21.2.2 配方法解一元二次方程 课件 2025--2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过复习完全平方公式和直接开平方法，以方程x²-6x+5=0为例引出配方必要性，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过“六步解题流程”和“二次项系数化1”等步骤，结合实例归纳配方规律，培养学生推理意识与模型意识。分层练习助力系统掌握，教师可利用结构化内容提升教学效率，学生能形成严谨代数推理思维。

null 第二十一章 一元二次方程 21.2.2 配方法解一元二次方程 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 01 教学目标 熟练掌握配方法六步解题流程，精准完成移项、系数化1、配方、开方、求解等运算，规避配方过程中符号、常数、等式不等变形等错误。 01 经历配方规律的探究过程，推理归纳“配完全平方需要添加的常数项”的通用规律，理解等式恒等变形的依据，培养严谨的代数推理思维。 02 建立“普通一元二次方程→配方变形→完全平方标准型→开平求解”的通用解题模型，能识别不同结构方程的配方方式，形成系统化解方程思维。 03 02 新知导入 【思考】 1.完全平方公式是什么？ 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. （a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2 02 新知导入 【思考】 2.什么样的方程可以用直接开平方法求解? 形如x2=p( p≥0 )或(ax+b)2=p(p≥0)的方程，即方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是非负数可以用直接开平方法求解. 观察方程x2-6x+5=0，该方程既不能直接开平方，也不易分解，我们应该怎样解这个方程呢？ 03 新知探究 探究 配方法解一元二次方程 为此，通常设法在方程两边都加上一个适当的数，使左边变成一个含有未知数的完全平方式(右边是一个常数).那么，本题中，要把x2+2x=5的左边配成完全平方式，这个“适当的数”是什么呢? 【例】解方程：x2+2x=5. 【思考】要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为（ )2=a 的形式，那么，怎么实现呢? 03 新知探究 探究 配方法解一元二次方程 【例】解方程：x2+2x=5. 将一次项2x改写成2·x·1，得x2+2·x·1=5 由此（a+b）2=a2+2ab+b2可以看出，为使左边成为完全平方式， 只需在方程两边都加上12 即：x2+2·x·1+12=5+12， （x+1）2=6 现在你会解这个方程了吗？ 03 新知探究 探究 配方法解一元二次方程 【例】解方程：x2+2x=5. 解：原方程两边都加上1，得 x2+2x +1=6， 即 (x+1)2=6. 直接开平方，得x+1= 所以x=-1 即x1= ，x2= . 总结归纳 上面的解方程，是通过将方程简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. x2 + 2x= 5 ( x + 1 )2 = 6. 一元二次方程 完全平方式 非负常数 03 新知探究 x2+2x+___=(________)2 x2-2x+___=(________)2 x2+4x+___=(________)2 x2-4x+___=(________)2 x2+6x+___=(________)2 x2-6x+___=(________)2 x2+10x+___=(________)2 x2-10x+___=(________)2 1 x + 1 1 x - 1 4 x + 2 4 x - 2 9 x + 3 9 x - 3 25 x + 5 25 x - 5 【做一做】添上一个适当的数，使下列的多项式成为一个完全平方式 03 新知探究 配方的关键：对二次项系数为1的一元二次方程x2+bx=c配方，只需在方程两边都加上一次项系数一半的平方。 常数项是一次项系数一半的平方 【思考】在用配方法解二次项系数是1的一元二次方程时，添上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？ 03 新知探究 【例5】用配方法解方程： （1）x2-4x+1=0. （2）4x2-12x-1=0 解：（1）原方程可化为 x2-4x=-1， 配方（两边都加上4），得x2-2·x·2+22=-1+22 ， 即 (x-2)2=3. 直接开平方，得x-2= 所以x1= ，x2= . 总结归纳 配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤： (1)移项：把常数项移到方程的右边； (2)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (3)开方：根据平方根的意义,方程两边开平方; (4)求解：解一元一次方程; (5)定解：写出原方程的解. 03 新知探究 【例5】用配方法解方程： （1）x2-4x+1=0. （2）4x2-12x-1=0 二次项系数不是1怎么办？ 第2个方程的二次项系数不是1，但只要在方程的两边同除以二次项系数，就划归为我们已能求解的一元二次方程类型。 03 新知探究 【例5】用配方法解方程： （1）x2-4x+1=0. （2）4x2-12x-1=0 解：（2）移项，得 4x2-12x=1， 两边都除以4，得x2-3x= 配方，得x2-2·x· + = ， 即 . 03 新知探究 【例5】用配方法解方程： （1）x2-4x+1=0. （2）4x2-12x-1=0 直接开平方，得 所以x1= ，x2= . 总结归纳 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤： 1.化1：把二次项系数化为1（方程两边同除以二次项系数）； 2.移项：把常数项移到方程的右边； 3.配方：方程两边同加一次项系数一半的平方； 4.变形：化成(x+m)2=a的形式 5.开平方，求解 03 新知探究 【思考】小题(2)中，注意到42=(2x)2，方程移项后可以写成 (2x)2-2·2x·3=1，此时可以怎样配方？试一试，并完成解答. 解：(2x)2-2·2x·3=1， 配方，得(2x)2-2·2x·3+32=1+32 即（2x-3）2=10， 直接开平方，得 所以x1= ，x2= . 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.填空 (1)x2－4x＋___＝(x－___)2； (2)x2＋7x＋ ＝(x＋________)2； (3)x2－ x＋________＝(x－________)2； (4)x2＋bx＋__________＝(x＋________)2. 4 2 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2. 把代数式2x2－4x－1化成a(x＋m)2＋k的形式为____． A.2(x－2)2－3　 B.2(x－2)2－4 C.2(x－1)2－3 D.2(x－1)2－4 C 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3. 用配方法解方程：x2＋6x＋4＝0. 解：将常数项移到方程右边， 得x2＋6x＝________， 配方，得x2＋6x＋______＝－4＋______， 即(x＋______)2＝______， 由此得x1＝___________，x2＝___________． -4 9 9 3 5 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 用配方法解方程x2－10x＋7＝0，配方后得到的方程为(　　) A．(x－5)2＝-7 B．(x＋5)2＝18 C．(x－5)2＝18 D．(x－5)2＝25 C 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5. 用配方法解方程x2－8x－1＝0，若配方后结果为(x＋m)2＝17，则m的值为(　　) A．±4 B．4 C．-4 D．8 C 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6. 用配方法解下列方程： (1)x2－4x＝3； 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6. 用配方法解下列方程： (1)x2－4x＝3； 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 已知4x2+8(n+1)x+16n是一个关于x的完全平方式，求常数n的值. 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 已知4x2+8(n+1)x+16n是一个关于x的完全平方式，求常数n的值. 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 配方法解一元二次方程的基本步骤： 1.化1：把二次项系数化为1（方程两边同除以二次项系数）； 2.移项：把常数项移到方程的右边； 3.配方：方程两边同加一次项系数一半的平方； 4.变形：化成(x+m)2=a的形式 5.开平方，求解 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为（　　） A．（x+2）2=3 B．（x+2）2=5 C．（x-2）2=3 D．（x-2）2=5 D 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2. 用配方法解下列方程： (2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：去括号，得4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7， 移项、合并同类项，得x2－6x＝－8， 配方，得x2－6x＋9＝－8＋9，即(x－3)2＝1， 开平方，得x－3＝±1，所以x1＝2，x2＝4. 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 3.在解方程3x2＋12x－7＝0时，对方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，下列说法正确的是(　　). A．两人都正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲不正确，乙正确 D．两人都不正确 A 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 4. 若方程x2＋6x＋2＝0能配方成(x＋p)2＋q＝0的形式，则直线y＝px＋q不经过的象限是(　　). A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.李老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值，要求同学们运用所学知识进行解答，同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+22-22+5=(x+2)2+1. ∵(x+2)2>0，∴(x+2)2+1≥1. ∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1. 即x2+4x+5的最小值是1. 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.请你根据上述方法，解答下列各题. (1)直接写出(x-1)2+3的最小值为_______. (2)求代数式x2+10x+32的最小值. 3 解：x2+10x+32=x2+10x+52-52+32=(x+5)2+7， ∵(x+5)2≥0，∴(x+5)2+7≥7. ∴当(x+5)2=0时，(x+5)2+7的值最小，最小值为7， 即x2+10x+32的最小值为7. 二一教育 解：（1）配方，得x2－4x＋4＝3＋4， 即(x－2)2＝7， 开平方，得x－2＝±， 解得x1＝2＋，x2＝2－. (2)x2－x－4＝0. (2)x2－x－4＝0. 解：（2）二次项系数化为1，得x2－4x－16＝0， 移项，得x2－4x＝16， 配方，得x2－4x＋4＝16＋4，即(x－2)2＝20， 解得x1＝2＋2，x2＝2－2. $