课时规范练16函数模型的应用专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数模型在实际问题中的应用，通过分层训练构建从单一模型到综合建模的知识逻辑，强化数学建模与数据分析能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|5题|单选/多选/填空，涉及指数衰减、容器注水、半衰期计算等|从具体情境抽象函数模型（指数、幂函数），掌握模型参数求解| |综合提升练|2题|分段函数图象判断、微生物繁殖模型选择|整合分段函数与不同增长模型，理解模型适用条件| |创新应用练|1题|新能源汽车耗电量建模与优化|结合实际场景构建函数关系，运用数学思维解决最优化问题|

课时规范练16　函数模型的应用 (分值:57分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础 巩固练 1.(2025·福建漳州一模)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气中的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k>0,若当t=5时消除了10%的污染物,则当t=15时污染物含量还剩余(　　) A.70% B.85% C.81% D.72.9% 2.(2025·广东揭阳模拟)向如图放置的空容器中匀速注水,直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是(　　) A. B. C. D. 3.(2025·安徽合肥模拟)放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量,发出射线的物质.在一个给定的单位时间内,放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳14元素稳定持续衰减的现象测定标本的年代.已知碳14的半衰期约为5 730年.现在实验室测定某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的80%,则该标本大约距今(　　)(lg 2≈0.3) A.1 146年 B.1 375年 C.1 910年 D.2 292年 4.(多选题)(2025·河北衡水模拟)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量v(单位:cm3/s)与管道的半径r(单位:cm)的四次方成正比,当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1 250 cm3/s,则(　　) A.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为162 cm3/s B.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为152 cm3/s C.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为4 cm D.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为3 cm 5.(2025·云南昆明模拟)某企业为研发新产品,投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元,之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%,记2025年1月为第1个月,第n(n∈N*)个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元,则n的最小值是　　　　　.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)  综 合 提升练 6.(2025·浙江杭州模拟)在边长为1的正方形ABCD上,E为边CD的中点,动点P在正方形ABCD的边上沿A→B→C→E运动,设点P经过的路程为x,△APE的面积为y,则y关于x的函数的图象大致为(　　) A. B. C. D. 7. (13分)(2025·福建宁德模拟)为了提升某水域的生态环境水平,科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物,投放量为1个单位数量.这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快,随后越来越慢,设投放x(x≥0)年后这种微生物的数量为y个单位.已知y与x的关系拟合后的分段函数的图象如图所示,给出3个函数模型:①y=mx2+n(m>0);②y=p+q(p>0);③y=ax-2+b(a>0). (1)请从①,②,③中选择两个合适的函数模型描述此分段函数,求出两个函数模型的解析式,并说明理由; (2)求该水域生态环境最佳的时长.(注:微生物的数量在26~42个单位之间生态环境最佳,包括26和42) 创 新 应用练 8.(13分)(2025·广东汕头模拟)新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源,目前比较常见的主要有两种:混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试,国道限速60 km/h.经数次测试,得到该纯电动汽车每小时耗电量Q(单位:Wh)与速度x(单位:km/h)的数据如下表所示: x 0 10 40 60 Q 0 1 420 4 480 6 720 为了描述该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系,现有以下三种函数模型供选择:①Q=x3-2x2+cx;②Q=1-;③Q=300logax+b. (1)当0≤x≤60时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(不需说明理由),并求出相应的函数表达式; (2)现有一辆同型号纯电动汽车从A中学行驶到B中学,其中,国道上行驶50 km,高速上行驶300 km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动,国道上每小时的耗电量Q与速度x的关系满足(1)中的函数表达式;高速路上车速x(单位:km/h)满足x∈[80,120],且每小时耗电量N(单位:Wh)与速度x(单位:km/h)的关系满足N=2x2-10x+200(80≤x≤120).则当国道和高速上的车速分别为多少时,该车辆的总耗电量最少?最少总耗电量为多少? 参考答案 1.D　解析 当t=0时,P=P0·e-k·0=P0; 当t=5时,=0.9,即e-5k=0.9; 当t=15时,=e-15k=(e-5k)3=0.93=0.729=72.9%.故选D. 2.C　解析 由于容器上粗下细,所以匀速注水的过程中,高度的增长会越来越慢,只有C选项的图象符合题意.故选C. 3.C　解析 不妨设动物标本中碳14含量初始值是1个单位,则经过t年动物标本中碳14含量为f(t)=, 令f(t)=,则t=5 730×lo=5 7305 730×(-3)≈1 910年.故选C. 4.AC　解析 依题意可设v=kr4,k为常数. 当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1 250 cm3/s,所以1 250=k×54,解得k=2,则v=2r4.当r=3时,v=162,故A正确,B错误;由2r4≥512,解得r≥4,故C正确,D错误.故选AC. 5.5　解析 由题意可得20×(1+20%)n-1≥40,则1.2n-1≥2, 所以(n-1)lg 1.2≥lg 2, 所以n-13.810, 所以n≥4.810. 因为n∈N*,所以n的最小值为5. 6.A　解析 当动点P在正方形ABCD的边上沿A→B运动时, 则△APE的面积为y=x×1=x,0<x≤1; 当动点P在正方形ABCD的边上沿B→C运动时,则△APE的面积为y=1-(x-1)×1-(2-x)=(3-x),1<x<2; 当动点P在正方形ABCD的边上沿C→E运动时, 则△APE的面积为y=1=(5-2x),2≤x<; 所以y=所以A正确,B,C,D错误.故选A. 7.解 (1)易知模型③y=ax-2+b(a>0)在(0,+∞)内单调递减,所以可排除; 因为这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快,根据二次函数性质可得①y=mx2+n(m>0)符合题意; 又随后繁殖速度越来越慢,由幂函数的性质可得②y=p+q(p>0)符合题意; 所以当0≤x≤4时,y=mx2+n(m>0), 当x>4时,y=p+q(p>0); 结合图象可知y=mx2+n(m>0)经过点(0,1),(4,37); 即解得 即y=x2+1(0≤x≤4); 函数y=p+q(p>0)经过点(4,37),(16,47), 即解得 即y=5+27(x>4); 所以符合题意的两个函数解析式为①y=x2+1(0≤x≤4)和②y=5+27(x>4). (2)因为微生物的数量在26~42个单位之间生态环境最佳, 当0≤x≤4时,令x2+1≥26,解得x≤4; 当x>4时,令5+27≤42,解得4<x≤9. 综上,当x≤9时,满足题意. 所以该水域生态环境最佳的时长为9-(年). 8.解 (1)对于③Q=300logax+b,当x=0时,它无意义,故不符合题意; 对于②Q=1-,当x=10时,Q=1-, 又0<=1, 所以1-<1,故不符合题意;故选①Q=x3-2x2+cx. 由表中的数据可得,103-2×102+c×10=1 420,解得c=160, 所以Q=x3-2x2+160x. (2)高速上行驶300 km,所用时间为 h, 则所耗电量为f(x)=(2x2-10x+200)=600-3 000,由对勾函数的性质可知,f(x)在[80,120]上单调递增,所以f(x)min=f(80)=600-3 000=45 750 Wh;国道上行驶50 km,所用时间为 h, 则所耗电量为g(x)=(x3-2x2+160x)=x2-100x+8 000, 因为0≤x≤60,所以当x=50时,g(x)min=g(50)=5 500 Wh, 所以当这辆车在高速上的行驶速度为80 km/h,在国道上的行驶速度为50 km/h时,该车从A中学行驶到B中学的总耗电量最少,最少为45 750+5 500=51 250 Wh. 1 学科网（北京）股份有限公司 $