21.2. 3. 公式法（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，系统涵盖求根公式推导、判别式应用及解方程步骤，通过“用配方法解一般形式方程”的问题引导，衔接前序配方法知识，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学思维为核心，通过公式推导过程培养推理能力，分层次练习题（选择、填空、解答）夯实运算能力。规范“化定算求”解题步骤强化数学语言表达，结合绿地面积实际问题渗透数学眼光，助力学生提升解题规范与应用意识，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 一元二次方程 21.2. 3. 公式法 2026年8月4日 华东师大版九年级上册21.2.3 公式法练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 一元二次方程求根公式$$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$适用的前提是（） A.$$a e0，b^2-4ac\ge0$$ B.$$a e0，b^2-4ac\le0$$ C.$$a=0，b^2-4ac\ge0$$ D.任意一元二次方程 2. 一元二次方程$$x^2-3x+2=0$$中，$$a、b、c$$的值分别是（） A.1、-3、2 B.1、3、2 C.-1、-3、2 D.1、-3、-2 3. 一元二次方程$$2x^2+5x-1=0$$的根的判别式的值为（） A.17 B.33 C.25 D.23 4. 若一元二次方程$$x^2-2x+m=0$$无实数根，则$$m$$的取值范围是（） A.$$m\le1$$ B.$$m\ge1$$ C.$$m\lt1$$ D.$$m\gt1$$ 5. 用公式法解方程$$x^2-4x+3=0$$，其根为（） A.$$x_1=1，x_2=3$$ B.$$x_1=-1，x_2=-3$$ C.$$x_1=1，x_2=-3$$ D.$$x_1=-1，x_2=3$$ 6. 下列方程有两个相等实数根的是（） A.$$x^2-4x+4=0$$ B.$$x^2-2x-1=0$$ C.$$x^2-1=0$$ D.$$x^2+2x+3=0$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 一元二次方程根的判别式$$\Delta=$$________。 2. 当$$\Delta>0$$时，方程有________实数根；当$$\Delta=0$$时，方程有________实数根。 3. 方程$$3x^2-2x-1=0$$的判别式$$\Delta=$$________。 4. 用公式法解方程$$x^2+2x-2=0$$，解得$$x=$$________。 5. 若方程$$x^2-6x+k=0$$有两个相等实数根，则$$k=$$________。 6. 方程$$2x^2-7x=0$$的两根为________。 三、解答题（共52分） 13.（12分）先计算判别式，再用公式法解下列方程： (1)$$x^2-5x+6=0$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$x^2+2x-3=0$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3)$$x^2-4x+4=0$$ 14.（12分）用公式法解下列二次项系数不为1的一元二次方程： (1)$$2x^2-3x-2=0$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$3x^2-6x+1=0$$ 15.（14分）已知一元二次方程$$x^2+(m-2)x+2m=0$$有两个相等的实数根，求$$m$$的值。 16.（14分）判断方程$$2x^2-5x+3=0$$的根的情况，并用公式法求出方程的根。 参考答案 1.A &nbsp;2.A &nbsp;3.B &nbsp;4.D &nbsp;5.A &nbsp;6.A 7.$$b^2-4ac$$ &nbsp;8.两个不相等、两个相等 &nbsp;9.$$16$$ &nbsp;10.$$-1\pm\sqrt{3}$$ &nbsp;11.$$9$$ &nbsp;12.$$x_1=0，x_2=\dfrac{7}{2}$$ 13.解：(1)$$\Delta=25-24=1>0$$，$$x=\dfrac{5\pm1}{2}$$，解得$$x_1=3，x_2=2$$ (2)$$\Delta=4+12=16>0$$，$$x=\dfrac{-2\pm4}{2}$$，解得$$x_1=1，x_2=-3$$ (3)$$\Delta=16-16=0$$，$$x=\dfrac{4}{2}=2$$，解得$$x_1=x_2=2$$ 14.解：(1)$$\Delta=9+16=25$$，$$x=\dfrac{3\pm5}{4}$$，解得$$x_1=2，x_2=-\dfrac{1}{2}$$ (2)$$\Delta=36-12=24$$，$$x=\dfrac{6\pm2\sqrt{6}}{6}=\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{3}$$，$$x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}，x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$$ 15.解：由题意得$$\Delta=0$$，$$(m-2)^2-8m=0$$，整理得$$m^2-12m+4=0$$ 解得$$m=6\pm4\sqrt{2}$$。 16.解：$$\Delta=25-24=1>0$$，方程有两个不相等的实数根。 $$x=\dfrac{5\pm1}{4}$$，解得$$x_1=\dfrac{3}{2}，x_2=1$$。 命题说明（约420字） 本套练习题适配华东师大版九年级上册21.2.3公式法，承接上一节配方法，沿用整套试卷统一的题型、分值与难度梯度，适配课后巩固与小节检测。公式法是解一元二次方程的通用方法，由配方法推导而来，是本章解方程的核心重点，贯穿后续方程综合应用。 习题设计层层递进、重难点精准覆盖。选择题聚焦求根公式适用条件、判别式意义、方程根的情况判断，重点纠正学生忽略二次项系数不为0、误用判别式的高频错误；填空题侧重判别式计算、根的情况分类、基础公式求解，夯实核心公式记忆与简单运算能力；解答题涵盖基础方程求解、含参数方程求值、根的情况判定综合题型，包含整数、根式结果，贴合课本例题与中考基础考法。 本节核心解题流程为：先将方程化为一般形式，准确识别$$a、b、c$$的值，再计算判别式判断根的情况，最后代入求根公式求解。整套习题针对性训练学生规范解题步骤，规避符号看错、判别式计算失误、公式代入错误等问题，帮助学生熟练掌握公式法，构建完整的一元二次方程解方程体系，为后续因式分解法、方程应用题筑牢基础。 （全文约1050字） 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程， 了解公式法的概念. 2. 会熟练应用公式法解一元二次方程. 学习目标 一般形式的一元二次方程： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 你能用配方法解这个方程吗？试一试 因为 a ≠ 0，方程两边除以 a，得 x2+x+=0. 移项，得 x2 +x = . 配方，得 x2 + 2·x · + 2＝ + 2. 即 ＝ . 探索新知 因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当 b2 – 4ac ≥ 0 时，直接开平方，得 ＝ . 所以 ＝ . 即 ＝ ， ＝. 由以上研究，得到了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. ＝ . 将一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 这里为什么强调 b2－4ac ≥ 0？ 如果 b2－4ac < 0，会怎么样呢？ 方程无解 知识点1用公式法解一元二次方程 1.福建福州期中 如果一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是(　　) A．p2－4q≥0 B．p2－4q≤0 C．p2－4q>0 D．p2－4q<0 1星题 夯实四基 A 举一反三 2．陕西西安期中 当用公式法解方程2x2－1＝3x时，b2－4ac的值为(　　) A．－1 B．－3 C．2 D．17 D 举一反三 A．x2＋2x＋4＝0 B．x2－2x＋4＝0 C．x2＋2x－4＝0 D．x2－2x－4＝0 C 举一反三 例 6 解下列方程： （1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2； 解 （1）这里 a = 2，b = 1，c = －6. 因为 b2－4ac = 12－4×2×(－6) （3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x. = 1－48 = 49 > 0， 所以 x = = = 即 x1 = ， x2 = －2. 例 6 解下列方程： （1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2； （3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x. （2）将方程化为一般形式，得 x2 + 4x－2 = 0. 因为 b2－4ac = 24 > 0， 所以 x = = －2±， 即 x1 = －2 + ，x2 =－2－ . 例 6 解下列方程： （1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2； （3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x. （3）因为 b2－4ac = 256 > 0， 所以 x = = = ， 即 x1 = 2，x2 =－ . 例 6 解下列方程： （1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2； （3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x. （4）整理，得 4x2 + 12x + 9 = 0 . 因为 b2－4ac = 0， 所以 x = ， 即 x1 = x2 =－ . 这里 b2－4ac = 0， 方程有两个相等的实数根. 4.用公式法解方程3x2＋2x＝1. 解：将方程化为一般形式，得_______________， 因为a＝________，b＝______，c＝______， 所以b2－4ac＝________， 3x2＋2x－1＝0 3 2 －1 16 －1 举一反三 5．用公式法解下列方程： (1)x2－3x－3＝0； 举一反三 (2)3x2＋10x＋5＝0； 举一反三 (3)－4x2＋1＝2x. 举一反三 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）化：将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c＝ 0 (a ≠ 0). （2）定：确定 a、b、c 的值. （3）算：求出 b2－4ac 的值. （4）求：若 b2－4ac ≥ 0，则利用求根公式求解； 若 b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 用公式法解下列方程: （1）x2 + 6x + 9 ＝ 0； （2）(x－5)(1－3x) ＝ 6. （3）3x2－x－1 ＝ 0. 思路分析 把方程化为一般形式 计算 b2－4ac 的值 b2－4ac < 0 b2－4ac ≥ 0 没有实数根 代入求根公式 求解 解 （1）因为 b2 － 4ac ＝ 62－4×1×9 = 0， 所以 x = ，即 x1 = x2 = －3. （1）x2 + 6x + 9 ＝ 0； （2）(x－5)(1－3x) ＝ 6. 不能写成 x = －3. （2）将方程化为一般形式，得 3x2－7x + 8 ＝ 0 . 因为 b2－4ac = (－7)2－4×3×8 = －47 < 0， 负数的平方要加括号. 所以方程没有实数根. （3）3x2－x－1 ＝ 0. （3）因为 b2 － 4ac ＝ (－)2－4×3×(－1) = 18， 所以 x = ， 即 x1 = ，x2 = . 思 考 根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选用的？和同学交流一下. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 x2 = p 或 (mx + n)2 = p (m ≠ 0，p ≥ 0) 一边化为 0，另一边易分解成两个一次因式的积的一元二次方程(有公因式可提取或缺项等) 所有的一元二次方程，但二次项系数为 1，一次 项系数为偶数的一元二次方程解起来较简单 所有的一元二次方程 问题 1 绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为 900 m² 的矩形绿地，并且长比宽多 10 m. 求绿地的长和宽. x ( x + 10 ) = 900， 现在你会解决这个问题吗？ x2 + 10x－900 = 0， x =－5±5， x1 =－5 + 5，x2 = －5－5. 它们都是所列方程的根，但负数根 x2 不符合题意，应舍去. x =－5 + 5 ≈ 25.4，x + 10 ≈ 35.4， 符合题意，因此绿地的宽约为 25.4 米，长约为 35.4 米. 用公式法解下列方程： 【选自教材第30页 练习】 （1）x2 － 6x + 1 = 0； （2）2x2 － x = 6； （3）4t2 － 3x －1 = t－2； （4）3x(x－3) = 2(x－1)(x + 1). 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 解:（1）因为 b2 － 4ac ＝ 32， 所以 x ＝ ， 即 x1 ＝3 + 2，x2 ＝3－2. （1）x2 － 6x + 1 = 0； （2）2x2 － x = 6； （2）将方程化为一般形式，得 2x2－x－6 ＝ 0. 因为 b2 － 4ac ＝ 49， 所以 x ＝ ， 即 x1 ＝2，x2 ＝－ . （3）4t2 － 3x －1 = t－2； （4）3x(x－3) = 2(x－1)(x + 1). （3）整理，得 4x2－4x + 1 ＝ 0. 因为 b2 － 4ac ＝ 0， 所以 x ＝ ， 即 x1 ＝ x2 ＝ . （3）4t2 － 3x －1 = t－2； （4）3x(x－3) = 2(x－1)(x + 1). （4）整理，得 x2－9x + 2 ＝ 0. 因为 b2 － 4ac ＝ 73， 所以 x ＝ = ， 即 x1 ＝ ， x2 ＝. 知识点2用适当的方法解一元二次方程 6.在下列各题的横线上填写适当的解法． (1)解方程(x－3)2＝4，用__________法比较适宜； (2)解方程3x2－2x＝0，用__________法比较适宜； (3)解方程3x2－6x－4＝0，用________法比较适宜． 直接开平方 因式分解 公式 举一反三 7．用适当的方法解下列方程： (1)16(x＋1)2＝25； 举一反三 (2)x2＋2x－19＝0； 举一反三 (3)x(x－3)＝2x－6. 原方程变形为x(x－3)－2(x－3)＝0， 所以(x－3)(x－2)＝0，所以x－3＝0或x－2＝0， 所以x1＝3，x2＝2. 举一反三 8．已知a是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根，则下面对a的估计正确的是(　　) A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5 C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜3 C 2星题 提升四能 举一反三 9.【新趋势·过程式学习】 关于y的方程y(y－2)＝4(y－2)，下面解法完全正确的是(　　) 甲 举一反三 乙 两边同时除以(y－2)，得y＝4. 丙 y(y－2)＋4(y－2)＝0， 所以(y－2)(y＋4)＝0， 所以y－2＝0或y＋4＝0， 即y1＝2，y2＝－4. 丁 整理，得y2－6y＋8＝0， 配方，得(y－3)2＝1， 所以y－3＝±1，即y1＝4，y2＝2. A.甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 举一反三 10．王刚同学在解关于x的方程x2－3x＋c＝0时，误将－3x看作＋3x，结果解得x1＝1，x2＝－4，则原方程的解为______________． x1＝－1，x2＝4 举一反三 举一反三 举一反三 (2)2y(y－1)＋3＝(y＋1)2； 举一反三 (3)x2－3mx＋2m2＝0(m>0，且m为常数)． 举一反三 13.【新趋势·阅读理解】阅读下列材料，解答问题： 解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0时，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，(*) 解得y1＝1，y2＝4. 3星题 发展素养 举一反三 (1)在原方程化为方程(*)的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了__________的数学思想； 换元 转化 举一反三 (2)仿照上述方法，解方程：(x2－x)2－8(x2－x)＋12＝0. 解：设x2－x＝a，则原方程可化为a2－8a＋12＝0， 解得a1＝2，a2＝6. 当a＝2时，x2－x＝2，所以x＝－1或x＝2； 当a＝6时，x2－x＝6，所以x＝－2或x＝3. 所以原方程的解为x1＝－1，x2＝2，x3＝－2，x4＝3. 举一反三 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. ＝ . 将一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 3．若关于x的一元二次方程的根为x＝，则该方程是(　　) 所以x＝＝________＝________， 即x1＝________，x2＝________． 解：因为a＝1，b＝－3，c＝－3， 所以b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－3)＝21>0， 所以x＝＝＝， 所以x1＝，x2＝. 解：因为a＝3，b＝10，c＝5， 所以b2－4ac＝102－4×3×5＝40>0， 所以x＝＝＝， 所以x1＝，x2＝. 解：原方程可化为4x2＋2x－1＝0. 所以a＝4，b＝2，c＝－1， 所以b2－4ac＝22－4×4×(－1)＝20>0， 所以x＝＝＝， 所以x1＝，x2＝. 解：方程两边都除以16，得(x＋1)2＝， 所以x＋1＝±，所以x1＝，x2＝－. 解：移项，得x2＋2x＝19， 配方，得x2＋2x＋1＝19＋1，即(x＋1)2＝20， 所以x＋1＝±2， 所以x1＝－1＋2，x2＝－1－2. 整理，得y2－6y－8＝0， 因为a＝1，b＝－6，c＝－8， 所以b2－4ac＝68>0， 所以y＝＝3±， 即y1＝3＋，y2＝3－.　 11.【新角度】定义新运算，规定(xn)＝nxn－1.方程(x＋1)＋(x2)＝的解为________________________． x1＝，x2＝ 12．解方程： (1)x2＋4 x－2 ＝0； 解：因为a＝，b＝4，c＝－2， 所以b2－4ac＝(4)2－4××(－2)＝64>0， 所以x＝＝－±2， 所以x1＝－＋2，x2＝－－2. 解：原方程可化为2y2－2y＋3＝y2＋2y＋1， 即y2－4y＝－2，配方，得y2－4y＋4＝－2＋4， 即(y－2)2＝2，开平方，得y－2＝±， 所以y1＝2＋，y2＝2－. 解：因为a＝1，b＝－3m，c＝2m2， 所以b2－4ac＝(－3m)2－4×1×2m2＝m2. 因为m>0，所以x＝＝， 所以x1＝2m，x2＝m. 当y＝1时，x2－1＝1，所以x＝±； 当y＝4时，x2－1＝4，所以x＝±. 所以原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝， x4＝－. $