21.2.1.1 直接开平方法和因式分解法（1） 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法和因式分解法，通过回顾平方根定义及因式分解方法搭建学习支架，衔接旧知与新知，引导学生理解两种解法的原理与步骤。 其亮点在于注重原理推导与思维培养，如通过平方根性质推导开平方法、用零乘积原理解释因式分解法，发展推理意识。课堂练习分层设计，含解法辨析等综合题，作业结合模型构建与实际应用，助力学生提升运算能力与应用意识，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

null 第二十一章 一元二次方程 21.2.1.1 直接开平方法和因式分解法 （1） 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 01 教学目标 熟练掌握直接开平方法、因式分解法的解题步骤，规范解方程书写格式，规避漏根、错解等运算错误，提升代数运算的准确性与规范性。 01 经历两种解法的原理推导过程，理解平方根性质、零乘积原理的解题依据，明晰“降次转化”的数学逻辑，培养严谨的推理思维。 02 抽象归纳两类方程的结构特征与对应解法，掌握“将二次方程转化为一次方程”的降次思想，建立方程转化的数学模型。 03 02 新知导入 【思考】 1.平方根的定义是什么？一个正数有几个平方根？0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 若x2=a (a≥0)，则x叫做a的平方根； 一个正数有两个互为相反数的平方根； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 02 新知导入 【思考】 2.因式分解的常用方法有哪些？ ①提公因式法； ②公式法： 平方差公式：a2- b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2。 03 新知探究 探究 开平方法解一元二次方程 解下列方程：(1) x2=4 x2=4意味着x是4的平方根，所以x= 即x= ±2. 这里得到了方程的两个根，通常也表示成 x1 =2，x2 =-2. 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 03 新知探究 一般地，对于形如x2=a (a>0)的方程，根据平方根的定义，可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. 【想一想】方程x2-1=0能否用直接开平方法来解? 要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式? 03 新知探究 x2 - 1 =0 x2 =1 通过移项将方程变形成x2=a (a>0) x =±1 解得x1 =1，x2 =-1. 总结归纳 （1）将方程变形成 开平方法解一元二次方程的步骤： 03 新知探究 探究 因式分解法解一元二次方程 解方程：x2-1=0 将方程左边用平方差公式分解因式，得 (x - 1)(x + 1)=0, 必有x - 1=0或x + 1=0. 分别解这两个一元一次方程，得x1 =1，x2 =-1. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 03 新知探究 【想一想】方程x2=4能否用因式分解法来解? 将方程移项得x2-4=0 方程左边分解因式得（x+2）（x-2）=0 解得x1 =2，x2 =-2. 所以（x+2）=0或（x-2）=0 总结归纳 3.根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 2.将方程的左边分解因式； 1.若方程的右边不是0，先移项，使方程的右边为0； 因式分解法解方程的基本步骤： 03 新知探究 【做一做】 试用两种方法解方程：x2-900=0. 方法一：移项，得x2=900， 直接开平方， 得x=±30， 即x1=30，x2=-30. 方法二：方程左边分解因式得 （x+30）（x-30）=0 解得x1 =30，x2 =-30. 所以 x+30=0或 x-30=0 03 新知探究 【例1】解下列方程： (1)x2-2=0； (2) 16x2 -25 =0. 解：移项，得x2=2， 直接开平方， 得x= ， 即x1= ，x2= . 解：移项，得16x2=25， 方程两边都除以16， 得 直接开平方， 得x= ， 即x1= ，x2= . 03 新知探究 【例2】解下列方程: (1)3x2 + 2x =0; (2)5x(x -3) - 10(x -3)=0. 解：方程左边分解因式得 x（3x+2）=0 解得x1 =0，x2 = . 所以x=0或3x+2=0 解：方程左边分解因式得 5(x - 3) (x - 2)=0 解得x1 =3，x2 =2 . 所以x - 3=0或x - 2=0 03 新知探究 【思考】试写出一个一元二次方程，要求它的两根为x1=2，x2=3.符合条件的方程只有一个吗? ∵一元二次方程的根为x1=2，x2=3. ∴该方程可以写成(x-2)(x-3)=0, ∴得到一元二次方程x2-5x+6=0， ∵对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若两根为x1和x2，则方程可以表示为a(x-x1)(x-x2)=0 (a≠0). ∴当a取不同的值时，方程不同，但都满足两根为x1=2，x2=3. ∴符合条件的方程不唯一. 03 新知探究 【思考】如果还要求方程的二次项系数为5，符合条件的方程是什么? 若二次项系数为5，即a=5，则方程为5(x-2)(x-3)=0 展开可得：5(x-2)(x-3) =5(x2-3x-2x + 6) = 5(x2 -5x + 6) = 5x2-25x +30 ∴二次项系数为5的方程是5x2-25x+30=0 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.一元二次方程4x2－16＝0的根是（ ）. A. x=2 B. x=4 C. x1＝2，x2＝－2 D. x1＝4，x2＝－4 C 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2. 3x2＋27＝0的根是(　　) A．x1＝3，x2＝－3 B．x＝3 C．无实数根 D．以上均不正确 C 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3. 方程(x＋5)(x－1)＝0的根是(　　) A．x1＝5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1 C．x1＝x2＝－5 D．x1＝x2＝1 B 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 用因式分解法解下列方程，正确的是(　　) A．x(x＋1)＝0，所以x＋1＝0 B．(x＋1)(x－2)＝1，所以x＋1＝1或x－2＝1 C．(x－1)(x－2)＝2×3，所以x－1＝2或x－2＝3 D．(x－2)(3x－4)＝0，所以x－2＝0或3x－4＝0 D 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5. 如果二次三项式x2＋px＋q能因式分解成(x＋3)(x＋2)，那么方程x2＋px＋q＝0的两个根为(　　) A．x1＝－3，x2＝－2 B．x1＝－3，x2＝2 C．x1＝3，x2＝2 D．x1＝3，x2＝－2 A 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6. 解方程：(1)(2x－3)2＝121； (2)x(x－6)＝6－x； 解：直接开平方，得 2x－3＝±11， 所以2x－3＝11或2x－3＝－11， 解得x1＝7，x2＝－4. 解：原方程可变形为 x(x－6)＋(x－6)＝0， 方程左边因式分解，得 (x－6)(x＋1)＝0， 所以x－6＝0或x＋1＝0， 所以x1＝6，x2＝－1. 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 小李与小王两位同学解方程2(x－2)＝(x－2)2的过程如下： 小李： 解：两边同除以(x－2)，得2＝x－2， 则x＝4. 小王： 解：移项，得2(x－2)－(x－2)2＝0， 提取公因式，得(x－2)(2－x－2)＝0. 则x－2＝0或2－x－2＝0， 解得x1＝2，x2＝0. 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 他们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 解：小李：×；小王：×. 正确的解答过程：移项，得2(x－2)－(x－2)2＝0， 提取公因式，得(x－2)[2－(x－2)]＝0， 即(x－2)(4－x)＝0，所以x－2＝0或4－x＝0， 解得x1＝2，x2＝4. 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.一般地，对于形如x2=a (a>0)的方程，根据平方根的定义，可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. 2.利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.老师出示问题：解方程x2-4=0.四名同学给出了以下答案: 甲：x=2；乙：x1=x2=2；丙：x1=x2=-2；丁：x1=2，x2=-2. 下列判断正确的是( ). A.甲正确 B .乙正确 C.丙正确 D.丁正确 D 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2. 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( ). A.(2x-3)(3x-4)=0化为2x-3=0或3x-4=0 B.(x+3)(x-1)=1化为x+3=1或x-1=1 C.(x-2)(x-3)=2×3化为x-2=2或x-3=3 D.x(x+2)=0为x+2=0 A 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 3.若一元二次方程3x2=27的两根为x1，x2(x1<x2)，则点P(x1，x2)位于平面直角坐标系中的( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 4. 已知某一元二次方程的两根分别为x1=3，x2=-4，则这个方程可能为( ). A.(x-3)(x+4)=0 C.(x+3)(x+4)=0 B.(x+ 3)(x-4)=0 D.(x-3)(x-4)=0 A 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.如果x=5是关于x的一元二次方程(x-m)(x-4+m)=n的一个根，那么关于x的一元二次方程(x+m-1)(x+3-m)=n的解为多少？ 解：∵x=5是关于x的方程(x-m)(x-4+m)=n的一个根 ∴(5-m)(5-4+m)=n， ∴(5-m)(1+m)=(-5+m)(-1-m)=n. ∵(x+m-1)(x+3-m)=n， ∴x+3=5，x-1= 1或x-1=-5，x+3=-1， 解得x=2或x=-4. 二一教育 $