江苏省兴化中学2026-2027学年高三上学期8月开学考试数学试题

**基本信息** 以北京天坛圜丘坛文化素材与篮球比赛现实情境为载体，覆盖函数、几何、概率等核心知识，梯度设计适配高三开学基础与能力综合评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|中位数、向量基底、导数切线|基础概念与运算，如第1题统计、第4题导数几何意义| |多选|3/18|圆与直线位置关系、球内接几何体|多维度辨析，如第11题球壳内容物空间想象| |填空|3/15|椭圆离心率、数列前n项和|简洁考查核心公式，如第12题椭圆基本量计算| |解答|5/77|立体几何证明与线面角、概率期望、导数综合|分层递进，17题以投篮情境考数学期望体现应用意识，19题导数综合考查逻辑推理与创新思维|

保密★启用前 2 0 2 6 - 2 0 2 7 学 年 高 三 秋 学 期 开 学 考 试 数 学 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在 答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。 1.样本数据2,1,3,9,7,5,6的中位数为 A. B. C. D. 2.已知是平面内的一组基底向量。与都不共线且,则不能为 A. B. C. D. 3.集合, ,则 A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线方程为 A. B. C. D. 5.抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为 A. B. C. D. 6.已知函数的最大值为，则 A. B. C. D. 7. 北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层。上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块。下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块。每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块。则每层的环数是 A. B. C. D. 8.设集合为平面中点构成的集合，。从中随机取一个点(不包含),该点与构成的直线与轴平行的概率为 A. B C. D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题不止一个选项符合题意。全 部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分。 9.设,则 A. B. C. D. 10. 已知圆圆圆、的圆心分别记为、, 直线与圆、、均有两个交点，则 A. 圆的半径为 B. C. D. 直线可以是 11.半径为的球壳（球壳厚度不计）中可以装入 A. 半径为的球 B. 边长为的正方体 C. 底面半径和高均为的圆柱 D. 底面半径和高均为的圆锥 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡对应横线上。 12.椭圆的离心率为___________. 13.已知函数的最大值为，则___________.; 若,则 14.等差数列前项和,对且,设存在，使得则以为首项，为公比的等比数列前三项和取得最大值时， 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本题满分13分） 如图，在直三棱柱中，分别为,的中点， (1)证明：平面 (2)设直线与平面所成的角为, 求长度。 16. （本题满分15分） 已知中 ,,. (1)求的长度； (2)设点在延长线上,且满足.求. 17. （本题满分15分） 某场篮球比赛每次投篮后有三种情况：命中篮筐后根据命中难度记或分，未命中则不计分.设某选手命中得分的概率为，命中得分的概率为. 各次命中与否、命中得分相互独立.每场比赛的值恒定. (1)当时，求该选手某次投篮后未命中的概率； (2)某选手得分的概率为，命中得分的概率为. 赛制要求选手,两人轮流投篮，先得分者获胜。首次投篮为或的概率为. (i)在选手经过次投篮恰好每次都命中并获得分的条件下，求的数学期望。 (ii)结合具体的值，计算说明先手方是否总是具有更大的获胜可能性。 数学试题 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 18. （本题满分17分） 已知双曲线，椭圆，椭圆的焦距为,长轴长为. (1)求双曲线的离心率； (2)设直线与存在两个交点、, 求面积的最大值； (3)设直线与、的总交点数恰有个，求的取值范围。 19. （本题满分17分） 设非常数函数的导函数为，且.对任意实数，恒有 (1) 求; (2)设，证明：对任意恒成立； (3)证明：对任意实数, 都有; (4)设是方程的两个不同实根，且. 证明：对任意都有 . $ 保密★启用前 2 0 2 6 - 2 0 2 7 学 年 高 三 秋 学 期 开 学 考 试 数学参考答案 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在 答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D C D A D C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题不止一个选项符合题意。全 部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分。 9 10 11 AD ABC ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡对应横线上。 12 13 14 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1) 证明：在 中，、 分别为 、 中点， 由三角形中位线定理得：（1分）。 又 平面 （1分），平面 （1分）， 根据线面平行的判定定理，可得 平面 （1分）。 证毕。 原本有5个条件为了便于批改简化为3个主要条件，一个1分，结论1分，共4分。 (2) 解析：因为几何体为直三棱柱，所以侧棱 底面平面 （1分）。 由线面角定义：斜线 与平面 所成角为其射影 与 的夹角，即 （2分）。 在 中，， 故 为等腰直角三角形，（2分）。 由于 ，， 根据勾股定理：（2分）。 又因为 为 中点，所以 （2分）。 16.（15分） (1) 解析：由余弦定理（2分） 代入已知数据，得（1分） 故（1分）。 (2) 解析：由 ，且 ，所以（2分）。 由 ，得 （1分）。 在 中，根据余弦定理：（2分） ，得 （2分）。 由正弦定理：（2分） 所以（2分）。 17.（15分） (1) 解析：投篮结果互斥：3分（概率为）、1分（概率为）、不中，概率和为1。 代入 （3分）。 (2)(i) 解析：题目前置条件“在选手经过次投篮恰好每次都命中并获得分的条件下” 所以在命中条件下： 命中三分的概率， 命中一分的概率（1分） 满足总分为分的全命中次数 （1分） （1分） （1分） （1分） 所以（1分） 由于我们要求条件分布率，所以真实的情况为 （1分） （1分） （1分） 数学期望：（2分） (2)(ii) 解析：本题采用特殊值说明的方法 1. 当 时，选手A三分概率 极小，得分效率低，后手B得分稳定性更强，后手胜率更高； 2. 当 时，先手A率先出手，积累分数更快，先手胜率更高； 结论：在区间 内，先手方不总是具有更大的获胜可能性（3分）。 18.（17分） (1) 解析：由椭圆条件：， 双曲线： 双曲线参数： 离心率 （2分）。 (2) 解析：直线，椭圆 联立消去： 设 ， 韦达定理： 弦长公式：（1分） 原点到直线距离：（1分） 面积 ，（2分） 化简换元结合均值不等式,时，可得（2分）。 (3)解析： 联立直线与双曲线：(2分) 整理，得 所以 联立直线和椭圆：（2分） 所以 情形1：椭圆2个，双曲线0个， （1分） 情形2：椭圆1个，双曲线1个 由于四个值无法同时取到，所以不能取等（1分） 情形3：椭圆0个，双曲线2个 （1分） 综上所述，可以确定最终取值范围：（2分） 19.（17分） (1) 令等式中 ，代入 ，得 得到两种可能： 或 （1分）。 先令 ，得 若 ：无矛盾； 若 ：，由于是常数函数，与题目条件矛盾；（1分） 故 （2分）. (2) 固定，等式两边同时对求导， 得（2分） 令得为未知常数, 结合 ，得;（3分） 设 ，证明： 对任意 恒成立 由 ，得 对任意实数 ：， 因此,.故 ，，得证（2分）。 (3)证明：对任意实数 ，都有 （1分） 即证： 就是证明： 换元令 ，就要证： 二次函数，开口向上，对称轴： 最小值在 处： 在定义域 上最小值为 ，故对任意实数 ，. 所以命题“对任意实数, 都有”得证（2分）。 (4) 证明：移项整理： 解得（1分） 即证：对任意都有 就是证：对任意都有 由于，所以 命题对任意都有显然成立！ 所以命题“对任意都有”得证（2分）。 ( 数学参考答案 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $