因为， 令，则，即， 且，可得， 令，则， 且不恒为0，则，即， 又因为为奇函数，则，即， 令，则，可得， 且， 令，则；令，则； 可得，可知函数的一个周期为4， 则， 所以. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（　　） A. 频率分布直方图中 B. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为 C. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为 D. 若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图所有矩形面积之和为1的性质求出未知频率，再结合分组数据依次计算出平均数、百分位数以及总体方差即可. 【详解】对于A，由题意得，解得，故A错误， 对于B，各组频率分别为， 则有，故B正确， 对于C，80分以下的频率为，90分以下的频率为， 所以第60百分位数落在之间，设其为， 则有，解得，故C正确， 对于D，设落在的成绩的总体平均数为，总体方差为， 由题意得落在的成绩的频率为， 则， 则，故D正确. 10. 如图，在棱长为3的正方体中，是棱上的点，，则（　　） A. 直线与直线所成角的正切值是 B. 直线与平面所成角的正切值是 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，连接， 因为， 所以直线与直线所成角即是直线与直线所成角， 因为平面，所以， 又，所以，A正确； 对于B，过点作于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以直线与平面所成角为， 且，所以， 所以，B错误； 对于C，连接，， 所以， 所以， 设点到直线的距离为， 则， 所以，C正确； 对于D，由图可知三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 故直径为，所以其外接球的表面积为，D正确. 11. 列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170－1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出 分别计算选项A和B，再利用递推性质求解. 【详解】由题意知： ， ; ，A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， =  ，故C错误； 对于D，由， 则 ，故D正确； 故选：BD. 三．填空题（满分15分，每小题5分） 12. 公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数的图象存在两条不同的公切线，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将有两条公切线转化为与直线有两个不同交点，后利用导数研究函数单调性与极值情况画出大致图象，即可得答案. 【详解】设切线在上的切点分别为 因为，则切线方程可表示为， 即，将点代入得到 又因为，即， 化简得到， 由函数的图象存在两条不同的公切线， 得到与直线有两个不同交点， 令，则， 令在上单调递增， 令在上单调递减，则， 注意到，可得大致图象如下： 由图象可得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 用1、2、3三个数字的全体或部分构造的四位数中，没有两个1相邻出现的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出用1、2、3三个数字可组成四位数的个数和没有两个1相邻出现的四位数个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】用1、2、3三个数字可组成个四位数， 没有两个1相邻出现的四位数分为三种情况： 若四位数中没有1，共有个， 若四位数中有1个1，共有个， 若四位数中有2个1，则这两个1不能相邻，有种放置方法， 其余两位各有2种选择（2或3），故共有个， 因此没有两个1相邻出现的四位数共有60个． 所以所求的概率为. 14. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】化简曲线为和直线为，得到直线恒过定点，结合题意，利用斜率公式，即可求解. 【详解】如图所示，由曲线， 可得，则， 又由直线，可化为，可得直线恒过定点， 则， 要使得直线与曲线有两个不同的交点，则满足或， 所以实数的取值范围为. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【小问1详解】 在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. 【小问2详解】 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 16. 已知函数，且满足. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）函数在区间上的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 由，则，解得； 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 令，即，解得， 列表如下： -2 2 3 0 0 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以有极大值有极小值， 又， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知球的半径为1，在球的内接八面体中，顶点分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥． （1）如图1，若点O在平面ABCD上，求证：平面QBC； （2）如图2，若二面角的正切值为，求该内接八面体的体积． 【答案】（1）证明：如图，连接AC，则AC必过点O， 在四边形PAQC中，由于对角线AC，PQ互相平分， 则四边形PAQC为平行四边形，故， 由于平面QBC，且平面QBC， 所以平面QBC； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由正棱锥性质推知，然后由线面平行的判定得到证明； （2）建立空间直角坐标系，由二面角的条件求出八面体的高和四边形的边长，进而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点B作，记正方形ABCD的中心为N，连接NA，NB， 由于平面ABCD， 平面ABCD，则，， 且，则BC，BA，BH两两垂直， 如图，以点B为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BH所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 由对称性，不妨设点O在N的下方，设， 则，，， 于是点，，，， 设平面PAB的一个法向量为，， ， 由，， 令，则，， 于是平面PAB的一个法向量为， 设平面QAB的一个法向量为， ，， 由，则， 令，则，， 于是平面QAB的一个法向量为， 设二面角P﹣AB﹣Q的平面角为θ，，则， 则 则， 则， 即内接八面体的体积为． 18. 已知抛物线的焦点为F，直线与W相切． （1）求W的方程． （2）过点F且与平行的直线与W相交于M、N两点，求． （3）已知点，不垂直于x轴的直线l与抛物线W交于A、B两点，若直线AQ、BQ关于x轴对称，求证：直线l过定点并写出定点坐标． 【答案】（1） （2）8 （3） 如图所示， 易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，，， 由得，所以，， 因为直线AQ，BQ关于轴对称，所以， 即，所以， 所以，所以， 解得，所以直线的方程为，直线过定点． 【解析】 【分析】（1）通过联立直线与抛物线方程，利用判别式为0求出的值，进而得到抛物线方程； （2）先求出直线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用抛物线的焦点弦长公式求出； （3）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，又直线AQ，BQ关于轴对称，得到，代入斜率具体的表达式后，结合韦达定理求出n的值，则可得到直线l所过定点坐标． 【小问1详解】 联立，整理得， 因为与相切，所以，解得或（舍去）， 故的方程为． 【小问2详解】 如图所示， 由（1）可知，因为，所以的方程为， 设，，联立， 整理得，则，， ． 【小问3详解】 略 19. 给定数列A：，，，和序列：，，…，，其中满足：①；②.对数列A进行如下s次变换：将A的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作；将的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作；……；以此类推，得到数列，简记为. （1）已知数列A：7，8，4，4，写出一个序列：，，使得为5，6，6，6； （2）对数列A：4，6，7，8，是否存在序列：，，…，，使得中恰有三项相等？若存在，写出一个序列，若不存在，说明理由； （3）对数列A：3，7，14，m，若存在序列：，，…，，使得中恰有三项相等，求m的所有取值. 【答案】（1），（或） （2）不存在，理由：由条件①②可得，，，，四个数中恰有三个和一个3，即都是奇数. 因此得到结论：对数列进行一次变换，新数列的每项与原数列对应项奇偶不同. 假设对数列A：4，6，7，8，存在序列：，，…，， 使得中恰有三项相等. 由于数列A：4，6，7，8中，4，6，8三项是偶数，7是奇数， 由结论可得，只能4，6，8这三项经过一系列变换后相等. 若在次变换中，4经过p次“”的变换和次“”的变换后， 结果为； 6经过q次“”的变换和次“”的变换后，结果为. 所以，即，偶数等于奇数，矛盾. 所以不存在序列：，，…，使得中恰有三项相等. （3）（，且） 【解析】 【分析】（1）直接根据的定义写出序列：，即可； （2）根据条件分析，确定变换后三等的三项，推出矛盾即可证明； （3）根据条件分析，确定变换后相等的三项为3，7，m，得到且，令分情况讨论得到的范围即可求解. 【小问1详解】 ，. （或，）. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 数列A：3，7，14，m中，3，7两项是奇数，14是偶数， 由（2）中的结论可得，3，7，m这三项经过次变换后相等. 设在s次变换中，3经过k次“”的变换和次“”的变换后， 结果为； 7经过l次“”的变换和次“”的变换后，结果为； m经过r次“”的变换和次“”的变换后，结果为； 所以且， 即且. 令，则，. 当时，于是； 当时，于是； 当时，于是； 当时，于是； 当时，于是； 当时，，且，于是， 即，与矛盾. 综上，（，且）. 【点睛】关键点睛： 涉及新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第三次质检数学试题 （考试用时：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，是线段上靠近的一个三等分点，设，，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 5. 过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，给出下列两个结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增． 则下列判断正确的是：（ ） A. ①②都错误 B. ①②都正确 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 8. 已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（　　） A. 频率分布直方图中 B. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为 C. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为 D. 若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为 10. 如图，在棱长为3的正方体中，是棱上的点，，则（　　） A. 直线与直线所成角的正切值是 B. 直线与平面所成角的正切值是 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥外接球的表面积为 11. 列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170－1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三．填空题（满分15分，每小题5分） 12. 公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数的图象存在两条不同的公切线，则实数的取值范围为__________. 13. 用1、2、3三个数字的全体或部分构造的四位数中，没有两个1相邻出现的概率为______. 14. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_______. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 16. 已知函数，且满足. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 已知球的半径为1，在球的内接八面体中，顶点分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥． （1）如图1，若点O在平面ABCD上，求证：平面QBC； （2）如图2，若二面角的正切值为，求该内接八面体的体积． 18. 已知抛物线的焦点为F，直线与W相切． （1）求W的方程． （2）过点F且与平行的直线与W相交于M、N两点，求． （3）已知点，不垂直于x轴的直线l与抛物线W交于A、B两点，若直线AQ、BQ关于x轴对称，求证：直线l过定点并写出定点坐标． 19. 给定数列A：，，，和序列：，，…，，其中满足：①；②.对数列A进行如下s次变换：将A的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作；将的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作；……；以此类推，得到数列，简记为. （1）已知数列A：7，8，4，4，写出一个序列：，，使得为5，6，6，6； （2）对数列A：4，6，7，8，是否存在序列：，，…，，使得中恰有三项相等？若存在，写出一个序列，若不存在，说明理由； （3）对数列A：3，7，14，m，若存在序列：，，…，，使得中恰有三项相等，求m的所有取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $