湖北武汉市华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高三下学期四月数学集中独立作业

高三年级四月集中独立作业 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】ACD 10．【答案】BCD 11．【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）由题n，，成等差数列，所以，①当时，，② ①②得：，即，所以， 当时，，解得，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即，又满足上式，因此，从而． 综上：，．6分（每个3分） （2）由（1）得，，， 从而．9分 由于m，k为正整数， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，． 综上只有当，时满足条件，因此存在，使得原等式成立．13分 16．【详解】（1）如图，连接，因为，， 故为等边三角形，所以，． 在中由余弦定理得 ， 所以，所以，故；2分 同理．又，所以平面．5分 【说明】没陈述，扣1分 （2）由（1）知，且，所以即为二面角的平面角，7分 在中由余弦定理可得，又， 所以．即二面角的大小为． 10分 （3）如图：设的外心为E，由正弦定理得，外接圆的直径为， 所以．连接，．过E作，， 过F作，，，， 易得的中点G满足，则G为球心 12分 所以三棱锥外接球半径为，表面积为． 15分 17．【详解】（1）解：当时，，当时，，所以．又，所以曲线在点处的切线方程为，即 4分 （2）解：（ⅰ）当时，由得单调递增，且．当时，， 若，因为，所以，即在上单调递增，且， 从而在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意，5分 若，令，可得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又当时，当时，所以要使有3个零点，则， 即，解得． 8分 所以实数a的取值范围为 9分 （ⅱ）由题可知，，， 所以，则①，②．11分 设公差为，即，由①可得，，由②可得，，则，化简得，解得（负值舍去），即公差．15分 18．【详解】（1）依题意，椭圆的，，则，所以椭圆C的焦距．4分 （2）设直线，切点为，由，得， 由，得，则，6分 由，得，则，因此， 解得，或，，所以直线的方程为或．10分 （3）设，，由，得直线斜率， 直线的方程为，整理得， 同理得直线的方程为，13分 由，得， 因此， 整理得，同理，（有同构思想就给2分）15分 则，是关于y的方程的两个根，， 因此直线的方程为，所以直线经过定点．17分 19．【答案】（1），，， （2） （3） 【详解】（1）依题意，，， ， ．（各1分） 4分 （2）设表示n次取球后乙口袋有2个黄球，表示n次取球后乙口袋有1个黄球，C表示一次操作甲乙都取的是红球，D表示一次操作甲取的是红球同时乙取的是黄球，E表示一次操作甲取的是黄球同时乙取的是红球，F表示一次操作甲，乙都取黄球， 当时，， 则， ， ， ， 因此，即，， 所以是为首项为公比的等比数列．故．7分 依题意，的分布列为 0 1 2 P 故期望．10分 （3）由（2）知， ， 而所有元素之和可以看作集合中所有子集中元素之和． 设集合为一共有n个不同的元素， 而一个包含a的子集，对于剩下的个元素， 每个元素可以独立地选择“放入子集”或“不放入子集”， 因此对于剩下的个元素，每个都有2种选择，由乘法原理，这样的子集个数为， 由此可知一个所有子集中元素之和为该集合各个元素之和的倍， 故所有元素之和可写为， 令 14分 所以 故， 所以． 故所有元素之和可写为 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级四月集中独立作业 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，，则 A． B． C． D． 2．的共轭复数是 A． B． C． D． 3．已知点P是的重心，则 A． B． C． D． 4．的展开式中的系数为 A． B． C．10 D．50 5．已知数列满足，，且对任意正整数n，都有，其中k为常数，则“”是“为等比数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．迄今，我国已构建起“全海域适应、多场景应用”的深潜技术体系．一科研团队为某次深潜做准备，先利用多波束测深进行海洋测绘．如图为探测船沿着固定测线利用探测器进行单测线测绘的示意图．其中海底坡面可视为与海底平面成角的光滑平面，探测器可探测平面与测线垂直．探测船在海平面内沿着与海底坡面平行的测线行驶，且探测过程中以竖直线为角平分线向下探测形成开角，可探测海底坡面内线段长为L．设探测船到海底坡面的竖直距离为h，当，，时，L的长度为 A．150 m B． C．100 m D． 7．已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于 A． B． C． D． 8．从1，2，3，…，10这十个数中随机抽取一个数记为X，再从1，2，…，X这X个数中随机抽取一个数记为Y，则数学期望 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．设a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，该三角形旋转一周形成圆锥，则 A．当时，圆锥的表面积为 B．当时，圆锥的体积为 C．在旋转过程中，当直线与a成角时，与b成角 D．在旋转过程中，当直线与a所成角为最小值时， 10．设动直线与圆相切，且与圆相交于两点A、B，点P为直线上动点，则 A．存在以为直径的圆与相切 B． C． D． 11．设函数，则 A．当，时，曲线在坐标原点处的切线方程为 B．当时，若在上单调递减，则 C．当时，不存在a，使为的极大值点 D．当，时，在上存在唯一的零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，则________． 13．已知，对任意正数x，恒成立，则的最小值为________． 14．在四棱锥中，，，则四棱锥的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前n项和为，且n，，成等差数列，数列满足． （1）求数列，的通项公式； （2）是否存在正整数m，k使得？若存在，请求出m，k的值；若不存在，请说明理由． 16．（15分）如图，在四棱锥中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）求三棱锥外接球的表面积． 17．（15分）已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有3个不同的零点，，（）． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若，，成等差数列，求该数列的公差d． 18．（17分）已知椭圆，动点在抛物线上，过点P作椭圆的两条切线分别交抛物线于不同的两点，． （1）求椭圆C的焦距； （2）若切线与椭圆的切点恰好是的中点，求直线的方程； （3）证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 19．（17分）甲口袋中装有3个大小材质相同的红球，乙口袋中装有与甲口袋大小材质相同的2个黄球和1个红球．现从甲、乙两口袋中各随机摸取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为． （1）求，和，； （2）求的数学期望（用n表示）； （3），若，有 ，求所有元素之和． 学科网（北京）股份有限公司 $