2026-2027学年江苏省兴化中学高三上学期开学考试数学模拟练习卷（一）

**基本信息** 高三开学数学模拟卷，覆盖函数、几何、代数、统计核心模块，通过现实情境（如羽毛球比赛概率、学情检测统计）与梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合运算、复数虚部、向量夹角等|基础题为主，如5题结合函数奇偶性与单调性比较大小，考查数学抽象| |多项选择|3/18|二项式定理、函数性质、概率|多角度分析，如9题从常数项、系数和等判断，培养批判性思维| |填空|3/15|切线方程、概率、外接球表面积|结合应用，如13题羽毛球比赛概率计算，体现应用意识| |解答|5/77|等比数列、解三角形、统计概率、椭圆、导数综合|综合性强，如17题统计与概率结合（独立性检验、超几何分布），19题导数证明，考查逻辑推理与创新意识|

2026-2027学年秋学期高三开学考试模拟练习卷 数学 考试时长：120 分钟 满分：150 分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。 1.已知集合，，则 A. B. C. D. 2.已知复数满足，则的虚部为 A. B. C. D. 3.已知向量满足，，，则与夹角的余弦值为 A. B. C. D. 4.已知等差数列前项和为，若，则 A. B. C. D. 5.已知是上偶函数，在单调递增，则、、大小关系为 A. B. C. D. 6.已知，，则 A. B. C. D. 7.双曲线一条渐近线与直线垂直，则离心率为 A. B. C. D. 8.定义在的函数满足恒成立，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。多项符合，全对 6 分，部分对部分分，有错选 0 分。 9.关于二项式，说法正确的有 A. 展开式常数项为 B. 展开式各项系数之和为 C. 展开式中二项式系数最大项为第 3 项 D. 展开式所有奇数项系数之和为 10.函数，图像关于点中心对称，则下列说法中不正确的是 A. B.在单调递减 C.是偶函数 D.在有 3 个零点 11.均匀硬币独立重复抛掷，单次正面概率；事件：前三次全正面；事件：第三次为正面，则 A. B. C. D.不相互独立 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.曲线在处的切线方程为________。 13.甲、乙两人进行羽毛球对局，单球甲获胜概率为，乙获胜概率为，各球之间相互独立。现有比赛规则：共球，率先赢得球者直接获胜；甲获胜概率记为。若，则； 14.在三棱锥中，平面，，，，则外接球表面积为________。 四、解答题：共 5 小题，共 77 分，写出完整演算与文字说明。 15.（13 分）已知为递增等比数列，，。 (1) 求数列通项公式； (2) 设，求数列前项和。 16.（15 分）内角对边，已知。 (1) 求角； (2) 若，，求面积； 17.（15 分）某校高三年级学情检测，男、女生各抽取 100 人；男生合格 72 人，女生合格 80 人。 合格 不合格 合计 男生 女生 合计 (1) 完成列联表，并判断是否有 90% 把握认为成绩合格与性别有关； 参考公式：；临界值 (2) 分层抽样从合格学生抽 19 人，再从 19 人选 3 人，记男生合格人数为，求分布列与数学期望。 18.（17 分）椭圆，右焦点为。 (1) 求椭圆焦点坐标与离心率； (2) 过作斜率不为 0 直线交椭圆于，点，求证：直线斜率之和为定值。 19.（17 分）函数。 (1) 时，求单调区间； (2) 时恒成立，求实数取值范围； (3) 求证：时，。 2026-2027学年秋学期高三开学考试模拟练习卷 数学参考答案与解析 考试时长：120 分钟 满分：150 分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题解析（每题 5 分，共40分） 1. 答案：C 解析：，即 ，即 交集 实数集补集：，选 C。 2. 答案：D 解析： ，代入： 结合复数标准形式，虚部为，不含，故虚部，选 D。 3. 答案：C 解析：展开数量积： 代入： 夹角公式：，选 C。 4. 答案：A 解析：等差数列性质：若，则 前 9 项和：，又 ，选 A。 5. 答案：B 解析：偶函数性质：，故 分步比较自变量： ① ，，故 ② ，故 ③ ， 故自变量大小： 在单调递增，自变量越大函数值越大： 选 B。 6. 答案：A 解析：，该区间余弦为正 拆分角：， 余弦和角公式： 代入特殊角： 选 A。 7. 答案：D 解析：双曲线渐近线：；两条垂直直线斜率乘积为 已知一条渐近线与垂直， 取正渐近线： 双曲线，代入： 离心率： 选 D。 8. 答案：C 解析：令，求导： 由题干，分母，故 在严格单调递增。 由递增得，即： 两边同乘（正数不等号不变）：，选C 二、多选题解析（每题 6 分，共18分） 9. 答案：AB 解析：通项公式：展开第项 A：常数项令 ，A 正确； B：所有系数和，令，原式，B 正确； C：二项式系数，偶数，最大在中间，对应第 4 项，C 错误； D：各项系数依次： 奇数项（第 1、3、5、7 项）系数：，不是，D 错误。 10. 答案：BCD 关于中心对称 ，，取，，A 正确； B：，正弦在单调递增，B 错误； C： 代入：，非偶函数，C 错误； D： 零点满足，解得，仅 2 个零点，D 错误。 11. 答案：ABD A：三次独立全正面，，正确； B：含义：前三次全正面（必然第三次正面），与事件完全相同，，正确； C：条件概率公式，错误； D：独立判定：，，不独立，正确。 三、填空题解析（每题 5 分，共15分） 12. 答案： 解析：设 切点横坐标，纵坐标，切点 求导： 切线斜率 点斜式：，整理，得。 13. 答案： 解析：当时，规则1为7局4胜制，甲获胜需要在7局中率先赢4局，即甲获胜的情况为：4胜0负、4胜1负、4胜2负、4胜3负（这四种情况最后一局都必为甲胜）。 4胜0负时， 4胜1负时， 4胜2负时， 4胜3负时， 所以 。 14. 答案： 解析：底面：，直角三角形外接圆圆心为斜边中点。 ，底面外接圆半径。 底面，三棱锥外接球球心在过底面圆心、平行于的中垂线上； ，球心到底面距离。 外接球半径满足勾股：。 球表面积。 四、解答题解析（共77分） 15.（13 分） (1) 求通项（7 分） 等比数列核心性质： ，题干，故。 联立方程组： 构造一元二次方程： 因式分解：，根。 数列递增等比，公比，故。 等比通项， 代入： 首项， 通项： (2) 裂项求和（6 分） 。 分式变形裂项： 所以 16.（15 分） (1) 求角（6 分） 正弦定理：。 代入题干等式： 中，两边除以： （若，等式不成立），两边除以： 内角范围，满足的角唯一：。 (2) 求三角形面积（9 分） 余弦定理： 已知 变形，代入： 移项：。 三角形面积公式： ； 代入： 得 17.（15 分） (1) 独立性检验（7 分） 合格 不合格 合计 男生 72 28 100 女生 80 20 100 合计 152 48 200 记。 计算统计量： 先算， 平方 分母： 临界值，， 结论：没有90%的把握认为数学成绩合格与性别有关。 (2) 超几何分布与期望（8 分） 合格总人数152，男生合格72，女生合格80，人数比。 分层抽样抽取19人，按分配：男生9人，女生10人。 从19人选3人，为选中男生合格人数，可取，服从超几何分布， 总体容量，其中男生，抽取样本量， 分布公式： 总组合数。 分别计算概率： 分布列： 0 1 2 3 数学期望： 超几何分布期望公式： 代入： 18.（17 分） (1) 求焦点、离心率（5 分） 椭圆标准式，题干；。 焦点在轴，左右焦点，右焦点。 离心率。 (2) 证明斜率和为定值（12 分） 直线过，斜率不为0，设直线（规避了斜率不存在讨论）， 设。 联立 消去： 展开整理，得 该一元二次方程判别式： 对任意实数恒有两不同交点，符合题意。 点，； 通分合并分子分母 分子恒为0，分母恒不为0，故，定值0，得证。 19.（17 分） (1) 求单调区间（5 分） ，，定义域 一阶导数： 分两段讨论： ① ：， 故， ，； ② ：令， 求导时， 故，在递增； ， 时，，。 综上：， 在上单调递增，无递减区间。 (2) 恒成立，求范围（6 分） ，，两边除以正数不等号不变： 令，只需求最小值，。 求导，得， 导数符号由决定， 所以，：，单调递减； ：，单调递增。 为极小值点，也是全局最小值点： 故实数取值范围：。 (3) 证明（6 分） 思路：分区间讨论，结合最小值结论 1 当时：，故 只需证； ，右侧： 时左边，取等； 时，， ，，且随增大快速增长，不等式成立。 2 当时：， 不等式变形： 令，则，， 代入： 即证。 由(2)结论，对任意正数，，令： 只需证。 设，。 时，；； 在递增，存在唯一使； 在递减，递增； 最小值，结合， 代入，得， 可证，故不等式成立。 综上所述：与，时恒有，证毕。 学科网（北京）股份有限公司 $