2027届高考物理一轮复习专题——带电粒子在组合场的运动 讲义

该高中物理高考复习教案聚焦带电粒子在组合场运动专题，涵盖电场与磁场组合、交变场、动量定理应用等核心考点，按“分析思路—基本组合—交变模型—动量方法”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、分层练习及真题演练，帮助学生构建运动与相互作用观念，突破难点。 资料采用分题型分层训练策略，如先电场后磁场题型中，通过类平抛与圆周运动组合典例精讲，培养科学思维与模型建构能力。设置基础巩固到能力提升的梯度练习，配合真题实战，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

一轮复习专题——带电粒子在组合场的运动 目 录 知识点1——带电粒子在组合场中运动的分析 1 知识点2——两类基本组合场 2 知识点3——带电粒子在交变场中的运动模型 3 知识点4——用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 4 题型一、先电场后磁场 4 【基础巩固】 4 【能力提升】 7 题型二、先磁场后电场 13 【基础巩固】 13 【能力提升】 17 题型三、带电粒子在交变场中的运动 21 题型四、动量在磁场中的运用 24 【真题演练】 30 知识点1——带电粒子在组合场中运动的分析 1． 组合场：电场与磁场各自位于一定的区域内且不重叠；或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现 2．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 3．“电偏转”与“磁偏转”的比较 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 知识点2——两类基本组合场 1.先电场后磁场 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 2.先磁场后电场 　对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： (1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 知识点3——带电粒子在交变场中的运动模型 1.交变场的常见类型 （1）电场周期性变化，磁场不变。 （2）磁场周期性变化，电场不变。 （3）电场、磁场均周期性变化。 2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 知识点4——用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为+q。在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力：Fx=qvyB ，Fy=qvxB 两个方向分别列动量定理：-qvyBΔt=mΔvx ，qvxBΔt=mΔvy 即：-qBΔy=mΔvx，qBΔx=mΔvy 两边累加得-qBy=mvx1-mvx0 ，qBx=mvy1-mvy0。 得分速记 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 题型一、先电场后磁场 【基础巩固】 1. （25-26高三上·福建漳州·期末）在科学检测仪器中，常用电场加速和磁场偏转来控制带电粒子的运动，其原理可简化为如图所示模型。质量为、电量为的正离子从离子源由静止释放，经电场加速后沿水平方向射入垂直于纸面向里的匀强磁场。离子以速度垂直磁场边界从点入射，从边界上的点射出，两点间的距离为，不计离子重力。求： (1)加速电压； (2)匀强磁场的磁感应强度大小。 2. （25-26高三上·福建厦门·阶段检测）如图，在直角坐标系的第一象限内有沿轴正方向的匀强电场，在第四象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带负电的粒子从原点以大小为的速度沿轴正方向射入，通过磁场后到达轴上的（0，）点，不计粒子所受的重力。 (1)求匀强磁场的磁感应强度； (2)将该粒子改在轴上的（0，）点同样以速度平行于轴正方向射入电场中，从处进入磁场，求该粒子进入磁场时的速度大小及方向； (3)在第（2）问条件下，粒子最后从轴负半轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 【能力提升】 3. （24-25高三·福建·三轮复习）如图所示的坐标系中，第一象限存在竖直向下的匀强电场，第二象限存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为，在y轴的负半轴上A点静止一质量为、不带电的粒子乙，另一质量为m、带电荷量为的粒子甲由第二象限的S点静止释放，经过一段时间由y轴上的P点进入第一象限，然后粒子甲由x轴上的Q点离开电场。假设粒子甲运动到Q点的瞬间立即撤去电场，同时在整个空间充满垂直纸面向外的匀强磁场，最终粒子甲刚好沿x轴的负方向与粒子乙发生弹性碰撞，同时有的电荷转移到粒子乙上。忽略粒子的重力以及粒子间的静电力。已知S点的坐标为，Q点的坐标为。 (1)求第一象限匀强电场的电场强度大小。 (2)求磁感应强度的大小以及A点坐标。 (3)求碰后两粒子的轨迹半径和从碰撞到两粒子第一次同时经过y轴的时间。 4. （25-26高三上·福建莆田·期中）如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ、Ⅱ象限内有沿轴正向的匀强电场，在第Ⅲ、Ⅳ象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在第Ⅰ象限内有一个足够大的荧光屏垂直于轴固定，荧光屏到轴的距离为，在坐标为的点，沿轴负方向以大小为的初速度射出一个质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子经电场偏转恰好从坐标原点进入磁场，经磁场偏转后再次进入电场，最终打在荧光屏上的点。点离轴的距离也为，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若将粒子从第二象限内的另一位置沿轴负方向以大小为的速度射出，粒子也能从坐标原点进入磁场，该粒子第二次经过轴的位置离荧光屏的距离。 5. （2025·福建·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第三象限内存在沿y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，图中有一半径为R的绝缘刚性圆环，圆环经过坐标原点O（O点开有小孔），圆环的圆心在直线上，环内存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。电场中的粒子发射源P能沿x轴正方向发射质量为m、带电荷量为q、速度为的带正电粒子，粒子恰好从O点以速度进入磁场，粒子与圆环碰撞时无能量损失且所带电荷量不变，碰撞时间极短，不计粒子受到的重力。 (1)求发射源P的坐标； (2)调整圆环内匀强磁场的磁感应强度大小可以使粒子沿圆环运动一周后从O点离开磁场，求匀强磁场的磁感应强度B满足的条件； (3)在满足（2）的条件下，求粒子在磁场中运动的最长时间。 题型二、先磁场后电场 【基础巩固】 6. （25-26高三上·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从M点以速度垂直于y轴射入磁场，经x轴上的N点与x轴负方向成角射入电场，最后从P点垂直于y轴射出电场，如图所示。不计粒子重力，求： (1)OM间的距离； (2)粒子在磁场中的运动时间t； (3)OP间的距离。 7. （2022·福建·模拟预测）如图所示，在第一、二象限内存在垂直平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第三象限内存在沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为的粒子，从x轴上点以某一初速度沿y轴正方向进入第一象限，先以原点O为圆心做圆周运动，随后进入第三象限，在电场中运动一段时间后，经y轴上的点进入第四象限。不计粒子重力，求： （1）带电粒子从M点进入第一象限时初速度的大小； （2）电场强度E的大小； （3）粒子从M运动到N的时间。 8. （2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，足够长的水平收集板上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为；在收集板下方宽度为的范围内，存在方向水平向右的匀强电场，场强大小为。位于收集板上点处的粒子源可向垂直磁场平面内任意方向发射速率可调、质量为、电荷量为的带正电粒子。纸面内点右侧处有一小孔P（小孔尺寸恰允许带电粒子穿过）。不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求垂直收集板穿过小孔P的粒子在磁场中的运动时间； (2)当粒子源以某一相同速率发射粒子时，能沿不同方向穿过小孔P的粒子在磁场中运动的时间之比为，求该速率； (3)在（2）问情况下，粒子从匀强电场离开的位置点和点之间的距离。 【能力提升】 9. （2025·福建·二模）如图所示的平面直角坐标系中，的左侧有垂直坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，在和之间有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小相等，在的右侧有平行于坐标平面的匀强电场（图中未画出），在坐标原点处沿轴正向射出一个比荷为、速度大小为的带正电的粒子，粒子在磁场Ⅱ中运动时，运动轨迹恰好与轴相切，粒子经电场偏转后第一次经过轴时的位置为、速度方向垂直于轴，不计粒子的重力。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子在上第一次进入电场时的位置到轴的距离及粒子速度的方向与的夹角； (3)匀强电场的电场强度的大小（结果保留根号）。 10. （2024·福建泉州·一模）利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy平面（纸面）内，的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从原点O处以大小为的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角，一段时间后垂直虚线边界进入电场。已知，，区域Ⅱ中电场的场强。求： (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t； (3)粒子离开电场时的速度大小v。 题型三、带电粒子在交变场中的运动 11. （2025·湖南·一模）如图甲所示，一个质量为m，电荷量为的带电粒子（重力忽略不计），从静止开始经电压加速后，沿水平方向进入两等大的水平放置的平行金属板间偏转，金属板长以及间距均为l，偏转电压为加速电压的2倍。 (1)求带电粒子离开偏转电场时的速度大小； (2)粒子离开偏转电场后接着从P点进入一个按图乙规律变化的有界磁场中，磁场左右边线在竖直方向上，已知磁感应强度的大小为，取粒子刚进入磁场时为时刻，此时磁场方向垂直于纸面向里，当粒子离开磁场的右边缘后恰好从水平线PQ的Q点射出，求该磁场的变化周期T及磁场的宽度s。 12. （24-25高三上·广东潮州·期末）如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为v，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 题型四、动量在磁场中的运用 13. （25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图所示，水平虚线、、、间距均为，、间和、间有沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，两个区域的磁感应强度大小相等，空间存在平行于纸面竖直向下的匀强电场，电场强度大小为，一个质量为、电荷量为的带正电粒子在点由静止释放，粒子进入磁场Ⅰ时撤去电场，粒子在磁场Ⅰ中运动的轨迹恰好与虚线相切，已知点离虚线距离也为，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)不撤去电场，改变带电粒子在虚线上方由静止释放的位置，粒子进入磁场Ⅰ后轨迹恰好与虚线相切，则粒子释放的位置离虚线的距离为多少； (3)不撤去电场，将粒子在虚线上方距离为的点（图中未标出）以水平速度向右射出，结果粒子恰好不能从磁场Ⅱ的边界射出，则初速度多大。 14. （2025·福建三明·三模）如图甲，在纸面内建立直角坐标系xoy，坐标系的第一、二象限有足够长的宽度为d、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的上边界MN平行于x轴。P、Q是长度为L的平行金属板、垂直于纸面放置，两板中线与y轴共线，两板间加上周期为T、场强大小为的周期性变化的电场，如图乙所示。取x轴正方向为电场的正方向，位于P、Q两板中线上的粒子源沿y轴正方向持续发射质量为m、电荷量为q、速度大小为的带正电的粒子，粒子均能从x轴离开电场进入磁场。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，忽略电场与磁场的边界效应。 (1)求时刻进入电场的粒子，在时刻沿x轴方向的偏移量； (2)若粒子从O点进入磁场，求粒子需从哪些时刻进入电场？若粒子从O点进入磁场且恰好不穿出磁场的上边界MN，求磁感应强度的大小； (3)磁场方向不变，将磁感应强度大小改为，粒子进入磁场后，若还受一个与速度方向总相反的阻力作用，且阻力大小为已知量，粒子轨迹恰与磁场MN边界相切，求最左边与最右边两相切点的横坐标。 15. （2024·福建厦门·二模）如图所示，直角坐标系xOy平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为－q（q > 0）的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度v0从点P（0，d）垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 （1）求粒子进入电场时的速度大小； （2）求磁感应强度B的大小； （3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f = kv（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； （4）在第（3）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 【真题演练】 16. （2024·福建·高考真题）如图，直角坐标系中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器、，其中垂直轴放置，极板与轴相交处存在小孔、；垂直轴放置，上、下极板右端分别紧贴轴上的、点。一带电粒子从静止释放，经电场直线加速后从射出，紧贴下极板进入，而后从进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为、带电量为，、间距离为，、的板间电压大小均为，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求： (1)粒子经过时的速度大小； (2)粒子经过时速度方向与轴正向的夹角； (3)磁场的磁感应强度大小。 17. （2025·天津·高考真题）如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从电场中的O点以水平向右的速度开始运动，在静电力的作用下从P点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为，粒子返回电场前的运动轨迹过P点正上方的Q点，P、Q间距离及O、P间的水平距离均为L。不计粒子重力。 (1)判断粒子的电性； (2)求电场强度大小E； (3)求磁感应强度大小B。 18. （2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 19. （2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 20. （2026·湖北·高考真题）如图所示，在平面内，区域存在匀强电场，电场强度大小为、方向沿轴负方向；在区域，有一个以为圆心、为半径的半圆形区域，半圆形区域内既无电场也无磁场，半圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于平面向里。一质量为、电荷量为的带正电粒子从坐标为的点静止释放，之后从坐标为的点第一次射出磁场。不计重力，求： (1)粒子第一次进入磁场时的速度大小； (2)磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第二次射出磁场时的位置坐标。 21. （2023·山东·高考真题）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。 （1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小； （2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。 （i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度； （ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。     1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 一轮复习专题——带电粒子在组合场的运动 目 录 知识点1——带电粒子在组合场中运动的分析 1 知识点2——两类基本组合场 2 知识点3——带电粒子在交变场中的运动模型 3 知识点4——用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 4 题型一、先电场后磁场 4 【基础巩固】 4 【能力提升】 7 题型二、先磁场后电场 13 【基础巩固】 13 【能力提升】 17 题型三、带电粒子在交变场中的运动 21 题型四、动量在磁场中的运用 24 【真题演练】 30 知识点1——带电粒子在组合场中运动的分析 1． 组合场：电场与磁场各自位于一定的区域内且不重叠；或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现 2．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 3．“电偏转”与“磁偏转”的比较 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 知识点2——两类基本组合场 1.先电场后磁场 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 2.先磁场后电场 　对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： (1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 知识点3——带电粒子在交变场中的运动模型 1.交变场的常见类型 （1）电场周期性变化，磁场不变。 （2）磁场周期性变化，电场不变。 （3）电场、磁场均周期性变化。 2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 知识点4——用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为+q。在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力：Fx=qvyB ，Fy=qvxB 两个方向分别列动量定理：-qvyBΔt=mΔvx ，qvxBΔt=mΔvy 即：-qBΔy=mΔvx，qBΔx=mΔvy 两边累加得-qBy=mvx1-mvx0 ，qBx=mvy1-mvy0。 得分速记 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 题型一、先电场后磁场 【基础巩固】 1. （25-26高三上·福建漳州·期末）在科学检测仪器中，常用电场加速和磁场偏转来控制带电粒子的运动，其原理可简化为如图所示模型。质量为、电量为的正离子从离子源由静止释放，经电场加速后沿水平方向射入垂直于纸面向里的匀强磁场。离子以速度垂直磁场边界从点入射，从边界上的点射出，两点间的距离为，不计离子重力。求： (1)加速电压； (2)匀强磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1)(2) 【难度】0.85 【知识点】粒子由电场进入磁场 【详解】（1）由动能定理得，解得 （2）离子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有 其中，解得 2. （25-26高三上·福建厦门·阶段检测）如图，在直角坐标系的第一象限内有沿轴正方向的匀强电场，在第四象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带负电的粒子从原点以大小为的速度沿轴正方向射入，通过磁场后到达轴上的（0，）点，不计粒子所受的重力。 (1)求匀强磁场的磁感应强度； (2)将该粒子改在轴上的（0，）点同样以速度平行于轴正方向射入电场中，从处进入磁场，求该粒子进入磁场时的速度大小及方向； (3)在第（2）问条件下，粒子最后从轴负半轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】(1)(2)，斜向右下方，与水平方向夹角(3) 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动、粒子由电场进入磁场 【详解】（1）粒子从点进入磁场运动到点，洛伦兹力提供向心力，则有 根据几何关系得，解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，则有， 又，，联立解得 方向斜向右下方，与水平方向夹角。 （3）粒子进入磁场运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 又 圆周轨道的圆心在轴上，如图所示 则粒子在磁场中运动的圆心角为 粒子在磁场中运动的周期为 运动时间为 【能力提升】 3. （24-25高三·福建·三轮复习）如图所示的坐标系中，第一象限存在竖直向下的匀强电场，第二象限存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为，在y轴的负半轴上A点静止一质量为、不带电的粒子乙，另一质量为m、带电荷量为的粒子甲由第二象限的S点静止释放，经过一段时间由y轴上的P点进入第一象限，然后粒子甲由x轴上的Q点离开电场。假设粒子甲运动到Q点的瞬间立即撤去电场，同时在整个空间充满垂直纸面向外的匀强磁场，最终粒子甲刚好沿x轴的负方向与粒子乙发生弹性碰撞，同时有的电荷转移到粒子乙上。忽略粒子的重力以及粒子间的静电力。已知S点的坐标为，Q点的坐标为。 (1)求第一象限匀强电场的电场强度大小。 (2)求磁感应强度的大小以及A点坐标。 (3)求碰后两粒子的轨迹半径和从碰撞到两粒子第一次同时经过y轴的时间。 【答案】(1) (2)， (3)，， 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在匀强电场中做直线运动、带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、粒子由电场进入磁场、带电粒子在组合场中含动量问题 【详解】（1）粒子甲由S点到P点过程，由动能定理有 解得 粒子甲由P到Q的过程，水平方向做匀速直线运动，有 竖直方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得 由运动学公式得 解得 （2）粒子甲在Q点时竖直方向的分速度为 设粒子甲速度方向与x轴正方向的夹角为，有 解得 粒子甲在磁场中做匀速圆周运动的速度大小为 由题意作出粒子甲的运动轨迹，如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 又由几何关系得 解得 由几何关系可知A点到原点的距离为 解得 故A点的坐标为 （3）设粒子甲、乙碰后的速度大小分别为、，根据碰撞过程动量守恒、机械能守恒，有， 解得， 碰后两粒子在磁场中做匀速圆周运动，有， 由题意可知， 解得， 由可知粒子甲、乙做圆周运动的周期分别为， 设从两粒子碰撞到第一次同时经过y轴的时间为，有， n和m均为正整数，解得 4. （25-26高三上·福建莆田·期中）如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ、Ⅱ象限内有沿轴正向的匀强电场，在第Ⅲ、Ⅳ象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在第Ⅰ象限内有一个足够大的荧光屏垂直于轴固定，荧光屏到轴的距离为，在坐标为的点，沿轴负方向以大小为的初速度射出一个质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子经电场偏转恰好从坐标原点进入磁场，经磁场偏转后再次进入电场，最终打在荧光屏上的点。点离轴的距离也为，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若将粒子从第二象限内的另一位置沿轴负方向以大小为的速度射出，粒子也能从坐标原点进入磁场，该粒子第二次经过轴的位置离荧光屏的距离。 【答案】(1)(2)(3)3d 【难度】0.4 【知识点】粒子由电场进入磁场 【详解】（1）粒子一开始在电场中做类平抛运动，则沿y轴方向有 沿x轴方向有， 联立解得 （2）粒子的运动轨迹如下图所示，进入磁场时，粒子沿x轴和y轴的速度大小分别为， 可知粒子进入磁场时速度与x轴的夹角为45°，速度为 在磁场中，粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 变换可得 根据对称性原理可知，粒子离开磁场时的速度与进入磁场时速度关于y轴对称，再次进入电场后，粒子做类平抛运动，则沿y轴方向有 沿x轴方向有， 联立解得 （3）设出发点坐标为，粒子一开始在电场中做类平抛运动，则沿y轴方向有， 沿x轴方向有 联立可得 粒子进入磁场时的速度为 粒子进入磁场时的速度与x轴的夹角满足 在磁场中，粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 变换可得 则根据几何关系可得该粒子第二次经过轴的位置离荧光屏的距离为 5. （2025·福建·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第三象限内存在沿y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，图中有一半径为R的绝缘刚性圆环，圆环经过坐标原点O（O点开有小孔），圆环的圆心在直线上，环内存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。电场中的粒子发射源P能沿x轴正方向发射质量为m、带电荷量为q、速度为的带正电粒子，粒子恰好从O点以速度进入磁场，粒子与圆环碰撞时无能量损失且所带电荷量不变，碰撞时间极短，不计粒子受到的重力。 (1)求发射源P的坐标； (2)调整圆环内匀强磁场的磁感应强度大小可以使粒子沿圆环运动一周后从O点离开磁场，求匀强磁场的磁感应强度B满足的条件； (3)在满足（2）的条件下，求粒子在磁场中运动的最长时间。 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动、粒子由电场进入磁场 【详解】（1）设P点的坐标为，粒子做类平抛运动的时间为t，则有，， 解得， 所以P点的坐标为 （2）设粒子进入磁场后做半径为r的圆周运动，粒子与绝缘圆环相碰次后恰好从O点射出，如图所示，结合图中几何关系有，， 解得 （3）设粒子做匀速圆周运动的周期为T，则有，， 解得 由数学知识知，当时， 故粒子在磁场中运动的最长时间 题型二、先磁场后电场 【基础巩固】 6. （25-26高三上·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从M点以速度垂直于y轴射入磁场，经x轴上的N点与x轴负方向成角射入电场，最后从P点垂直于y轴射出电场，如图所示。不计粒子重力，求： (1)OM间的距离； (2)粒子在磁场中的运动时间t； (3)OP间的距离。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.65 【知识点】粒子由磁场进入电场 【详解】（1）由分析可得粒子的运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 解得 根据几何关系有 （2）由几何关系可知，粒子在磁场中运动时转过的圆心角为 根据匀速圆周运动周期与线速度的关系，可得粒子做圆周运动的周期为 所以粒子在磁场中运动的时间为 （3）粒子从N到P的运动情况可看成从P到N类平抛运动的逆过程，由运动分解可知粒子在P点的速度为 粒子从N到P的运动过程中，其水平方向为匀速直线运动，所以运动时间为 粒子在竖直方向做匀减速直线运动，由运动分解可知粒子在N点时竖直方向的分速度为 所以根据匀变速直线运动的位移公式可得 7. （2022·福建·模拟预测）如图所示，在第一、二象限内存在垂直平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第三象限内存在沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为的粒子，从x轴上点以某一初速度沿y轴正方向进入第一象限，先以原点O为圆心做圆周运动，随后进入第三象限，在电场中运动一段时间后，经y轴上的点进入第四象限。不计粒子重力，求： （1）带电粒子从M点进入第一象限时初速度的大小； （2）电场强度E的大小； （3）粒子从M运动到N的时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】粒子由磁场进入电场 【详解】解：（1）由题意可知有， 得 （2）粒子进入第三象限有，y方向 x方向有，得 （3）粒子在磁场中的周期为 依题意在磁场中的运动时间为 粒子在电场中，由（2）可知 则粒子从M运动到N的时间为 8. （2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，足够长的水平收集板上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为；在收集板下方宽度为的范围内，存在方向水平向右的匀强电场，场强大小为。位于收集板上点处的粒子源可向垂直磁场平面内任意方向发射速率可调、质量为、电荷量为的带正电粒子。纸面内点右侧处有一小孔P（小孔尺寸恰允许带电粒子穿过）。不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求垂直收集板穿过小孔P的粒子在磁场中的运动时间； (2)当粒子源以某一相同速率发射粒子时，能沿不同方向穿过小孔P的粒子在磁场中运动的时间之比为，求该速率； (3)在（2）问情况下，粒子从匀强电场离开的位置点和点之间的距离。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.42 【知识点】粒子由磁场进入电场 【详解】（1）带电粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 垂直收集板向下穿过P，运动轨迹为半圆，，运动时间为半个周期，即 （2）相同速率的粒子圆周运动半径相等，周期相同，运动时间之比等于圆心角之比，设两粒子圆心角分别为，，由题意可得， 解得， 对应弦长为，由几何关系可得 解得轨迹半径 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （3）根据第（2）问可得两种轨迹对应的粒子进入电场时速度方向与竖直方向夹角均为，粒子进入电场后，竖直方向匀速运动，水平方向做匀加速运动，加速度为 在电场中的运动时间为 设水平向右为正方向，两粒子水平位移分别为， 【能力提升】 9. （2025·福建·二模）如图所示的平面直角坐标系中，的左侧有垂直坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，在和之间有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小相等，在的右侧有平行于坐标平面的匀强电场（图中未画出），在坐标原点处沿轴正向射出一个比荷为、速度大小为的带正电的粒子，粒子在磁场Ⅱ中运动时，运动轨迹恰好与轴相切，粒子经电场偏转后第一次经过轴时的位置为、速度方向垂直于轴，不计粒子的重力。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子在上第一次进入电场时的位置到轴的距离及粒子速度的方向与的夹角； (3)匀强电场的电场强度的大小（结果保留根号）。 【答案】(1)(2)，(3) 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、带电粒子在直边界磁场中运动、粒子由磁场进入电场 【详解】（1）设粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动的圆心在点，在磁场Ⅱ中做圆周运动的圆心在点，与轴的夹角为，根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 根据几何关系 解得 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据题意有 解得 根据牛顿第二定律 解得 （2）设粒子在磁场Ⅱ中与轴相切点的坐标为，则 由于和之间的距离为，因此切点刚好在和连线中点，根据对称性，粒子在点出射点的位置到轴的距离 设粒子进入电场时速度方向与之间的夹角为，根据对称性可知 （3）粒子经电场偏转后第一次经过轴时位置为方向垂直于轴，设电场强度沿轴方向的分量为。粒子沿轴方向做匀减速直线运动，则，， 又 根据牛顿第二定律 解得 设匀强电场沿轴方向的分量为，沿轴方向的加速度大小 根据运动学公式， 解得 因此匀强电场的电场强度大小 10. （2024·福建泉州·一模）利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy平面（纸面）内，的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从原点O处以大小为的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角，一段时间后垂直虚线边界进入电场。已知，，区域Ⅱ中电场的场强。求： (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t； (3)粒子离开电场时的速度大小v。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、粒子由磁场进入电场 【详解】（1）粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，在磁场中做圆周运动的半径设为， 由几何关系可得 又 解得区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小 （2） 粒子运动圆轨迹所对的圆心角为，在磁场中运动时间设为， 则，其中 粒子在电场中做类平拋运动，设该粒子的加速度大小为， 在电场中运动时间为，沿轴负方向运动的距离为，则有 ，，解得 其中，解得 由于 粒子从电场边界离开，则总时间 解得 （3）由动能定理得 解得 题型三、带电粒子在交变场中的运动 11. （2025·湖南·一模）如图甲所示，一个质量为m，电荷量为的带电粒子（重力忽略不计），从静止开始经电压加速后，沿水平方向进入两等大的水平放置的平行金属板间偏转，金属板长以及间距均为l，偏转电压为加速电压的2倍。 (1)求带电粒子离开偏转电场时的速度大小； (2)粒子离开偏转电场后接着从P点进入一个按图乙规律变化的有界磁场中，磁场左右边线在竖直方向上，已知磁感应强度的大小为，取粒子刚进入磁场时为时刻，此时磁场方向垂直于纸面向里，当粒子离开磁场的右边缘后恰好从水平线PQ的Q点射出，求该磁场的变化周期T及磁场的宽度s。 【答案】(1)(2)； 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、粒子由电场进入磁场、带电粒子在交变磁场中的运动 【详解】（1）在加速电场中 在偏转电场中，， 解得 粒子的偏转角 离开偏转电场时的速度大小为 解得 （2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动， 由几何关系可知，轨迹呈周期性，每段圆弧轨迹对应的圆心角均为90°，磁场的变化周期为 磁场的宽度为 12. （24-25高三上·广东潮州·期末）如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为v，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 【答案】(1)(2)(3)， 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、带电粒子在直边界磁场中运动、带电粒子在交变磁场中的运动 【详解】（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有，   根据牛顿第二定律则有    联立解得 对A点     解得 A点的坐标为 （2）粒子进入的磁场中，则有 由牛顿第二定律 由几何关系得     联立解得 （3）粒子进入的磁场中，由牛顿第二定律 设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为。由几何关系得，平行x轴方向 平行y轴方向 联立解得， 交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为 解得 题型四、动量在磁场中的运用 13. （25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图所示，水平虚线、、、间距均为，、间和、间有沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，两个区域的磁感应强度大小相等，空间存在平行于纸面竖直向下的匀强电场，电场强度大小为，一个质量为、电荷量为的带正电粒子在点由静止释放，粒子进入磁场Ⅰ时撤去电场，粒子在磁场Ⅰ中运动的轨迹恰好与虚线相切，已知点离虚线距离也为，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)不撤去电场，改变带电粒子在虚线上方由静止释放的位置，粒子进入磁场Ⅰ后轨迹恰好与虚线相切，则粒子释放的位置离虚线的距离为多少； (3)不撤去电场，将粒子在虚线上方距离为的点（图中未标出）以水平速度向右射出，结果粒子恰好不能从磁场Ⅱ的边界射出，则初速度多大。 【答案】(1)(2)粒子应在边界上由静止释放(3) 【难度】0.65 【知识点】粒子由电场进入磁场、带电粒子在组合场中含动量问题 【详解】（1）设粒子进入磁场Ⅰ时的速度大小为，根据动能定理有 解得 据题意可知，粒子在磁场I中做匀速圆周运动，其半径 据牛顿第二定律有 解得 （3） 设粒子释放的位置离虚线的距离为，粒子与虚线相切时的速度大小为， 据动能定理有，解得 粒子在磁场I中运动到的过程，水平方向应用动量定理有 在竖直方向有 解得，即粒子应在边界上由静止释放。 （3）由题意可知，粒子到边界时速度与相切水平向右，设其速度大小设为，则有 粒子在两个磁场中运动到的过程，水平方向应用动量定理有 在竖直方向有 则有 解得 14. （2025·福建三明·三模）如图甲，在纸面内建立直角坐标系xoy，坐标系的第一、二象限有足够长的宽度为d、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的上边界MN平行于x轴。P、Q是长度为L的平行金属板、垂直于纸面放置，两板中线与y轴共线，两板间加上周期为T、场强大小为的周期性变化的电场，如图乙所示。取x轴正方向为电场的正方向，位于P、Q两板中线上的粒子源沿y轴正方向持续发射质量为m、电荷量为q、速度大小为的带正电的粒子，粒子均能从x轴离开电场进入磁场。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，忽略电场与磁场的边界效应。 (1)求时刻进入电场的粒子，在时刻沿x轴方向的偏移量； (2)若粒子从O点进入磁场，求粒子需从哪些时刻进入电场？若粒子从O点进入磁场且恰好不穿出磁场的上边界MN，求磁感应强度的大小； (3)磁场方向不变，将磁感应强度大小改为，粒子进入磁场后，若还受一个与速度方向总相反的阻力作用，且阻力大小为已知量，粒子轨迹恰与磁场MN边界相切，求最左边与最右边两相切点的横坐标。 【答案】(1)(2)(3)， 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在周期性变化的电场运动（初速度垂直电场）、粒子由电场进入磁场 【详解】（1），粒子沿 x轴方向做初速度为零的匀加速度直线运动，由运动学知识可知沿x轴方向位移 由牛顿第二定律有 联立解得 （2）从时刻进入的粒子在电场中沿x轴方向的位移为零，粒子从O点进入磁场； 粒子穿过电场的时间为 粒子离开交变电场时沿电场方向速度变化为零，从 O点进入的粒子均以的速度垂直于x轴进入匀强磁场中做匀速圆周运动。 由几何关系，轨迹与上边界相切，则 粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即 联立解得 （3）粒子从时刻进入的粒子沿x轴的运动位移最大，由牛顿第二定律可知粒子在电场中的加速度为 沿x轴方向做匀加速直线运动，沿x轴方向的最大位移为 进入磁场后，轨迹恰与磁场MN边界相切处，y方向速度为0，对粒子在y方向由动量定理有 即 解得 由几何关系，从x轴上 进入磁场的粒子在MN边界上的横坐标为 从x轴上 进入磁场的粒子在MN边界上的横坐标为 15. （2024·福建厦门·二模）如图所示，直角坐标系xOy平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为－q（q > 0）的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度v0从点P（0，d）垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 （1）求粒子进入电场时的速度大小； （2）求磁感应强度B的大小； （3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f = kv（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； （4）在第（3）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 【答案】（1）；（2）；（3）（）；（4） 【难度】0.15 【知识点】粒子由电场进入磁场、带电粒子在组合场中含动量问题 【详解】（1）粒子进入电场后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做类竖直上抛运动，则有 解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如图所示 根据几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 解得 由洛伦兹力充当向心力有 解得 （3）对粒子受力分析可知，速度的轴的分量会产生轴的阻力与轴负方向的洛伦兹力；速度轴的分量，会产生轴的阻力与轴负方向的洛伦兹力，其受力分析如图所示 在x轴上，由动量定理有 由微元法累加后可得 其中 解得 则Q点的坐标为（）。 （4）同理在轴上有 微元法叠加后可得 解得，方向沿轨迹切线方向 阻力使得粒子速度减小，在切线方向有 由于沿着轨迹切线方向列动量定理，可得速度的变化量 微元叠加后可得 解得轨迹的长度为 【真题演练】 16. （2024·福建·高考真题）如图，直角坐标系中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器、，其中垂直轴放置，极板与轴相交处存在小孔、；垂直轴放置，上、下极板右端分别紧贴轴上的、点。一带电粒子从静止释放，经电场直线加速后从射出，紧贴下极板进入，而后从进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为、带电量为，、间距离为，、的板间电压大小均为，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求： (1)粒子经过时的速度大小； (2)粒子经过时速度方向与轴正向的夹角； (3)磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、带电粒子在直边界磁场中运动、粒子由电场进入磁场 【详解】（1）粒子从M到N的运动过程中，根据动能定理有 解得 （2）粒子在中，根据牛顿运动定律有 根据匀变速直线运动规律有、 又，解得 （3）粒子在P处时的速度大小为 在磁场中运动时根据牛顿第二定律有 由几何关系可知 解得 17. （2025·天津·高考真题）如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从电场中的O点以水平向右的速度开始运动，在静电力的作用下从P点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为，粒子返回电场前的运动轨迹过P点正上方的Q点，P、Q间距离及O、P间的水平距离均为L。不计粒子重力。 (1)判断粒子的电性； (2)求电场强度大小E； (3)求磁感应强度大小B。 【答案】(1)正电(2)(3) 【难度】0.65 【知识点】粒子由电场进入磁场 【详解】（1）根据题意可知，粒子向上偏转，所受电场力向上，与电场方向相同，则粒子带正电。 （2）设粒子在电场中运动的时间为t，水平方向上由运动学公式，有 设粒子在电场中运动的加速度为a，由牛顿第二定律，有 竖直方向上由运动学公式，有 联立上述各式，得 （3）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系，得                    洛伦兹力提供向心力，有 联立得 18. （2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.65 【知识点】粒子由电场进入磁场 【详解】（1）粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有 竖直方向做匀变速直线运动， 由闭合回路欧姆定律可得 联立可得 （2）根据题意，设粒子进入磁场与竖直方向的夹角为，则有， 粒子在磁场中做匀速圆周运动有 由几何关系易得 联立可得 （3）取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有 解得 粒子以速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为 此时合速度与竖直方向的夹角为 合速度为 粒子做圆周运动的半径 最远距离为 19. （2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动、粒子由磁场进入电场 【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为， 由电子在x轴方向做匀速直线运动得 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T， 由牛顿第二定律知，可得 且 由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有 联立得 当时，B有最小值，可得 （2）将电子的速度分解，如图所示 有 当有最大值时，最大，R最大，此时，又， 联立可得， （4） 当最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移， 根据匀变速直线运动规律有 由牛顿第二定律知，又 联立得 20. （2026·湖北·高考真题）如图所示，在平面内，区域存在匀强电场，电场强度大小为、方向沿轴负方向；在区域，有一个以为圆心、为半径的半圆形区域，半圆形区域内既无电场也无磁场，半圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于平面向里。一质量为、电荷量为的带正电粒子从坐标为的点静止释放，之后从坐标为的点第一次射出磁场。不计重力，求： (1)粒子第一次进入磁场时的速度大小； (2)磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第二次射出磁场时的位置坐标。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.54 【知识点】粒子在电场和磁场中的往复运动 【详解】（1）粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得 解得加速度大小为 粒子从坐标为的 点静止释放，沿轴负方向的位移大小为 由匀变速直线运动速度与位移的关系得 联立解得粒子第一次进入磁场的速度大小为 （2）粒子第一次进入磁场的坐标为，第一次出磁场的坐标为，粒子在匀强磁场中的运动轨迹如图所示 设粒子的轨迹半径变为，由几何关系得 解得 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 （3）设粒子第一次出磁场时速度与 轴负方向的夹角为，由几何关系得 则 粒子沿 轴和轴的速度分别为， 解得， 粒子沿轴方向做类竖直上抛运动，由竖直上抛运动规律，可得运动时间 沿 轴方向做匀速直线运动，有 联立解得沿 轴方向的位移为 粒子第二次进入磁场时， 坐标为 沿 轴方向的速度为 由运动的对称性，可知沿轴方向的速度为 则粒子与 轴负方向的夹角仍满足 因此粒子两次在磁场中的运动轨迹关于轴对称，如图所示 则粒子第二次出磁场的坐标，即为粒子第一次进入磁场的坐标。 21. （2023·山东·高考真题）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。 （1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小； （2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。 （i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度； （ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。     【答案】（1）；（2）（i），；（ii）不会 【难度】0.4 【知识点】粒子由电场进入磁场、粒子在电场和磁场中的往复运动 【详解】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图        根据几何关系可知 联立可得 （2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图         在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知 解得 所以有， 洛伦兹力提供向心力 带电粒子从A点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有 再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x方向有 沿y方向上有 其中根据牛顿第二定律有 联立以上各式解得，， （ii）粒子从P到Q根据动能定理有 可得从Q射出时的速度为 此时粒子在磁场中的半径    根据其几何关系可知对应的圆心坐标为 ，，， 得， 而圆心与P的距离为 故不会再从P点进入电场。 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $