5.2 三角函数概念 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“三角函数的概念”，涵盖定义、象限符号、三角函数线、诱导公式及同角关系等核心知识点。课堂导入从任意角终边坐标切入，衔接角的概念，通过定义构建几何到代数的学习支架，帮助学生理解概念形成过程。 资料特色在于例题与变式题结合，覆盖选择、填空、解答等题型强化应用。注重三角函数线字母顺序和符号规则等细节，培养严谨数学思维。同角关系“知一求二”训练逻辑推理，诱导公式结合常用角值表，提升数学语言表达能力，助力核心素养发展。

5.2 三角函数的概念 【知识点归纳】 1、定义： 设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，． 2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 3、三角函数线：，，．Pv x y A O M T 注意： 三角函数中字母顺序不可颠倒； 与坐标轴方向一致为正，否则为负；在x轴，y轴时正切线不存在. 4、诱导公式 （1）常用角的三角函数值 角度制 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度制 sin cos tan （2） 诱导公式公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等． sinα＋k·2π＝sin α， cosα＋k·2π＝cos α， tanα＋k·2π＝tan α，其中k∈Z. 5.同角三角函数关系 （1） 平方关系： 商数关系： （2） sinα·cosα、sinα+cosα、sinα-cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号 【典型例题】 例1．（填空题）（1）已知角的终边经过点，则________ 【答案】-2 【解析】由题意，得. （2）已知角α的终边在直线上，则＝ 【答案】 【解析】在直线上任取点， 所以，所以 【变式1】（单选题）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，角的终边上有一点，可得， 根据三角函数的定义，可得，，所以.故选：C 例2（单选题）（1）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 【答案】A 【解析】依题意，，解得.故选：A （2）已知角的终边经过点，且，则 ． 【答案】-24 【解析】因为，且角的终边经过点，所以，解得． 【变式2】（单选题）已知角的终边经过点，且，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】由余弦函数定义可得，所以，解得.故选：D 例3（单选题）在中，，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】在中，，所以，所以， 所以点所在象限为第二象限.故选：B 【变式3】（单选题）在下列三角函数值中，为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，故C错误. 对于D，因为，所以，故D正确,故选： 例4．（单选题）已知，，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】由可知，是第一或第三象限角， 由可知，是第二或第三象限角， 所以是第三象限角.故选：C 【变式4】（单选题）若且，则的终边在所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上， 因为，则α的终边在第二、三象限或轴负半轴上， 因此，的终边所在象限为第三象限.故选：C. 例5（单选题）已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知圆的半径为1，点位于第二象限，且， 则点的纵坐标为，横坐标为.故选：A. 【变式5】（单选题）单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三角函数定义可知，所以.故选：A 例6（单选题）（1）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C （2）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 【变式6】（单选题）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 【练习】(1-7单选题) 1. （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】；故选：B 2．“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】求出且时所在象限，再根据充分必要条件的概念判断． 【解析】因为且，由任意角的三角函数可知，为第四象限角， 所以“且”是“为第三象限角”的既不充分也不必要条件，故选：D. 3．已知是第二象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由是第二象限角，可得，即可得答案. 【解析】解：因为是第二象限角，所以，所以在第三象限.故选：C. 4.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以 ， 又因为， 所以 .故选：. 5.已知是锐角三角形的一个内角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系得出关于、的方程组，解之即可. 【解析】因为为锐角三角形的一个内角，则，， 由同角三角函数的基本关系得，解得，. 6.若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据同角三角函数基本关系计算. 【解析】 7.点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的最小正角为， 由任意角的三角函数的定义可得，的坐标为，即 8.（多选）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意角的终边经过点，且， 可知，解得，故A正确，B错误； 所以角的终边经过点，所以，故C正确，D错误.故选：AC. 9.（多选题）已知，则函数的值可能为（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】BD 【解析】是第一象限角时，， 是第二象限角时，， 是第三象限角时，， 是第四象限角时，，故选：BD． 10.（填空题）若，，则______.（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再代入求值. 【解析】由，，得， 所以. 故答案为： 11.已知，并且，则______. 【答案】 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，结合求出这两个量的值，即可得解. 【解析】因为，则，， 由已知条件可得，解得， 因此，. 12．（解答题）已知，且有意义． (1)试判断角所在的象限； (2)若角的终边与单位圆相交于点，求的值及的值． 【答案】(1)第四象限；(2)， 【解析】（1）∵，∴，① 由有意义，∴，②，由①②得，角在第四象限； （2）∵点在单位圆上，∴，解得， 又是第四象限角，即，∴ ，由三角函数定义知． 13.（解答题）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用的展开式，结合已知条件列方程，筛选出符合范围的的值. （2）借助立方和公式将变形，代入与的值计算. （3）先通过完全平方公式求出，再用平方差公式变形，代入相关值求解. 【解析】（1）因为， 且， 所以，解得或， 又，所以. 所以. （2） . （3）. 因为，所以，即为第二象限角. 所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 三角函数的概念 【知识点归纳】 1、定义： 设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，． 2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 3、三角函数线：，，．Pv x y A O M T 注意： 三角函数中字母顺序不可颠倒； 与坐标轴方向一致为正，否则为负；在x轴，y轴时正切线不存在. 4、诱导公式 （1）常用角的三角函数值 角度制 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度制 sin cos tan （2） 诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等． sinα＋k·2π＝sin α， cosα＋k·2π＝cos α， tanα＋k·2π＝tan α，其中k∈Z. 5.同角三角函数关系 （1） 平方关系： 商数关系： （2） sinα·cosα、sinα+cosα、sinα-cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号 【典型例题】 例1.（单选题）（1）（    ） A． B． C． D． （2）（    ） A． B． C． D． 【变式1】（单选题）（    ） A． B． C． D． 例2．（填空题）（1）已知角的终边经过点，则________ （2）已知角α的终边在直线上，则＝ 【变式2】（单选题）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 例3.（单选题）（1）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． （2）已知角的终边经过点，且，则 ． 【变式3】（单选题）已知角的终边经过点，且，则（    ） A．3 B．4 C． D． 例4（单选题）在中，，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4】（单选题）在下列三角函数值中，为负数的是（    ） A． B． C． D． 例5．（单选题）已知，，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式5】（单选题）若且，则的终边在所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例6.（单选题）已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（单选题）单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【练习】(1-7单选题) 1. （    ） A． B． C． D． 2．“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知是第二象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.已知，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知是锐角三角形的一个内角，若，则（   ） A． B． C． D． 6.若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 7.点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8.（多选题）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 9.（多选题）已知，则函数的值可能为（    ） A． B． C．3 D．1 10.（填空题）若，，则______.（用含的式子表示） 11.（填空题）已知，并且，求的值 12．（解答题）已知，且有意义． (1)试判断角所在的象限； (2)若角的终边与单位圆相交于点，求的值及的值． 13.（解答题）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $