湖北襄阳市第六中学2025-2026学年高二上学期元月月考数学试题

**基本信息** 襄阳六中高二元月月考数学试卷聚焦数列、立体几何、解析几何等核心知识，通过基础题（如等差数列计算）、能力题（空间向量应用）及创新题（椭圆定值探究），培养数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|数列、圆、空间向量|基础巩固，如等差数列前n项和计算| |多选题|3|空间向量性质、数列递推|能力辨析，如空间向量共面判断| |填空题|3|数列公共项、双曲线离心率|知识综合，如双曲线与直线相交求离心率| |解答题|5|圆方程、立体几何、概率、椭圆|分层设计，如概率题结合比赛情境，椭圆题探究斜率积定值|

襄阳六中2025-2026学年度上学期高二元月月考 数学试题 一、单选题 1．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 A． B． C． D． 2．圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．数列0，，，，…的一个通项公式是(　　) A． B． C． D． 4．已知平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（   ） A． B． C． D．2 6．已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．2 D． 7．从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中错误的是（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥 8．正方体的棱长为5，点M在棱AB上，且，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B．若空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D．若空间向量，，则在上的投影向量为 10．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点（含端点），则（    ） A． B．平面与平面可能平行也可能垂直 C．的取值范围是 D．点到平面的距离为 三、填空题 12．将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则 13．已知点，点，则点到直线的距离为 ． 14．已知双曲线的右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率 . 四、解答题 15．已知圆心为的圆经过点，和． (1)求圆M的方程； (2)若过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线m的方程． 16．已知数列满足. (1)求证：是等差数列. (2)求数列的通项公式. 17．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，平面与棱PC交于点G，且平面． (1)指出点G在棱PC上的位置，并说明理由； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 19．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 试卷第2页，共4页 元月月考试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C B D D B AD CD 题号 11 答案 ABD 12． 13． 14．/ 15．(1) (2)或 【详解】（1）法一：设圆M的标准方程为： 由题意得：，解得：． 圆M的标准方程为． 法二：设线段AB的中点为E，则，又因为 所以线段AB的垂直平分线的方程为：，即 同理可得：线段BC的垂直平分线的方程为： ，解得 所以圆心，半径． 圆的标准方程为． （2）由题意得：圆心M到直线m的距离为． ①当直线m垂直于x轴时，方程为，满足条件； ②当直线m斜率存在时，设直线m的方程为，即 由，解得． 所以直线m的方程为． 综上所述，直线m的方程为或． 16【详解】（1）为常数， 所以为公差为的等差数列， （2）由于为公差为的等差数列，且首项为， 所以，所以 17．(1)点G在棱PC上靠近点C的三等分点处，理由见解析． (2). 【详解】（1）四棱锥的底面为正方形，底面，则直线两两垂直， 以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，则， 由平面，平面，得， 则，解得， 所以点G在棱PC上靠近点C的三等分点处. （2）由（1）知 ，， 设平面的法向量，则取，得， 由平面，得平面的法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值. 18．（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 19．(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. （2）设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. （3）设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $