精品解析：上海市交通大学附属中学2026届高三上学期开学考试数学试题

26届交大附中高三第一学期开学数学试卷 2025.9 一､填空题 1. 已知集合，，则__________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 3. 已知函数在处的导数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 4. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 5. 若，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】列出分式不等式求解. 【详解】由题意得，所以， 所以或. 故答案为：或. 6. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用余弦的二倍角公式计算即可. 【详解】由，则. 故答案为：. 7. 在中，，，点满足，，则_____ 【答案】2 【解析】 【分析】根据余弦定理进行求解即可. 【详解】设，则， 在中，由余弦定理可知：， 在中，由余弦定理可知：， 因为， 所以， 舍去， 故答案为：2 8. 直线的倾斜角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】化一般式为斜截式，结合斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小. 【详解】由直线化为斜截式得，该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，即. 故答案为： 9. 若展开式系数之和为32，则展开式中含项的系数为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】由题意求出，利用二项展开式的通项即可求得答案. 【详解】由题意，，解得， 则的展开式的通项为：， 使，解得. 则展开式中含项的系数为. 故答案为：15. 10. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得基本事件的总数，以及这5个不同的数的中位数为5的基本事件的个数，再利用古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件的总数为， 又由这5个数的中位数是5的基本事件为， 所以这5个不同的数的中位数为5的概率为. 故答案为：. 11. 已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】以为圆心的圆与l相切于点P，，所以由点到直线的距离求出，由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可求出的值． 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以， 故答案为：． 12. 已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出所有函数的个数，再求出增函数的个数，利用古典概型的概率公式可求对应的概率. 【详解】若函数的定义域为，值域为， 则不同的函数的个数为， 其中增函数共有3个： （1）； （2）； （3）； 故所求概率为， 故答案为：. 二､单选题 13. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面. 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 14. 甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率. 甲 乙 丙 丁 甲 ： 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 ： 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 ： 0.5 丁 0.2 0.6 0.5 ： 那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（ ） A. 0.21 B. 0.15 C. 0.105 D. 0.045 【答案】D 【解析】 【分析】根据表中数据，结合相互独立事件的概率乘法公式处理即可. 【详解】分析表中数据，可得： 甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3； 丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5； 甲、丙比赛甲获胜的概率是0.3. 根据相互独立事件的概率乘法公式，甲得冠军、丙得亚军的概率为：0.3×0.5×0.3=0.045. 故选：D 15. 已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】∵数列{an}和{bn}均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足，则 . 所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，为整数. 故选C. 16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 三､解答题 17. 如图所示，在矩形中，，，为的中点，沿将△翻折，使二面角为直二面角． （1）求证：； （2）求与平面所成角的大小； （3）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质，即可证明直线面，再由线面垂直证明线线垂直即可； （2）过作垂直于,则即为所求，利用几何关系即可求得角度； （3）根据（1）（2）所得，作出二面角的平面角，再利用几何关系求解即可. 【小问1详解】 在矩形中，因为为中点， 故可得，在中，由勾股定理可得：； 同理，在中，可得：， 故在中，满足，故可得：； 又二面角为直二面角，且面面, 又面，，故可得面； 又面，故可得. 【小问2详解】 取中点为，连接，如下图所示： 因为为中点，故可得； 又二面角为直二面角，且面面， 面，且，故面， 则即为所求与面所成角. 在中，， 故可得，又， 故. 即与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 过作的垂线交的延长线于，垂足为，连接. 由（2）可知：面，面，故可得， 又面，故面， 又面，故，又， 故即为所求二面角的平面角. 由（2）可知：，故可得； 由（1）可知：，又，故可得， 在△中，，故可得， 在△中，. 故二面角的正切值为. 18. 如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处. （1）根据条件具体写出关于的函数表达式； （2）在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？ 【答案】（1）； （2）10分钟． 【解析】 【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式； （2）解不等式后可得． 【小问1详解】 中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； 【小问2详解】 ，， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m． 19. 某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完. （1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，）的函数解析式； （2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 频数 3 4 6 6 7 4 假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差； （3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由. 【答案】（1），；（2）平均数为（元），方差为；（3）一定要停止，理由见解析 【解析】 【分析】（1）当天需求量时，当天的利润，当天需求量时，当天的利润，由此能求出当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式. （2）由题意，利用平均数和方差的公式，即可求出这30天的日利润的平均数和方差. （3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.推导出连续10天的日需求量都不超过10个，由此说明一定要停止这种面包的生产. 【详解】（1）由题意可知，当天需求量时，当天的利润， 当天需求量时，当天的利润. 故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为:，. （2）由题意可得： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 日利润 54 57 60 60 60 60 频数 3 4 6 6 7 4 所以这30天的日利润的平均数为（元）， 方差为. （3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下： 由， 可得， 所以（，，），所以， 由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产. 【点睛】本题主要考查了函数解析式、平均数、方差的求法，考查函数性质、平均数、方差公式等基础知识综合应用，考查运算求解能力. 20. 已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 【小问1详解】 由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． 【小问3详解】 法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 21. 已知椭圆的上焦点为，左顶点为，是抛物线上一点，直线与抛物线相切于点． （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）设，直线与椭圆相交于两点，且线段中点的横坐标相等，求的最小值； （3）设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点；若同时也是椭圆在点处的切线，求的所有可能值． 【答案】（1） （2） （3）的所有可能值为2． 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意求得椭圆与直线的方程，将直线与椭圆联立方程求得线段的中点横坐标为，根据题意联立等式求解即可； （3）根据题意求得，将点代入椭圆根据直线与椭圆相切得或0，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的上焦点为，所以， 由题意，，解得，故的方程为； 【小问2详解】 当时，．故椭圆的方程为． 求导得函数图象在点处的切线方程为，即直线的方程为． 联立直线与椭圆的方程得． 从而线段的中点（若存在）横坐标为． 由题意，．故． 经检验，此时，方程（＊）有两个相异实根．故为所求最小值． 【小问3详解】 由题意可得，抛物线的方程可以看成向上或向下平移个单位长度（向上平移，否则向下平移）， 所以抛物线的准线为，即的纵坐标为．由（2）得直线的方程为． 故．代入椭圆的方程，得． 又因为直线与椭圆相切，联立二者方程并令判别式为0，解得． 代入，得，故， 解得或0．因，故不合要求．从而，相应地， 综上，的所有可能值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26届交大附中高三第一学期开学数学试卷 2025.9 一､填空题 1. 已知集合，，则__________________ 2. 函数的单调递增区间是______． 3. 已知函数在处的导数，则________． 4. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 5. 若，则实数的取值范围是______. 6. 已知，则__________. 7. 在中，，，点满足，，则_____ 8. 直线的倾斜角为__________． 9. 若展开式系数之和为32，则展开式中含项的系数为_________． 10. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率是________． 11. 已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则_________． 12. 已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是__________． 二､单选题 13. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 14. 甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率. 甲 乙 丙 丁 甲 ： 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 ： 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 ： 0.5 丁 0.2 0.6 0.5 ： 那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（ ） A. 0.21 B. 0.15 C. 0.105 D. 0.045 15. 已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 三､解答题 17. 如图所示，在矩形中，，，为的中点，沿将△翻折，使二面角为直二面角． （1）求证：； （2）求与平面所成角的大小； （3）求二面角的正切值． 18. 如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处. （1）根据条件具体写出关于的函数表达式； （2）在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？ 19. 某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完. （1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，）的函数解析式； （2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 频数 3 4 6 6 7 4 假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差； （3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由. 20. 已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 21. 已知椭圆的上焦点为，左顶点为，是抛物线上一点，直线与抛物线相切于点． （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）设，直线与椭圆相交于两点，且线段中点的横坐标相等，求的最小值； （3）设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点；若同时也是椭圆在点处的切线，求的所有可能值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $