21.2.1.2 直接开平方法和因式分解法（2）课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法和因式分解法，通过提问两种方法的适用标准形式导入，复习基本形式与条件，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生掌握方程变形与求解技巧。 其亮点在于通过例3多解法对比、“做一做”实践及小明小亮解法辨析，培养学生用数学眼光观察方程结构，用数学思维推理最优解法，用数学语言规范表达。如辨析除以含未知数整式的错误，强化推理意识，提升学生灵活解题能力，为教师提供清晰教学流程和易错点指导。

第二十一章 一元二次方程 21.2.1.2 直接开平方法和因式分解法（2） 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 01 教学目标 熟练掌握一元二次方程移项、合并、整体整理等变形技巧，规范完成复杂方程的变形与求解全过程，提升代数运算的熟练度、准确性与规范性。 01 经历“观察方程结构—选择变形方法—转化标准模型—降次求解”的完整过程，推理分析不同方程的最优变形思路，明晰方程变形的数学依据。 02 能根据方程结构灵活选择变形方式与解题方法，打破固定解题套路，优化解题思路，体会代数变形的工具价值，提升灵活解题与综合应用能力。 03 02 新知导入 【思考】 直接开平方法、因式分解法的适用标准方程形式是什么？ 直接开平方法 基本形式：x2=p( p≥0 )或(ax+b)2=p(p≥0)。 适用条件：方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是非负数。若p<0，则方程无实数根。 02 新知导入 【思考】 直接开平方法、因式分解法的适用标准方程形式是什么？ 因式分解法 基本形式：方程右边为0，左边为两个一次因式的乘积，即ax2+bx+c=0且左边能成功因式分解(如提公因式、平方差、完全平方、十字相乘等)为(px+q)(mx+n)=0的形式。 适用条件：方程必须整理为一般式，且右边必须化为0，左边易于分解。 03 新知探究 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12(2-x)2-9=0. 【分析】两个方程都可以通过简单的变形，化为（ )2=a (a≥0) 的形式，用直接开平方法求解. 03 新知探究 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12( 2-x )2-9=0. 解：(1)原方程可以变形为(x +1 )2=4. 直接开平方，得 x+1=±2. 所以x1=1， x2=-3. 还 有 其 他 解 法吗？ 03 新知探究 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12( 2-x )2-9=0. 解：(1)原方程可以变形为(x +1 )2-22=0. 方程左边分解因式，得 （x+1+2）（x+1-2）=0. （x+3）（x-1）=0 所以x1=1， x2=-3. 03 新知探究 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12( 2-x )2-9=0. 解：(2)原方程可以变形为 ( 2-x )2= . 直接开平方，得 2-x =± . 所以x1= ， x2= . 这个题目能用因式分解法吗？ 03 新知探究 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12( 2-x )2-9=0. 解：(2)原方程可以变形为( 2-x )2 - =0 . 方程左边分解因式，得 （2-x+ ）（2-x- ）=0. 所以x1=1， x2=-3. 你觉得哪种方法更简单？ 总结归纳 解一元二次方程时观察方程结构，合理选择变形方式与解题方法： ①含整体平方、无复杂一次项，优先变形用直接开平方法； ②可整理为整式乘积型、含一次项，优先变形用因式分解法。 观察结构→判断变形方向→规范变形→选择方法→降次求解。 03 新知探究 【做一做】用适当的方法解下列方程： （1）9x2-16=0； （2）（y-1）2=2（1-y） 解：(1)原方程可以变形为x2= . 直接开平方，得 x=± . 所以x1= ， x2= . 03 新知探究 【做一做】用适当的方法解下列方程： （1）9x2-16=0； （2）（y-1）2=2（1-y） 解：(2)方程左边分解因式，得 （y-1）2-2（1-y）=0 . （y-1）（y-1+2）=0 （y-1）（y+1）=0 所以y1=1， y2=-1 . 提取公因式 03 新知探究 【你知道吗？】 小明和小亮一起解方程：x(3x+2)-6(3x+2)=0. 小明将方程左边分解因式，得(3x + 2)(x - 6)=0. 所以3x+2=0 或 x-6=0， 得x1= ，x2=6. 03 新知探究 小亮的解法是这样的: 移项，得x(3x + 2)=6(3x + 2). 方程两边都除以3x+2，得 x=6. 小亮说:“我的方法多简便!” 可另一个根x= 哪里去了?小亮的解法对吗?你能解开这个谜吗? 03 新知探究 小林的解法不全面，因为等式的性质2规定：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。若除以的数为0，该运算无意义，等式不成立。 小林得到x(3x+2)=6(3x+2)后，直接对等式两边同时除以3x+2， 未验证3x+2是否等于0。 当3x+2=0时，3x+2是0，不能作为除数，因此该操作丟失了3x+2=0对应的解。 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.方程2x=x(x-1)的解是( ). A. x=2 B. x=3 C. x1= 0， x2=2 D. x1= 0， x2=3 D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2. 用直接开方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( ) A.x=3+2 B.x1=3+2 ， x2=3-2 C.x=3-2 D.x1=3+2 ， x2=3-2 D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3. 关于x的一元二次方程(2x-1)(x+m)=0有两个相等的实数根，则m的值为( ). A. 2 B. 1 C. -1 D. D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 解方程：(1)x2-2x=8；(2)(x+4)2=5(x+4); 解：(1)x2-2x=8 x2-2x+1=8+1 （x-1）2=9 ∴x-1=±3， ∴x1= 4， x2=-2 解：(2)(x+4)2=5(x+4) (x+4)2-5(x+4)=0 (x+4)(x+4-5)=0 (x+4)(x-1)=0 ∴x+4=0或x-1=0 ∴x1= -4， x2=1 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5. 一元二次方程x2-25=0的解为( ）. A.x1=x2=5 B.x1=5，x2=-5 C.x1=x2=-5 D.x1=x2=25 B 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6. 若方程(x-4)2=a有实数解，则a的取值范围是( ). A.a≤0 B.a≥0 C.a>0 D.无法确定 B 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.阅读材料：为解方程(x2-1)2-3(x2-1)=0，我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，将原方程化为y2-3y=0①，解得y1=0，y2=3. 当y=0时，x2-1=0，x2=1，∴x=±1;当y=3时，x2-1=3，x2=4，∴x=±2. 故原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2.解答问题:(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法 达到降次的目的，体现了　 　的数学思想. 换元 转化 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.(2)利用上述材料中的方法解方程:(x2+3)2-4(x2+3)=0. 解：设x2+3=y，将原方程化为y2-4y=0①， 解得y1=0，y2=4.当y=0时，x2+3=0，x2=-3，∴方程无解;当y=4时，x2+3=4，x2=1，∴x=±1.故原方程的解为x1=1，x2=-1. 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.开平方法变形：移项、系数化1、整体整理； 2.因式分解法变形：移项化0、去括号、合并化简； 3.核心思想：变形化简、降次转化； 4.解题原则：观察结构、择优解题。 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1已知一元二次方程的两根分别为x1＝3、x2＝-4，则这个方程为 (　 　) A.(x－3)(x＋4)＝0 B.(x＋3)(x－4)＝0 C.(x＋3)(x＋4)＝0 D.(x－3)(x－4)＝0 A 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2. 下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程 x2－x＝2的解是(　 　). A. x＝-1 B. x＝0 C. x＝2 D. x＝-1或x＝2 D x －2 －1 0 1 2 3 … x2－x 6 2 0 0 2 6 … 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 3.已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为(　　). A．6 B．8 C．6或8 D．8或9 B 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 4. 解方程：（1）2x2－4＝7x； （2）(x－3)2＝(3x－1)2. 解：(1)2x2－4＝7x， 2x2－7x－4＝0， (2x＋1)(x－4)＝0，2x＋1＝0或x－4＝0， 解得x1＝－0.5，x2＝4； （2）移项，得(x－3)2－(3x－1)2＝0，因式分解，得(x-3-3x＋1)(x-3+3x-1)＝0，即(－2x－2)(4x－4)＝0，故－2x－2＝0或4x－4＝0， ∴x1＝－1，x2＝1. 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.甲同学在解方程x(x-4)+4=x时的解答过程如下： 解：移项，得x(x-4)=x-4，······① 两边同除以(x-4)，得x=1. ······② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答. 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.解：甲同学的解法错误的原因： 甲同学未考虑x-4=0的情况，等式两边不能同时除以0， 正确解答：x(x-4)+4=x， x(x-4)-(x-4)=0， (x-4)(x-1)=0， x-4=0或x-1=0， 解得x1＝1，x2＝4. $