第1章 二次函数 综合卷(A) 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 以二次函数图象性质为核心，整合代数推理、几何直观与实际应用，覆盖基础到综合的层级化题型设计。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3、填空11-12|考查开口方向、对称轴、顶点坐标等核心概念|从解析式到图象性质的直接应用| |图象应用|选择4-6、填空13|结合函数图象解决最值、距离问题|图象特征与数量关系的转化| |几何综合|选择10、填空15|二次函数与菱形、旋转等几何图形结合|代数表达式与几何性质的综合运用| |实际应用|解答20-22|以滑雪、射门、喷泉为背景的建模问题|实际情境抽象为二次函数模型| |代数综合|解答23-24|含参数二次函数与方程、不等式综合|函数与方程思想的逻辑推理|

二次函数综合卷(A) 一、选择题(每题3分，共30分) 1.二次函数 的图象的开口 ( ) A.向左 B.向右 C.向上 D.向下 2.已知二次函数. 下列说法中，正确的是 ( ) A.对称轴为直线x=-2 B.顶点坐标为(2,3) C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3 3.若点P(m,n)在抛物线 上，则下列各点在抛物线 上的是 ( ) A.(m,n+1) B.(m+1,n) C.(m,n-1) D.(m-1,n) 4.滑雪者从山坡上滑下，其滑行距离s(m)与滑行时间t(s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图，根据图象，当滑行时间为4s时，滑行距离为( ) A.40m B.48m C.56m D.72m 5.已知二次函数 ，当0≤x≤3时，函数的最大值为 ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 6.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m。按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 表示。在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是( ) A.2m B.4m C.4\sqrt{2} 7.已知点A(x₁,y₁)在直线y=-x-6上,点B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)在抛物线. 上，若 则 的取值范围是( ) 8.在平面直角坐标系中，二次函数. 的图象交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)。若把点B向上平移m(m>0)个单位长度得点B₁，若点B₁向左平移n(n>0)个单位长度，将与该二次函数图象上的点B₂重合；若点B₁向左平移(n+2)个单位长度，将与该二次函数图象上的点B₃重合，则n的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知二次函数 (a是常数,a<0)的图象上有A(m,y₁)和B(2m,y₂)两点。若点A,B都在直线y=-3a的上方,且. ，则m的取值范围是 ( ) A. B. C. D. m>2 10.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N(点M在点N的上方)，若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t(s)(0≤t≤4)，则能大致反映S与t的函数关系的图象是 ( ) 二、填空题(每题3分，共18分) 11.若函数 的图象经过点(3,6),则m= 。 12.写出一个二次函数的表达式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数的表达式可写为 。 13.抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 下列说法：①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数. 的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线 ④在对称轴左侧，y随x的增大而增大。其中，正确的是 。(填序号) 14.两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱可近似看作形状相同的抛物线的一部分。如图，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80m时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇。此时相遇点H距地面20m，喷水口A，B距地面均为4m。若两辆消防车同时后退10m，两条水柱的形状及喷水口A′，B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 m。 15.如图，抛物线C₁的表达式为 将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A，B，连结AB，则△OAB的面积为 。 16.已知点A(1,yA),B(0,yB),C(-1, yC)是抛物线 上三个点，若抛物线与x轴至多只有一个交点，则 的最小值是 。 三、解答题(共72分) 17.(6分)已知抛物线 经过点A(3，0)和点B(4，3)，求抛物线的函数表达式和顶点坐标。 18.(6分)已知二次函数 (1)将函数 化为 的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标。 (2)在平面直角坐标系中，设抛物线 与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积。 19.(8分)二次函数 和 在同一平面直角坐标系中的图象如图。若OB=OA，BC=DC，且点B，C的横坐标分别为1，3，求这两个函数的表达式。 20.(8分)一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线。当球飞行的水平距离为6m时，球到达最高点，此时球离地面3m。已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系。 (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)。 (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处? 21.(10分)如图为一个五边形的空地ABCDE,AB∥CD,BC∥DE,∠C=90°,已知AB=4m,BC=10m,CD=14m,DE=5m,准备在五边形中设计一个矩形的休闲亭MNPQ,剩下部分设计绿植。设计要求NP∥CD,PQ∥BC,矩形MNPQ到五边形ABCDE三边AB,BC,CD的距离相等,都等于x(m),延长QM交AE于点H,MH=1m。 (1)五边形ABCDE的面积为 m²。 (2)设矩形MNPQ的面积为y(m²)，求y关于x的函数表达式。 (3)若矩形MNPQ休闲亭的造价为每平方米0.5万元，剩下部分绿植的造价为每平方米0.1万元，求总造价的最大值。 22.(10分)【发现问题】某景观公园内有一喷泉，垂直于地面安装一根柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下。爱思考的小敏发现，如果设与喷水柱子的水平距离为 dm，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为 hm，h与d的数量变化有一定规律。 【提出问题】h与d之间有怎样的函数关系? 【分析问题】小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据： d(m) … 0 1 2 3 4 … h(m) … 2 2 ... 【解决问题】 (1)在如图1所示的平面直角坐标系中，根据已知数据描点，并用平滑曲线连结。 (2)结合表中所给数据和所画出的图象，验证前面的抛物线形状的判断，并求出h与d之间的函数表达式。 (3)公园工作人员想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶儿童巴士能从喷泉最高点的正下方通过。如果儿童巴士宽度为2.4m，车顶到地面的高度为1.6m，为了避免儿童巴士被淋到，车顶到水柱的垂直距离不小于0.6m，问：儿童巴士能否顺利通过?请说明理由。 (4)如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在地面上的落点到护栏的距离不小于1m，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏。(结果保留π) 23.(12分)已知二次函数 (b为常数)。 (1)该函数图象与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(-1，0)。 ①求二次函数的表达式和点B的坐标。 ②当y=7时，求自变量x的值。 (2)对于一切实数x，若函数值y>t总成立，求t的取值范围(用含b的代数式表示)。 (3)当m<y<n时(其中m,n为实数,m<n),自变量x的取值范围是-3<x<-1,求n和b的值以及m的取值范围。 24.(12分)已知m,n是方程. 的两个实数根，且m<n，抛物线 经过点A(m,0),B(0,n)。 (1)求这个抛物线的函数表达式。 (2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积。 (3)设P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标。 1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 【解析】∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 又∵1-0<3-1,∴当x=3时，函数取得最大值， 故选D。6. D 7. D 【 解 析 】联立 解得 ∴直线y=-x-6与抛物线的交点为(1,-7),(-4,-2)。 抛物线开口向下，对称轴为直线x=-2,顶点为(-2,2)。当y=2时,-x-6=2,解得x ∴-8<x₁<-4, 故选D。 8. A 【解析】令y=0,则 解得. ∴B(3,0)。由题意得B₁(3,m), ，函数图象的对称轴为直线 ∵点.B₂,B₃在二次函数图象上且纵坐标相同， ∴n=1。故选A。 9. C 【解析】当y=-3a时, ∵a是常数,a<0,∴解得 ∵A(m,y₁)和B(2m,y₂)两点 都在直 线 y=-3a 的上方 , 解得 4am>4am²-8am。∴ ∵a<0,m>0,∴am<0。∴3m>4,1解得 故选C。 10. C 11.\frac{1}{2}12. y=-(x-1)²+3((答案不唯一) 13.①③④ 14.19 【解析】由题意得A(-40,4),B(40,4),H(0，20)，设抛物线的函数表达式为 将A(-40,4)代入,得1600a+20=4,解得 ∵消防车同时后退10m，∴新抛物线表达式分别为 和y= (x-10)\frac{0}{10},}当x=0时,y=19。 ∴H'距地面19m。 【解析】由题意得，图形G的对称轴为直线y=x。设直线y=x与抛物线 在第一象限的交点为M，∴把OM绕点O顺时针旋转45°得到OB，如图。联立 解得 ∴点M的坐标为 即 由轴对称得OA=OB。 ∴△OAB的面积为 16.3 【解析】∵抛物线. 与x轴至多只有一个交点， 即 又∵a>0,∴4a-c≤0,即c≥4a。把点A(1,yA),B(0,yB),C(-1, yc)代入. 得,yA=a+4a+c=5a+c,yB=c, yc=a-4a+c=-3a+c, 当c=4a时,其值最小， 的最小值为 17.把 A(3,0),B(4,3)代入 得 解得 ∴抛物线的函数表达式为 ∴顶点坐标为(2,-1)。 该函数图象顶点B的坐标为(2,-5)。 (2)如图。令x=0,y=-1,∴C(0,-1)。 ∵B(2,-5),∴A(2,0)。 19.∵两个抛物线一个开口向上，一个开口向下，∴a<0,a+1>0。∴抛物线y₁对应的图象经过点A,B,抛物线y₂对应的图象经过点B,C,D。∵OB=OA,∴二次函数. 的对称轴为y轴。 解得b=0。∵BC=DC,∴二次函数. 的顶点为C。∵点C的横坐标为3，、 解得 ∵点B的横坐标为1， 解得 20.(1)∵8-6=2,∴抛物线的顶点坐标为(2,3)。设抛物线的函数表达式为 把点A(8,0)代入,得:36a+3=0,解得 ∴抛物线的函数表达式为 当x=0时,y ∴球不能被射进球门。 (2)设小明带球向正后方移动 am，则移动后的抛物线表达式为 把点(0,2.25)代入，得 解得a=-5(舍去)或a=1，∴当时他应该带球向正后方移动1m射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处。 21.(1)五边形 ABCDE 的面积为 14)×(10-5)=70+45=115(m²)。故答案为115。 (2)由题意得PQ=(10-2x),MQ=(3+x),∴y= (3)设总造价为w(万元)。由题意可得w=115× 当x=1时,w最大值=24.3。∴总造价的最大值为24.3万元。 22.(1)如图。 (2)由(1)得该函数是二次函数。由(1,2)和(3,2)得，抛物线的对称轴为直线d=2。∵当d=2时, 抛物线顶点为∴(2. )。设二次函数的表达式为 把(o, )。代入,得4a+ 解得 (3)儿童巴士不能顺利通过。理由如下：当d=2- 2.4÷2=0.8时, ∵1.6+0.6=2.2(m),2.2>1.89,∴儿童巴士不能顺利通过。 (4)当h=0时, 解得d=-1(舍去)或d=5,∴护栏围成圆的半径为5+1=6(m)。 ∴公园至少需要准备护栏2×6×π=12π(m)。 23.(1)①∵二次函数 过点A(-1,0),∴1-b-5=0,解得b=-4。∴二次函数的表达式为 令y=0,则 解得x=-1或x=5。∴B(5,0)。 ②令 解得x=6或x=-2。 (2)∵y=x²+ bx-5=(x+b>2)°-5- ,∴当 时,y有最小值-5-b 。∵对于一切实数x，函数y>t总成立， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ∵当m<y<n时(其中m，n为实数，m<n)，自变量x的取值范围是-3<x<-1，∴直线y=n与抛物线的两个交点为(-3,n),(-1,n),直线y=m在抛物线的下方。 ∵(-3,n),(-1,n)关于对称轴对称, ∴b=4。 ∴n=(-1+ 当x=-2时,y有最小值-9,∴m<-9。 24.(1)解方程 得 由m<n,有/m=1,n=5。∴点A,B分别为A(1,0),B(0,5)。将A(1,0),B(0,5)分别代入 得 解这个方程组得 ∴抛物线的函数表达式为 (2)由 令y=0,得 解这个方程，得 ∴点C的坐标为(-5,0)。由顶点坐标公式计算,得点D(-2,9)。过点D作x轴的垂线交x轴于点M，则 (3)设点P的坐标为(a,0)。∵线段BC过B,C两点,∴BC所在的直线方程为y=x+5,则PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)。PH与抛物线. 4x+5的交点坐标为 由题意，得 即 解这个方程，得 或a=-5(舍去)。②EH=EP,即 解这个方程，得 或a=-5(舍去)。点P的坐标为(-3.0)=或()。 学科网（北京）股份有限公司 $