2.8 函数模型的应用 专项训练 - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用，以考点-考法架构系统覆盖初等函数、指数对数模型及拓展探究，通过典型例题培养数学建模与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |初等函数模型构建与优化|4考法6题|分式/二次函数最值、图象匹配、离散状态建模、周期函数应用|从静态模型到动态过程，建立实际问题与函数性质的对应关系| |指数对数模型综合应用|3考法14题|指数增长、衰减与半衰期、复杂背景估算|以指数对数函数性质为核心，解决增长/衰减类实际问题，强化对数运算与估算| |函数模型拓展与新定义|2考法3题|函数增长阶比较、动态博弈策略规划|从经典模型到前沿应用，培养数学抽象与逻辑推理能力|

2027届高三数学一轮复习专项训练 2.8 函数模型的应用 解析卷 答案速查表 1 考点一：初等函数模型的实际构建与最值优化 1 考法1：分式与二次函数模型在最优化问题中的应用 1 考法2：实际变化过程与函数图象的匹配识别 3 考法3：代数与离散迁移状态的函数建模 4 考法4：潮汐退潮与港口通航的周期函数模型 4 考点二：指数函数与对数函数模型的综合应用 5 考法5：指数型增长与对数反解模型 5 考法6：指数衰减与半衰期问题的对数求解 6 考法7：复杂背景下指数衰减与对数估算模型 8 考点三：函数模型拓展与新定义决策探究 10 考法8：函数增长阶与算法复杂度的比较判断 10 考法9：动态博弈与极值策略的函数规划模型 12 2.8 函数模型的应用 方法总结 14 答案速查表 1 2 3 4 5 （1）； （2） （1），432人； （2）4分钟，112元 D B C 6 7 8 9 10 A B B C B 11 12 13 14 15 A C A A C 16 17 18 19 20 D D C D ACD 21 22 ABD （1）； （2） 考点一：初等函数模型的实际构建与最值优化 考法1：分式与二次函数模型在最优化问题中的应用 1.（2026·安徽合肥一六八中·一模）某地区上年度天然气价格为 ，年用气量为 ．本年度计划将天然气单价下调到 至 之间．用户期望天然气单价为 ，经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为 ）．已知该地区天然气的成本价为 ． （1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益 （单位：元）关于实际单价 （单位：）的函数解析式；（收益=实际用气量（实际单价成本价）） （2）设 ，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加 ？ 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问根据反比例关系写出实际用气量的表达式，再结合收益公式列出函数关系式，注意自变量的实际取值范围；第（2）问将参数代入收益函数，依据题意建立关于单价的不等式组求解. 【解析】（1）设下调后的天然气单价为 ，. （2）由题意可知要同时满足以下条件：，解得 ，即天然气单价最低定为 . 2.（2026·安徽合肥一六八中·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片．安徽省合肥市于 2016 年开通了地铁 1 号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔 （单位：分钟）满足 ，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔 相关，当 时，载客量会逐渐增加，载客量与 成一次函数关系，且发车时间间隔为 3 分钟时的载客量为 333 人，当 时，列车为满载状态，载客量为 480 人，记列车载客量为 ． （1）求 的表达式，并求当发车时间间隔为 6 分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值． 【答案】（1），当发车时间间隔为 6 分钟时，列车的载客量为 432 人；（2）当发车时间间隔为 4 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为 112 元. 【思路】第（1）问根据分段特征设出解析式，利用已知样本点用待定系数法求解；第（2）问分段代入净收益表达式，利用基本不等式及函数单调性分别求出各段最大值，进而确定全局最值. 【解析】（1）由题设，当 时，令 ，又发车时间间隔为 3 分钟时的载客量为 333 人，10 分钟时的载客量为 480 人，，.当 时，，.故 时，，所以当发车时间间隔为 6 分钟时，列车的载客量为 432 人. （2）因为 ，所以由（1）可得：.当 时，，当且仅当 等号成立，则 时，（元）；当 时， 在 递减，则 （元）.综上，发车时间间隔为 4 分钟时，该线路每分钟的净收益最大为 112 元. 考法2：实际变化过程与函数图象的匹配识别 3.（2026·山东泰安·二模）2002 年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了 5 件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经 3D 打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时 14.4 分钟，100 件漏完恰好为 24 小时．如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度 与时间 的函数的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】抓住沙子匀速下漏时体积变化率恒定这一物理特征，分析容器截面半径随高度的变化趋势，得出高度变化率的快慢特征，从而识别对应函数的凹凸性与单调性. 【解析】由题意，沙子匀速下漏，即剩余沙子的体积 随时间 是均匀减小的，即 为常数.上部为圆台，截面积随高度降低而减小，因此高度下降的速度逐渐加快（图象切线斜率绝对值逐渐变大，呈下凸趋势）；下部为圆锥，截面积进一步迅速变小，高度下降更快.整体图象为单调递减且下降速度加快的曲线，对应选项D.故选D. 考法3：代数与离散迁移状态的函数建模 4.（2025·广东衡水金卷·联考）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为 （单位：分米/秒）时的跳跃高度 （单位：米）近似满足 的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】将所给关系式通过代数变形分离出目标变量 ，转化为关于 的函数形式，再利用基本不等式求解最值. 【解析】由 可知 ，故 ，当且仅当 时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度约为 .故选B. 5.（2025·江苏苏锡常镇·一模）我市某校共有 1500 名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有 的学生第二天会到楼下食堂用午餐；而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有 的学生第二天会到楼上食堂用餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为 A. 700 B. 800 C. 900 D. 1000 【答案】C 【思路】理解“一学期后人数稳定”即达到稳态分布，设出稳态时楼上就餐人数，根据人数转移平衡列方程求解. 【解析】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为 ，则楼下食堂用午餐的学生数大约为 ，原本在楼上食堂且留下的学生：占比 ，即 ，从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的 ，即 ，所以 ，解得 .所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为 900.故选C. 考法4：潮汐退潮与港口通航的周期函数模型 6.（2026·辽宁抚顺六协作体·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度 （单位：cm）关于时间 （单位：s）的函数解析式为 （ 为参数）．已知刚开始退潮时水面高度为 ，若从 到 ，水面高度下降了 ，则 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【思路】先由初始条件 时 确定常数 ，再根据高度差列出关于 的分式方程求解并检验. 【解析】由题意可得 ，解得 .令 ，即 ，化简得 ，解得 （ 舍去）.故选A. 考点二：指数函数与对数函数模型的综合应用 考法5：指数型增长与对数反解模型 7.（2026·浙江嘉兴桐乡·检测）某款新能源汽车 2025 年的产量为 5000 辆，从 2026 年开始每年不断扩大生产规模，计划到 2030 年此款汽车年产量达到 10000 辆，那么 2025～2030 年的年平均增长率大约为（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】设出年平均增长率，根据复合增长模型列出指数方程，两边取常用对数，结合已知对数估算值反解增长率. 【解析】设 2025～2030 年的年平均增长率为 ，根据题意可得 ，化简得 ，方程两边取对数得 ，又 ，所以 .故 .所以 ，即 2025～2030 年的年平均增长率大约为 .故选B. 8.（2026·山东烟台·二模）已知某数据中心的算力 （单位：EFLOPS）与芯片投入量 （单位：万片）满足饱和增长模型：，，其中 为该中心最大理论算力．已知投入 2 万片芯片时，算力 ，若要求算力 ，则芯片投入量至少为 A. 3 万片 B. 4 万片 C. 5 万片 D. 6 万片 【答案】B 【思路】根据初始投入量与算力对应值求出基础指数项 的值，再将目标不等式转化为关于 的不等式，利用指数单调性求解. 【解析】由题意得当 时，，即 ，解得 .若要求算力 ，则 ，即 .因为 ，所以 ，解得 .所以芯片投入量至少为 4 万片.故选B. 9.（2026·甘肃·联考）某 AI 大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为 ，经过 年后算力为 ，则 与 的函数关系式为 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】明确时间单位的转换， 年包含 个半年，每次翻番即乘以 2，结合指数运算性质化简解析式. 【解析】 与 的函数关系式为 .故选C. 考法6：指数衰减与半衰期问题的对数求解 10.（2026·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到 的驾驶员即为酒后驾车， 及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了 ，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：，） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【思路】注意单位换算（ 对应 100mL 血液含 50mg 酒精），建立指数衰减不等式，两边取常用对数求解. 【解析】设至少经过 小时后才能安全驾驶，则满足：，化简得：，根据 是增函数可得：，即 ，因为 ，所以 ，所以他至少要经过 2 小时后才能驾驶.故选B. 11.（2026·重庆育才中学·模拟）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：）与时间 （单位：h）间的关系为 ，其中 是正的常数．如果在前 7h 消除了 的污染物，那么 14h 后所剩污染物为 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】由前 7h 的数据得出衰减因子 ，14h 对应两个衰减周期，利用指数幂性质直接求解. 【解析】由题意得 ， 是正的常数，故 ，两边取对数得 ，故 ，所以 14h 后所剩污染物为 .故选A. 12.（2026·山东枣庄·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：）与时间 （单位：h）间的关系为 ，其中 是正的常数．如果在前 5h 消除了 的污染物，那么要消除 的污染物大约需要（参考数据：，） A. 10h B. 12h C. 14h D. 16h 【答案】C 【思路】分别列出消除 与消除 时的指数关系式，通过作比消除参数 ，再换底为常用对数计算估值. 【解析】由题意知，当 时，，即 ，得 ，.设要消除 的污染物需要时间为 ，则 ，即 ，.两式相比得 ，所以 .故选C. 13.（2025·河南驻马店·联考）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：）与时间 （单位：h）间的关系为 ，其中 是正的常数，如果前 10h 消除了 的污染物，那么从消除 的污染物到消除 的污染物大约需要经历 A. 10h B. 4h C. 40h D. 8h 【答案】A 【思路】先利用半衰期求出衰减系数 ，再写出对应消除比例下的方程，作商求出时间差 . 【解析】由题意可知：，即 ，即 ，设消除 的污染物对应事件为 ，即 ，设消除 的污染物对应事件为 ，即 ，两式相除可得：，即 ，所以：，即从消除 的污染物到消除 的污染物大约需要经历 10h.故选A. 14.（2024·广东华师附中·模拟）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量 （单位：）与时间 （单位：h）之间的关系为：（其中 是正常数）．已知经过 1h，设备可以过滤掉 的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（参考数据：） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 【答案】A 【思路】根据 1h 的过滤比例求出单周期衰减基数，再对半衰方程两边取常用对数计算估值. 【解析】由题意可知，当 时，，即 ，.设过滤一半污染物所需时间为 ，则 ，即 ，，两边取以 10 为底的对数，，即 ，，.故选A. 考法7：复杂背景下指数衰减与对数估算模型 15.（2025·江西重中盟校·联考）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．某同学根据自己记忆 100 个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率 （记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间 （单位：小时）的函数关系式为 ，当记住的单词仅剩 25 个时，则离初次记忆经过了（参考数据：，） A. 100 小时 B. 300 小时 C. 1000 小时 D. 3000 小时 【答案】C 【思路】根据记忆单词数量建立方程，化简出幂式后两边取常用对数，代入已知对数数据求解时间 . 【解析】由题意得 ，所以 ，即 ，两边同时取以 10 为底的对数，得 ，所以 ，.故选C. 16.（2025·山东青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量 与时间 （单位：年）的关系为 ，其中 是臭氧的初始含量．臭氧消失一半所需要的时间约为（，精确到 1 年） A. 265 年 B. 266 年 C. 276 年 D. 277 年 【答案】D 【思路】令 建立指数方程，解出 并计算出精确到 1 年的结果. 【解析】令 ，可得 ，可得 ，所以，，故臭氧消失一半所需要的时间约为 277 年.故选D. 17.（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量 随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量 与时间 之间满足关系式 ，其中 是臭氧的初始含量，则 A. 随着时间 的增加，臭氧含量在增加 B. 当 从 1 变化到 2 时，臭氧含量减少 C. 当 从 0 变化到 2 时，臭氧含量的平均变化率为 D. 当 时，臭氧含量的瞬时变化率为 【答案】D 【思路】理解导数、平均变化率与瞬时变化率的物理意义，对所给指数函数求导并逐项代入判断. 【解析】A选项，由 知 ，臭氧含量随时间增加在减少，A错误；B选项，当 从 1 变化到 2 时，臭氧含量减少量为 ，B错误；C选项，平均变化率为 ，C错误；D选项，由 ，当 时，，D正确.故选D. 18.（2026·浙江宁波·一模）大气压强 ，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度 （m）的变化规律可以近似的表示为 （其中 为自然对数的底数， 是海平面大气压强， 为常数）．已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为 1018m，大气压强为 90900Pa，宁波城区一处的海拔约为 4m，大气压强为 101000Pa．现测得某山峰上一处的大气压强为 80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】联立已知两处海拔与气压方程求出系数 ，再对目标点列式消去 ，通过对数换底公式与参考数据估算海拔范围. 【解析】设城区的压强为 ，四明山的压强为 ，由题意得 ，，两式作除法可得 ，解得 ，对于目标点，可得 ，由已知得 ，两式作除法可得 ，解得 ，在 内，故C正确.故选C. 19.（2026·湖南雅礼中学·模拟）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质 含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知 的质量 随时间 的指数衰减规律是：（其中 为 的初始质量）．则当 的质量衰减为最初的 时，所经过的时间约为（参考数据：，） A. 20 年 B. 15 年 C. 12 年 D. 10 年 【答案】D 【思路】根据衰减模型建立以 2 为底的指数方程，两边取常用对数，利用对数的运算法则及参考数据计算时间. 【解析】设经过的时间为 年，由题意得，，所以 .所以 .故选D. 考点三：函数模型拓展与新定义决策探究 考法8：函数增长阶与算法复杂度的比较判断 20.（2026·山东菏泽·二模）（多选）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义，设两组数据分别为 和 ，这两组数据间的闵氏距离定义为 ，其中 表示阶数，则下列说法正确的有 A. 若 ，，则 B. 若 ，，其中 ，则 的最小值为 C. 若 ，，其中 ，则 的最小值为 1 D. 若 ，，则对任意实数 ，都有 【答案】ACD 【思路】理解新定义闵氏距离的公式，结合绝对值三角不等式、曲线与直线的几何距离、函数最值以及函数的单调性逐项分析. 【解析】对于 A，，故 A 正确； 对于 B，，表示曲线 上的点 与直线 上的点 之间的距离，切线平行于 ，令 ，切点为 ，点 到直线 的距离为 ，故最小值为 ，B 错误； 对于 C，.设 ，，，当 时取等号，故最小值为 1，C 正确； 对于 D，对于 ，，，.由 ，记 ，，则 .令 ，由分析可知对 ， 单调递减，所以 ，D 正确.故选ACD. 21.（2025·广东衡水金卷·联考）（多选）数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号 来衡量某个操作的复杂度，设定义在全体正整数上的函数 与 ，若存在正常数 ，同时存在常数 ，使任意 时，，则称 是 的复杂函数，则下列函数中，满足 是 的复杂函数的有（设 均为非零实数） A. B. C. D. 【答案】ABD 【思路】紧扣大 记号的渐近上界定义，分别验证是否存在正数 和阈值 ，使得从某处起 恒成立. 【解析】存在常数 ，同时存在常数 ，使任意 时，，故 是 的复杂函数，故 A 正确； 存在常数 ，同时存在常数 ，使任意 时，，故 是 的复杂函数，故 B 正确； 易知 均为正数，故令 ，解得 对于充分大的 均成立，但函数 值域为 ，故不存在正常数 恒成立，故 C 错误； 存在常数 ，同时存在常数 ，使任意 时，，故 是 的复杂函数，故 D 正确.故选ABD. 考法9：动态博弈与极值策略的函数规划模型 22.（2026·江苏南京鼓楼·二模）给定实数，甲、乙两人玩如下的游戏．首先在黑板上写出一个含有 个绝对值的算式：，其中每个绝对值里都有两个空格“”，所有的空格“”都尚未填数．每一回合，先由甲选取区间 中的一个实数（不同的回合可以选取相同的数），再由乙将其填在某个空格之中．这样 个回合之后所有的空格均填了数， 的值也随之确定．若 ，则甲胜，否则乙胜． （1）当 时，求所有实数 ，使得甲有获胜策略，并说明理由； （2）当 时，求所有实数 ，使得甲有获胜策略，并说明理由． 【答案】（1）甲有获胜策略的是不超过 的所有实数，理由见解析；（2）甲有获胜策略的是不超过 的所有实数，理由见解析. 【思路】博弈问题需分别证明甲的最大化保证策略和乙的最小化压制策略，通过区间分割（二等分、八等分）构造数值序列，确定博弈的纳什均衡值. 【解析】（1）， 时甲有获胜策略，理由如下： 甲有策略使得 ，甲先选 0（选 1 亦可），乙第一步选择无实际意义，，甲再选 1，若乙将其与 0 填在同一个绝对值中，甲再选 0、1，可使 ，若乙将其填在另一个绝对值中 ，甲再选 ，则某个绝对值得到 ，最后一个数甲可以使另一个绝对值为 1，此时 . 乙有策略使得 ，若甲的前两个数相差不超过 ，乙将其填在同一个绝对值中，这样一个绝对值不超过 ，另一个绝对值不超过 1，从而 ；若甲的前两个数相差超过 ，乙将其填在不同绝对值中，设 且 ，，从而 ，甲的第三个数 必定满足 且 ，或 且 ，从而乙可以使得一个绝对值不超过 ，另一个绝对值总不超过 1，故乙可以使得 .综上，甲有获胜策略的是不超过 的所有实数. （2）， 时甲有获胜策略，理由如下： 甲有策略使得 ，甲依次选 0、1，若乙填在同一个绝对值中，由 的讨论知甲可以使得 ；若乙填在不同绝对值中，甲再选 ，乙若填在和 0 或 1 同一个绝对值中，由 的讨论知甲可以使得 ；若乙填在第三个绝对值中，则 ，甲选 ，若乙放在第一个绝对值中，甲选 0、0，则 ；若乙放在第二个绝对值中，甲选 1、1，则 ；若乙放在第三个绝对值中，由 的讨论知甲可以使得前两个绝对值之和不小于 ，故 . 乙有策略使得 ，若甲的前两个数差不超过 ，则将数填在同一个绝对值中，甲选了第三个数，若三个数中有两个数的差不超过 ，乙将这两个数放在同一个绝对值中，再由 的讨论知乙可以使得 ；若甲的前三个数两两相差均大于 ，则乙将三个数填在不同绝对值中，现假设 ，，，，由对称性，不妨设 ，甲的第四个数为 ： 情形一：若 ，乙将 与 放在同一个绝对值中，由于 ，，而前两个绝对值不超过 ，为 ； 情形二：若 ，乙将 与 放在同一个绝对值中，则 ，剩下 ，由 的讨论知乙可以使得剩下两个绝对值之和不超过 ，从而 ； 情形三：若 ，乙将 与 放在同一个绝对值中，由于 ，，剩下 ，同情形二可知乙可以使得 ； 最后注意到 ，上述三种情形包括了 的所有可能性（有可能会重叠，此时可以任意选择某个情形）. 综上，甲有获胜策略的是不超过 的所有实数. 2.8 函数模型的应用 方法总结 1. 构建初等函数模型（如分式函数、二次函数）解决实际最优化问题时，首先需要依据实际背景正确列出关系式，并特别注意自变量的实际取值范围.在求最值时，常利用基本不等式 或函数的单调性，注意验证等号成立的条件是否在定义域内.（第1、2题） 2. 在物理与几何变化过程与函数图象的匹配问题中，抓住导数的几何意义（变化率与切线斜率）和凹凸性是破题关键.例如容器注水或沙漏下漏问题，当截面积随高度递减时，高度下降的速度逐渐加快，对应函数图象下凸且切线斜率绝对值递增.（第3题） 3. 在离散状态转移与稳态分布模型中，系统经过长期迭代后各状态的人数比例达到动态平衡，此时根据“流入量等于流出量”建立稳态代数方程即可快速求解.（第5题） 4. 指数增长与衰减模型是高考考查的重点，其通用形式为 或 .求解此类问题的核心步骤为：①由初始条件或已知单周期数据确定基础衰减因子；②对目标等式两边取常用对数或自然对数；③利用换底公式 结合题目给出的参考数据进行精确估算.（第7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19题） 5. 面对新定义函数模型与算法复杂度（如大 记号、闵氏距离等），应严格紧扣新定义中的数学条件，将抽象符号转化为函数比较、极值求解或极限性质判定.（第20、21题） 6. 动态博弈与极值策略问题，需要从博弈双方分别构造最优策略：证明 时需为先手方设计具体的数值选取方案使得无论后手如何应对均能达到目标；证明 时需为后手方设计应对策略控制极值，通常结合区间二等分、对称性与绝对值不等式进行分情况讨论.（第22题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练 2.8 函数模型的应用 练习卷 考点一：初等函数模型的实际构建与最值优化 1 考法1：分式与二次函数模型在最优化问题中的应用 1 考法2：实际变化过程与函数图象的匹配识别 2 考法3：代数与离散迁移状态的函数建模 2 考法4：潮汐退潮与港口通航的周期函数模型 3 考点二：指数函数与对数函数模型的综合应用 3 考法5：指数型增长与对数反解模型 3 考法6：指数衰减与半衰期问题的对数求解 4 考法7：复杂背景下指数衰减与对数估算模型 5 考点三：函数模型拓展与新定义决策探究 6 考法8：函数增长阶与算法复杂度的比较判断 6 考法9：动态博弈与极值策略的函数规划模型 7 考点一：初等函数模型的实际构建与最值优化 考法1：分式与二次函数模型在最优化问题中的应用 1.（2026·安徽合肥一六八中·一模）某地区上年度天然气价格为 ，年用气量为 ．本年度计划将天然气单价下调到 至 之间．用户期望天然气单价为 ，经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为 ）．已知该地区天然气的成本价为 ． （1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益 （单位：元）关于实际单价 （单位：）的函数解析式；（收益=实际用气量（实际单价成本价）） （2）设 ，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加 ？ 2.（2026·安徽合肥一六八中·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片．安徽省合肥市于 2016 年开通了地铁 1 号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔 （单位：分钟）满足 ，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔 相关，当 时，载客量会逐渐增加，载客量与 成一次函数关系，且发车时间间隔为 3 分钟时的载客量为 333 人，当 时，列车为满载状态，载客量为 480 人，记列车载客量为 ． （1）求 的表达式，并求当发车时间间隔为 6 分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值． 考法2：实际变化过程与函数图象的匹配识别 3.（2026·山东泰安·二模）2002 年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了 5 件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经 3D 打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时 14.4 分钟，100 件漏完恰好为 24 小时．如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度 与时间 的函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 考法3：代数与离散迁移状态的函数建模 4.（2025·广东衡水金卷·联考）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为 （单位：分米/秒）时的跳跃高度 （单位：米）近似满足 的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（　　） A. B. C. D. 5.（2025·江苏苏锡常镇·一模）我市某校共有 1500 名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有 的学生第二天会到楼下食堂用午餐；而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有 的学生第二天会到楼上食堂用餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（　　） A. 700 B. 800 C. 900 D. 1000 考法4：潮汐退潮与港口通航的周期函数模型 6.（2026·辽宁抚顺六协作体·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度 （单位：cm）关于时间 （单位：s）的函数解析式为 （ 为参数）．已知刚开始退潮时水面高度为 ，若从 到 ，水面高度下降了 ，则 （　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 考点二：指数函数与对数函数模型的综合应用 考法5：指数型增长与对数反解模型 7.（2026·浙江嘉兴桐乡·检测）某款新能源汽车 2025 年的产量为 5000 辆，从 2026 年开始每年不断扩大生产规模，计划到 2030 年此款汽车年产量达到 10000 辆，那么 2025～2030 年的年平均增长率大约为（　　）（参考数据：，） A. B. C. D. 8.（2026·山东烟台·二模）已知某数据中心的算力 （单位：EFLOPS）与芯片投入量 （单位：万片）满足饱和增长模型：，，其中 为该中心最大理论算力．已知投入 2 万片芯片时，算力 ，若要求算力 ，则芯片投入量至少为（　　） A. 3 万片 B. 4 万片 C. 5 万片 D. 6 万片 9.（2026·甘肃·联考）某 AI 大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为 ，经过 年后算力为 ，则 与 的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 考法6：指数衰减与半衰期问题的对数求解 10.（2026·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到 的驾驶员即为酒后驾车， 及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了 ，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（　　）（结果取整数，参考数据：，） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.（2026·重庆育才中学·模拟）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：）与时间 （单位：h）间的关系为 ，其中 是正的常数．如果在前 7h 消除了 的污染物，那么 14h 后所剩污染物为（　　） A. B. C. D. 12.（2026·山东枣庄·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：）与时间 （单位：h）间的关系为 ，其中 是正的常数．如果在前 5h 消除了 的污染物，那么要消除 的污染物大约需要（　　）（参考数据：，） A. 10h B. 12h C. 14h D. 16h 13.（2025·河南驻马店·联考）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：）与时间 （单位：h）间的关系为 ，其中 是正的常数，如果前 10h 消除了 的污染物，那么从消除 的污染物到消除 的污染物大约需要经历（　　） A. 10h B. 4h C. 40h D. 8h 14.（2024·广东华师附中·模拟）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量 （单位：）与时间 （单位：h）之间的关系为：（其中 是正常数）．已知经过 1h，设备可以过滤掉 的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（　　）（参考数据：） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 考法7：复杂背景下指数衰减与对数估算模型 15.（2025·江西重中盟校·联考）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．某同学根据自己记忆 100 个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率 （记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间 （单位：小时）的函数关系式为 ，当记住的单词仅剩 25 个时，则离初次记忆经过了（　　）（参考数据：，） A. 100 小时 B. 300 小时 C. 1000 小时 D. 3000 小时 16.（2025·山东青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量 与时间 （单位：年）的关系为 ，其中 是臭氧的初始含量．臭氧消失一半所需要的时间约为（　　）（，精确到 1 年） A. 265 年 B. 266 年 C. 276 年 D. 277 年 17.（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量 随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量 与时间 之间满足关系式 ，其中 是臭氧的初始含量，则（　　） A. 随着时间 的增加，臭氧含量在增加 B. 当 从 1 变化到 2 时，臭氧含量减少 C. 当 从 0 变化到 2 时，臭氧含量的平均变化率为 D. 当 时，臭氧含量的瞬时变化率为 18.（2026·浙江宁波·一模）大气压强 ，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度 （m）的变化规律可以近似的表示为 （其中 为自然对数的底数， 是海平面大气压强， 为常数）．已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为 1018m，大气压强为 90900Pa，宁波城区一处的海拔约为 4m，大气压强为 101000Pa．现测得某山峰上一处的大气压强为 80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（　　）（参考数据：，） A. B. C. D. 19.（2026·湖南雅礼中学·模拟）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质 含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知 的质量 随时间 的指数衰减规律是：（其中 为 的初始质量）．则当 的质量衰减为最初的 时，所经过的时间约为（　　）（参考数据：，） A. 20 年 B. 15 年 C. 12 年 D. 10 年 考点三：函数模型拓展与新定义决策探究 考法8：函数增长阶与算法复杂度的比较判断 20.（2026·山东菏泽·二模）（多选）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义，设两组数据分别为 和 ，这两组数据间的闵氏距离定义为 ，其中 表示阶数，则下列说法正确的有（　　） A. 若 ，，则 B. 若 ，，其中 ，则 的最小值为 C. 若 ，，其中 ，则 的最小值为 1 D. 若 ，，则对任意实数 ，都有 21.（2025·广东衡水金卷·联考）（多选）数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号 来衡量某个操作的复杂度，设定义在全体正整数上的函数 与 ，若存在正常数 ，同时存在常数 ，使任意 时，，则称 是 的复杂函数，则下列函数中，满足 是 的复杂函数的有（设 均为非零实数）（　　） A. B. C. D. 考法9：动态博弈与极值策略的函数规划模型 22.（2026·江苏南京鼓楼·二模）给定实数，甲、乙两人玩如下的游戏．首先在黑板上写出一个含有 个绝对值的算式：，其中每个绝对值里都有两个空格“”，所有的空格“”都尚未填数．每一回合，先由甲选取区间 中的一个实数（不同的回合可以选取相同的数），再由乙将其填在某个空格之中．这样 个回合之后所有的空格均填了数， 的值也随之确定．若 ，则甲胜，否则乙胜． （1）当 时，求所有实数 ，使得甲有获胜策略，并说明理由； （2）当 时，求所有实数 ，使得甲有获胜策略，并说明理由． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $