21.2.2 配方法 课件 2026-2027学年华东师大版初中数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“配方法”解一元二次方程，通过观察方程特征（如x²=5、(x+3)²=5等）引出直接开平方法，结合完全平方公式填空练习，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生理解配方原理。 其亮点在于以从特殊到一般的实例（如二次项系数为1的x²-4x+1=0和不为1的4x²-12x-1=0）培养抽象能力和推理意识，通过最值问题应用发展模型意识。步骤归纳清晰，教师使用可高效教学，学生能形成有条理的思维，提升解决问题能力。

21.2.2 配方法 32100 1.了解配方法的概念，理解“配方法”解一元二次方程的基本思想. 2.能熟练运用配方法解一元二次方程，解决最值等问题. 学习目标 32100 1.观察以下三个方程的特征，并解方程： 上述解方程中用到 了什么方法？它的 特点是什么？ 问题导入 32100 3 2.能利用直接开平方法求解的一元二次方程具有什么特征？ 形如：x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0) 3.填一填，并说说填写的依据. 1 1 16 4 (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 完全平方公式: 32100 1 1 16 4 当常数项等于一次项系数一半的平方时就是一个二次项系数为1的完全平方式. 对于，再填上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一次式的完全平方式.体现了从特殊到一般的数学思想方法. 规律总结： 32100 例1 解方程： x2 + 2x = 5. 一、配方法的概念及解法 解：原方程两边都加上 1，得   x2 + 2x + 1 = 6， 即 (x + 1)2 = 6. 直接开平方，得 所以 即 显然需要将方程化为(x+n)2=p (p ≥0)的形式，怎么实现呢？ 典例分析 32100 定义：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. x2 + 2x = 5 配方 (x + 1)2 = 6 开方 得根 基本思路：把方程化为 ( x + n )2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 注意：配方时，方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方. 归纳总结 32100 例2 用配方法解方程： (1) x2－4x + 1 = 0； 解： (1) 原方程可化为 x2 - 4x = -1. 配方 (两边同时加上 4 )，得 x2 - 2·x·2＋22 = -1 + 22， 即 ( x - 2 )2 = 3. 直接开平方，得 x - 2 = 所以 左边配上什么数能 成为完全平方式？说说 你的思路. 32100 配方，得 两边同除以 4，得 (2) 4x2 - 12x - 1 = 0. 解：(2) 移项，得　4x2 - 12x = 1. 直接开平方，得 所以 左边配上什么数能成为完全 平方？ 二次项系数不为1，直接配方比较麻烦，接下来怎么做呢？ 32100 用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）移项: 把常数项移到方程的右边（移项需注意改变符号）; （2）二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数； （3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; （4）变形: 方程化成 (x + n)2 = p(p≥0)形式； （5）开方求解：开平方求得方程的根. ax2+bx+c=0→(x+n)2=p (p ≥0) 归纳总结 32100 解： , 试一试： 若将一元二次方程看成是，能否进行配方？你能继续往下解吗？ 方法归纳：注意完全平方公式的灵活运用，找到顺藤摸瓜去找b,然后两边同时加b²，就能完成配方的过程. 32100 1.解下列方程： (1) x2 - 8x + 1 = 0； (2) 2x2 + 1 = 3x 解：移项，得 x2 - 8x = -1， 由此可得 配方，得 x2 - 8x + 42 = -1 + 42， ( x - 4)2 = 15 即 (3) 3x2 - 6x + 4 = 0 针对练习 32100 配方，得 由此可得 二次项系数化为 1，得 解：移项，得 2x2 - 3x = -1， 即 (2) 2x2 + 1 = 3x 32100 配方，得 解：移项，得 二次项系数化为 1，得 即 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． (3) 3x2 - 6x + 4 = 0 32100 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 ( x + n )2 = p. ①当 p > 0 时，则 ，方程的两个根为 ②当 p = 0 时，则 ( x + n )2 = 0，开平方得方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = -n. ③当 p < 0 时，则方程 (x + n)2 = p 无实数根. 归纳总结 32100 二、配方法的应用 例3 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2 - 2k + 4 的值必定大于零. 解：k2－4k + 4 = k2 - 2k + 1 + 3 = (k - 1)2＋3 因为 (k - 1)2 ≥ 0，所以 (k - 1)2 + 3 ≥ 3. 所以 k2 - 2k + 4 的值必定大于零. 典例分析 32100 2. 应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x + 5 的最小值； (2) -3x2 + 6x - 7 的最大值. 解：原式 = 2( x - 1 )2 + 3 当 x = 1 时，有最小值 3. 解：原式 = -3(x - 1)2 - 4 当 x = 1 时，有最大值 -4. 针对练习 32100 配方法 特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 在方程两边都配上二次项系数一半的平方 一、移常数项； 二、配方[配上 ]； 三、写成（x+n)2=p (p ≥0); 四、直接开平方; 五、解两个一元一次方程. 求代数式的最值或证明 方法 步骤 应用 基本思路 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 课堂总结 32100 1.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是(　　) A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5 C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝5 2.一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为(　　) A．(x－3)2＝14 B．(x－3)2＝4 C．(x＋3)2＝14 D．(x＋3)2＝4 A A 随堂检测 32100 3.用配方法解方程: 3x2 + 8x - 3 = 0； 解：方程两边都除以 3，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 所以 即 随堂检测 32100 4.用配方法解关于x的方程 x²+px+q = 0 (p²－4q ≥ 0) 解：原方程变形为x²+px = -q 配方，得 x² + px + = 即( x + )² = 因为 p²－4q ≥ 0，所以 ≥ 0 开方，得 x + = ± 移项，得 x = 即 x1= x1 = 方法归纳：方程中的含参问题，首先明确未知数是谁，其它一律当数看待，以不变应万变. 32100 $