4.4.1 对数函数的概念 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦对数函数的概念及定义域，通过梳理定义、辨析标准形式、求解参数及定义域问题，搭建从概念理解到应用的学习支架，衔接指数函数知识，引导学生逐步掌握核心内容。 特色在于分层跟踪训练设计，基础题巩固概念，能力题提升综合应用，拓展题激发探究。典例精析结合方法总结，培养数学抽象和数学运算核心素养，实际应用案例增强数学建模意识，助力学生深度学习。

4.4对数函数 4.4.1对数函数的概念 【学习目标】 ①理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型； ②会求简单的对数型函数的定义域； ③通过实例体会对数函数的概念及应用，提升数学抽象及数学运算的核心素养. 【学习重点】 掌握对数函数的定义，能依据定义识别对数函数、求解对数型函数的定义域 【学习难点】 准确辨析对数函数标准形式，会处理含参数对数函数问题与复合对数函数的定义域求解 一、核心知识梳理（必背必会） 对数函数：一般地，函数（，且）叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 二、典例精析 题型1对数函数概念的理解及应用 例1．判断下列函数是不是对数函数，并说明理由. (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 思路分析：判断一个函数是否为对数函数，关键是严格对照对数函数的定义：形如（且，）的函数才是对数函数，要从底数、真数、系数、常数项等多个维度逐一核对每个函数是否符合该形式. 规范解答： （1）对于： 将其变形为，它不符合对数函数系数为1的形式，所以不是对数函数； （2）对于： 该函数是对数函数经过向上平移2个单位得到的，多了常数项2，不符合对数函数的标准形式，所以不是对数函数； （3）对于： 一是系数为8，不为1；二是真数是，不是xx，不满足对数函数的定义，所以不是对数函数； （4）对于（，且）： 对数函数要求底数是大于0且不等于1的常数，这里底数是自变量，不符合对数函数底数为常数的要求，所以不是对数函数； （5）对于： 完全符合对数函数（且）的形式，所以是对数函数. 方法总结 判断一个函数是否为对数函数，要紧扣定义，从以下几个要点逐一排查： （1）系数：函数的系数必须为1； （2）底数：底数是大于0且不等于1的常数； （3）真数：真数只能是自变量xx，不能是关于xx的其他表达式； （4）结构：不能含有常数项或其他附加项，必须是纯粹的形式. 例2.（1）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 答案：C 思路分析：根据对数函数的定义，列出符合条件的参数满足的关系式求解. 规范解答： 函数是对数函数，且， 解可得或，． 方法总结 解决此类确定对数函数中参数值的问题，需紧扣对数函数的定义： （1）确保对数函数前面的系数为1，得到关于参数的方程； （2）保证底数满足a>0a>0且a≠1a=1，对解方程得到的结果进行筛选； （3）最终得到符合对数函数定义的参数值，注意舍去不符合条件的解 （2）已知函数是对数函数，且，则_______ 思路分析：先设出对数函数的标准形式（且），再将已知的函数值​代入解析式，求出底数的值，得到解析式，最后将​代入求解. 规范解答： 因为是对数函数，所以设（，且）， 所以，可化为，所以，即. 所以， 方法总结 解决此类已知对数函数特定函数值求其他函数值的问题，步骤如下： （1）设标准解析式：根据对数函数的定义，设出形如（且）的函数解析式； （2）求底数参数：将已知的函数值代入解析式，通过对数与指数的互化关系求出底数aa的值； （3）计算目标函数值：将目标自变量代入确定后的函数解析式，利用对数的运算性质化简计算，得出结果 题型2求对数型函数的定义域 例3．求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 思路分析：对于对数函数，需要满足；对于根式函数，需要满足；对于分式函数，需要满足，根据这些性质分别求解每个函数的定义域. 规范解答： （1）由题意得，解得， 故函数定义域为. （2）由题意得，解得， 综合得函数定义域为. （3）由题意得，解得， 故函数定义域为. （4）由题意得，解得， 故函数定义域为. （5）由题意得，解得， 故函数定义域为. 方法总结 求复合型函数定义域，需遵循以下步骤： （1）拆分限制条件：根据函数中包含的对数、根式、分式等结构，分别列出对应的限制条件： ①对数函数：真数>0，底数>0且≠1； ②偶次根式：被开方数≥0； ③分式：分母≠0。 （2）求解不等式组：分别解每个不等式，再取所有不等式解集的交集，得到函数的定义域。 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 答案：C 解析：因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 2．已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 答案：B 解析：因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 3．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 答案：B 解析：形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：，根据分式函数和对数函数的性质， 可得，解得，即，B正确. 5．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（   ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．76 答案：C 解析：由于，所以， 依题意，则，则， 由，所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为74次． 故选：C． 6．已知函数，则________． 答案： 解析：因为，则，故. 故答案为：. 7．若函数为对数函数，则______． 答案：2 解析：因为函数为对数函数， 所以，且，则（舍去）或． 故答案为：2 8．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 解析：（1）对于函数，有，即，解得且， 故函数的定义域为. （2）对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数的图象过定点，函数也经过点，则的值为（    ） A．9 B．3 C． D． 答案：D 解析：当时，，所以函数过定点， 将代入中，得，解得. 故选：D. 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 答案：A 解析：因为函数的定义域为，在函数中，要使函数有意义， 则，即，解得，所以函数的定义域为. 11．已知函数是对数函数，则__________． 答案： 解析：已知函数是对数函数，则，且，， 解方程得， ，且， ， ，故， ． 故答案为：． 12．若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 答案： 解析：依题意得，对任意的，都有恒成立， 所以，故得，即对任意的恒成立， 则，即，解得， 故实数的取值范围是． 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 本节课我们学习了对数函数的概念，明确了对数函数（且）的标准形式，判断对数函数要紧扣系数为1、底数为大于0且不等于1的常数、真数为自变量x这三个核心条件；通过例题练习，学会利用定义求解对数函数中的参数；求解对数型函数定义域时，要综合对数真数大于 0、偶次根式被开方数非负、分式分母不为零等限制条件，列不等式组取交集得到结果。同时接触了对数函数的简单实际应用，要注意解题中对参数范围进行检验取舍，避免出现增解. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4对数函数 4.4.1对数函数的概念 【学习目标】 ①理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型； ②会求简单的对数型函数的定义域； ③通过实例体会对数函数的概念及应用，提升数学抽象及数学运算的核心素养. 【学习重点】 掌握对数函数的定义，能依据定义识别对数函数、求解对数型函数的定义域 【学习难点】 准确辨析对数函数标准形式，会处理含参数对数函数问题与复合对数函数的定义域求解 一、核心知识梳理（必背必会） 对数函数：一般地，函数________（，且）叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 二、典例精析 题型1对数函数概念的理解及应用 例1．判断下列函数是不是对数函数，并说明理由. (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 方法总结 判断一个函数是否为对数函数，要紧扣定义，从以下几个要点逐一排查： （1）系数：函数的系数必须为1； （2）底数：底数是大于0且不等于1的常数； （3）真数：真数只能是自变量xx，不能是关于xx的其他表达式； （4）结构：不能含有常数项或其他附加项，必须是纯粹的形式. 例2.（1）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 答案：C 方法总结 解决此类确定对数函数中参数值的问题，需紧扣对数函数的定义： （1）确保对数函数前面的系数为1，得到关于参数的方程； （2）保证底数满足a>0a>0且a≠1a=1，对解方程得到的结果进行筛选； （3）最终得到符合对数函数定义的参数值，注意舍去不符合条件的解 （2）已知函数是对数函数，且，则_______ 方法总结 解决此类已知对数函数特定函数值求其他函数值的问题，步骤如下： （1）设标准解析式：根据对数函数的定义，设出形如（且）的函数解析式； （2）求底数参数：将已知的函数值代入解析式，通过对数与指数的互化关系求出底数aa的值； （3）计算目标函数值：将目标自变量代入确定后的函数解析式，利用对数的运算性质化简计算，得出结果 题型2求对数型函数的定义域 例3．求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 方法总结 求复合型函数定义域，需遵循以下步骤： （1）拆分限制条件：根据函数中包含的对数、根式、分式等结构，分别列出对应的限制条件： ①对数函数：真数>0，底数>0且≠1； ②偶次根式：被开方数≥0； ③分式：分母≠0。 （2）求解不等式组：分别解每个不等式，再取所有不等式解集的交集，得到函数的定义域。 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 2．已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 3．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（   ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．76 6．已知函数，则________． 7．若函数为对数函数，则______． 8．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数的图象过定点，函数也经过点，则的值为（    ） A．9 B．3 C． D． 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数是对数函数，则__________． 12．若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 本节课我们学习了对数函数的概念，明确了对数函数（且）的标准形式，判断对数函数要紧扣系数为1、底数为大于0且不等于1的常数、真数为自变量x这三个核心条件；通过例题练习，学会利用定义求解对数函数中的参数；求解对数型函数定义域时，要综合对数真数大于 0、偶次根式被开方数非负、分式分母不为零等限制条件，列不等式组取交集得到结果。同时接触了对数函数的简单实际应用，要注意解题中对参数范围进行检验取舍，避免出现增解. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $