第18讲导数与函数的单调性、极值、最值（知识清单+8典例精讲+7方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数的单调性、极值、最值核心考点，按“单调性判定—极值求解—最值应用”逻辑梳理知识清单，通过8类典例精讲、7大方法技巧及分层训练，构建“考点梳理—方法指导—真题演练”教学流程，帮助学生系统突破含参讨论、极值判定等高考难点。 资料创新采用“解题大招+错题复盘”策略，如含参单调性讨论按“二次项系数—判别式—根的大小”顺序分类，培养学生逻辑推理与数学思维，设置基础、拔高、错题三层训练，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生导数综合题应考能力。

第18讲导数与函数的单调性、极值、最值 （知识清单+8典例精讲+7方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 利用 判断单调区间，极值判定： 且两侧导数变号 解答题 12分 函数单调性辨析、极值点个数判断、区间最值与导数综合应用 单选、多选、解答题 5分/6分/12分 含参数函数单调性分类讨论，利用极值、最值求解参数范围 解答题 12分 综合考查单调区间求解、极值判定、闭区间最值比较 解答题 12分 极值点正误辨析，单调性结合最值求解函数值域与不等式问题 多选、解答题 6分/12分 单峰函数极值、最值快速求解，利用单调性比较函数值大小 多选、解答题 6分/12分 导数讨论单调性，结合极值点分析函数零点个数问题 多选、填空题 6分/5分 单调性比大小、极值最值综合，含参函数单调性分类讨论 解答题 12分 极值点判定、单调区间求解、导数最值的实际综合应用 多选、解答题 6分/12分 含参复杂函数单调性讨论，极值存在性判断与最值求解 多选、填空、解答题 6分/5分/12分 【知识点01】函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f'(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 【例1】判断函数 的导数符号与单调性。 解析：求导： 当 时，，函数单调递增； 当 时，，函数单调递减； 当 时，，函数单调递增。 【知识点02】利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f'(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 【例2】求函数 的单调区间。 解析：定义域： 求导： 令 ，得 （舍去负根） 当 时，，函数单调递减； 当 时，，函数单调递增。 【知识点03】函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【例3】求函数 的极值。 解析：定义域： 令 ，得 ：左增右减，，为极大值； ：左减右增，，为极小值。 【知识点04】函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【例4】求函数 在区间 上的最值。 解析：，在 内驻点 极值： 端点值： 对比得： 最大值 最小值 【题型一】用导数判断或证明已知函数的单调性 【例1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过，确定是最小的，然后通过变换，，构造函数，利用导数求解函数的单调性，从而确定的大小，从而得到答案. 【详解】，，， 又，，令，则， 当时，，单调递减， 所以，即， 所以，所以，所以， 又，．所以，所以，故A正确. 【变式1】（2026·贵州毕节·三模）已知函数（且），若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据导数判断单调性，先利用基本不等式求的最小值，再估算的范围，以及确定的数值范围，得到三个自变量的大小关系，进而结合单调性判断的大小关系. 【详解】， 因此是偶函数，故. 当时， 对任意，，， 因此对恒成立，在上单调递增. ， 而，因此 ， 即， 结合在上单调递增可得. 【变式2】（多选）（2024·河北衡水·模拟预测）下列函数在定义域上为增函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，得所以在上是增函数，故A正确. 由，则，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数，故B错误. 由，，在定义域上是增函数，故C正确. 由，得，定义域为，当时，，当时，，在定义域内不是增函数，故D错误． 【变式3】（2026·四川凉山·二模）已知，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用，，将转化为的函数，利用导数分析其单调性，得到其取值范围. 【详解】由，，得，所以. . 令，则. 因为，所以，所以，即， 即恒成立，所以是减函数. 所以. 所以的取值范围为. 【题型二】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【例1】（2025·陕西榆林·模拟预测）在一个电路中，流过的电荷量（单位：C）关于时间（单位：）的函数关系式为.记时流过的电荷量为时流过的电荷量为，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对函数求导，判断单调性，进而可判断各选项. 【详解】对函数求导得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，C正确，D错误. 若，则的大小关系不确定，错误. 故选：C. 【变式1】（多选）（2026·浙江·三模）已知a，x，，，，则（    ） A．当时， B．存在实数a，使得 C．对任意，都有 D．当时， 【答案】ABD 【分析】对于A，利用指数不等式的解法求解即可；对于B，当时，．即可判断；对于C，设，结合导数研究单调性即可判断；对于D，根据，即可判断,利用，即可判断。 【详解】对于选项A，当时，，所以，选项A正确． 对于选项B，当时，．选项B正确． 对于选项C，由题意，设，则． ，则． 故，当时，单调递减，． 故使，故选项C错误. 对于选项D由题意：，因为，所以， 另一方面：，因为， 即，所以，选项D正确， 【变式2】（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 【答案】/ 【分析】利用函数单调性与导数的关系可得出函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. 【变式3】（2025·河南鹤壁·模拟预测）设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)，； (2)的单调递增区间为,；单调递减区间为. 【分析】（1）求得，根据二次函数对称性，以及，即可求得； （2）根据（1）中所求解析式，判断的正负，即可判断原函数单调性，从而求得单调区间. 【详解】（1）因，故． 因为的图象关于直线对称，即，解得． 又由于，即，解得； 故. （2）由知，． 令，即，解得． 当时，，故在上为增函数； 当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数． 综上所述，的单调递增区间为,；单调递减区间为. 【题型三】由函数在区间上的单调性求参数 【例3】（2025·河南·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在上单调递减可知在上恒成立，进而利用二次函数的性质求解即可. 【详解】由题知在上恒成立，所以，得. 故选：D. 【变式1】（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【详解】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式2】（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出. 【详解】函数的定义域为，， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，令，则， 因为，所以，则， 故在上单调递减， 故，故的取值范围为. 【变式3】（2024·重庆·三模）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到，再利用导数的几何意义求解； （2）求导，根据在区间上单调递增，由恒成立求解. 【详解】（1）解：当时，， ， 则，， 所以当时，在点处的切线方程为 （2）， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 因为当时，， 所以，即a的取值范围是 【题型四】利用导数求函数(含参)的单调区间 【例4】（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】(1)利用导数的几何意义求解； (2)利用导函数研究函数的单调性. 【详解】（1）当时，， ，则， 又，∴曲线在点处的切线方程为． （2），， ，，由，得，由，得． 的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式1】（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数 求导，再将 代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解 的值； （2）先求出函数 的定义域和导函数 ，然后根据判别式 的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，从而确定函数 的单调性. 【详解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分析单调性可得； （2）结合（1）的结果，转化问题为，再构造函数，求导后分离常数再结合换元法和基本不等式可得. 【详解】（1）， ①当时，恒成立，故在上递增； ②当时，在上递增，在上递减； ③当时，在上递减． （2）因为在定义域内单调递减，所以． 不妨设，那么有， 于是不等式等价于，， 设，则，即在上递减， 故对恒成立，也即对恒成立， 令，则，故， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 【变式3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若，，求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间是，递减区间是（其中是的唯一零点）. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出并验证即得. （2）求出函数及导数，探讨的单调性及零点，进而求出的单调区间. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线与轴平行， 得，， 此时，直线方程为，该直线与轴平行，符合题意， 所以. （2）当时，的定义域为， 求导得， 函数在上都递减， 则函数在上递减， 而， 因此存在，使得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是（其中是的唯一零点）. 【题型五】求已知函数的极值 【例5】（2025·河南·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】求导得，令，求得极值点，进而可得的单调性，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，，， 令，解得或1， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当，取得极小值，且. 故选：C 【变式1】（2026·河北张家口·三模）若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数可得，利用导数求得极大值点即可求解. 【详解】易知，则，等价于，，则. 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以. 【变式2】（2026·广东·模拟预测）函数的极小值为____________． 【答案】 【分析】求导得，令，结合的单调性可求函数的极小值. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 所以， 令， 因为， 所以为单调递增函数，为单调递减函数， 所以为单调递增函数， 又 ， 当时，，所以， 当时，，， 所以函数在处取得极小值，极小值为. 【变式3】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）求出函数的导数，再按分类求出导函数值为正为负的解集即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得，由，得或； 由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【题型六】根据极值点求参数 【例6】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据极值的概念可知，再解方程即可． 【详解】解：，又在处取得极值， ，解得或， 经检验符合题意， 时，单调递增无极值，故舍去， 则． 【变式1】（2026·贵州·模拟预测）（多选）已知函数在处取得极小值，则的取值可能是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】求出，再按照、以及的零点大小分类讨论函数的单调性即可. 【详解】. 当时，，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意； 当时，令，得或， 当时，，则得或；得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点，符合题意； 当时，在上单调递增，没有极值； 当时，，则得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不符合题意， 综上，，则符合题意的有ABC选项. 故选：ABC 【变式2】（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则______． 【答案】2 【分析】对函数求导并结合求参数值，注意验证是否为极值点. 【详解】由题设，且，即， 此时且，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，满足题设，故. 【变式3】（2025·四川乐山·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)若在区间有唯一极值点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由切点在切线方程上，求出，又利用切线的斜率建立方程得到，即解出. （2）由（1）知，利用导数研究的单调性即可求解. 【详解】（1）因为切点在切线方程上，所以. 对于，可变形为， 则曲线在点处的切线的斜率是， 而，. 综上可得，，. （2）由（1）知，，令，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 若在区间有唯一极值点， 则或， 解得或， 则的取值范围为. 【题型七】由导数求函数的最值(不含参) 【例7】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，进而可求得最大值. 【详解】，， ，，即， 在上单调递增，. 故选：D. 【变式1】（2026·湖北恩施·二模）已知，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】通过三角恒等变换，引入中间变量将和分别转化为关于的函数，并根据的范围确定的取值范围，再利用导数求函数的单调性，进而求出值域，从而判断各选项的正误. 【详解】， 令，则， 即，则， ， 因为，所以，则 设，则， 时，即在上单调递减， 当时，， 当时，，所以 故有最小值，无最大值；故A正确B错误； ， 设，则， 时，即在上单调递增， 当时，， 当时，，所以 则有最大值，无最小值，故D正确C错误. 【变式2】（2026·湖北襄阳·二模）已知曲线，，，，当轴时，________． 【答案】 【分析】设，则，构造函数，利用导函数研究其最小值. 【详解】当轴时，设，则，则 记，则， 故当时，，则在区间上单调递减； 当时，，则在区间上单调递增； 故有，故 【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若是的两个极值点，且，求a的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最小值； （2）求导，得到是方程的两个正根，从而得到不等式，求出，由韦达定理整理得到，结合函数单调性得到，求出答案. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． （2）由题意知，函数的定义域为，求导得， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个正根， 则有 解得． 且， 而， 所以， 又，下面证明在上单调递增，理由如下： 在上恒成立，故在上单调递增， 易知，即， 所以， 故． 【题型八】函数单调性、极值与最值的综合应用 【例8】已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察选项的式子的特点，构造函数，对函数进行求导，判断单调区间，根据增减性判断函数值的大小，化简变换后即可选出结果. 【详解】先判断，及，大小，即及的大小，设函数， 则，当时，在内单减；当时， 在内单增.因此，故， 故，，所以， 故选：A. 【变式1】（2024·江苏南通·二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用极值点大于0，求出的范围． 【详解】函数， 可得， 若，此时单调递增，无极值点， 故，令，解得， 当时，，当时，， 故是的极值点 由于函数有大于零的极值点， ，解得． 故选：C． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设，可得，，构造函数，根据导数判断函数的单调性与最值. 【详解】设，即，，，则， 所以，，则， 令， 则， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，取得最小值，为， 即取得最小值，为， 故答案为：. 【变式3】（2025·四川成都·模拟预测）已知. (1)若是的极值点，求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； (2)设的最小值为. （i）求的解析式； （ii）证明：的最大值为2. 【答案】(1)，是的极小值点 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）对求导，根据算出值，再分析导数正负确定单调性，进而得到极小值点. （2）（i）先对求导，令导数为求出极值点，根据导数正负判断单调性，得出表达式. （ii）要证最大值为，先注意到，将问题转化为证明，构造函数，对其求导判断单调性，得出，从而证明不等式，得出最大值为. 【详解】（1）由，且，得. 当时，在上单调递减，上单调递增， 所以是的极小值点. （2）（i），令，得，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以． （ii）证明：注意到，要证的最大值为2，只需证明， 即证，即，等价于. 设函数， 则，令，得，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以， ，即得证. 综上所述，的最大值为2. 【解题大招01】函数单调性快速判定技巧 核心技巧：求导后不复杂解方程，优先因式分解、判断导函数正负，快速划分单调区间，规避多余计算。 核心结论 避错口诀：定义域优先、因式再判号、零点分区间、正负定增减。 【例1】求函数 的单调区间。 解析：定义域： 求导： 令 ，得 当 时，，函数单调递增； 当 时，，函数单调递减。 【解题大招02】含参函数单调性分类讨论技巧 核心思路：导函数为一次、二次型含参函数，优先讨论参数范围、零点大小、开口方向，按顺序分类，不重不漏。 讨论顺序：二次项系数→判别式→根的大小。 【例2】讨论函数 （）的单调性。 解析：定义域：， 1. 当 时， 在 上恒增， 时 ； 函数在 单调递增，在 单调递减； 2. 对任意实数 ，单调区间统一结论： 递减区间：，递增区间：。 【解题大招03】极值快速判定秒杀技巧 核心技巧：驻点 只是必要条件，左右导数变号才是极值核心，不变号一定无极值。 秒杀结论 左正右负 极大值点，左负右正 极小值点 【例3】求 的极值。 解析： 令 ，得 ：左正右负，，极大值； ：左负右正，，极小值。 【解题大招04】真假极值点辨析技巧 易错点： 不一定是极值点，若导数在该点左右符号不变，为假极值点。 典型反例技巧：幂函数、三次函数常出现驻点非极值点情况。 【例4】判断 是否存在极值。 解析：，令 得 左右导数均为正，符号不变，无极值。 【解题大招05】闭区间最值万能求解技巧 万能步骤：不求复杂单调性，只找区间内极值点+计算端点值，三者对比直接出最值。 核心公式 【例5】求 在 上的最值。 解析：区间内极值点： 极值： 端点值： 对比得：最大值 ，最小值 【解题大招06】开区间最值快速判断技巧 核心结论：开区间 函数无端点值，只有极值，无绝对最值；若函数单调，则无最值。 【例6】判断 在 内是否存在最值。 解析：，函数在区间内单调递减 开区间无端点，无最大值、无最小值。 【解题大招07】导数比大小秒杀技巧（利用单调性） 比较多个函数值大小，无需代入计算，求导判断单调性，利用自变量大小直接比函数值。 若函数单调递增： 若函数单调递减： 【例7】已知 ，比较 的大小。 解析：， 时 ，单调递增 由 ，得 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数单调性可得，进一步分析各选项即可. 【详解】依题意，得：， 令，， 则， 在上单调递增； 又，得， 又，即， 又在上单调递增， ，， 即， ∴，故A正确，B不正确； 取得：， 此时，故C、D都不正确. 故选：A 2．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 3．（2026·福建漳州·二模）已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 二、多选题 4．（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 【答案】BC 【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值与最值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于AB选项，由图象可知，当或时，，当时，. 所以，函数的减区间为、，增区间为， 所以，函数只有两个极值点，A错， 函数的单调增区间为，B对； 对于CD选项，函数的最大值可能为，C对， 因为函数在上单调递减，则，故函数的最小值不可能为，D错. 故选：BC. 三、填空题 5．（2026·河北承德·一模）已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 由题可知恒成立，故， 当时，，当且仅当时等号成立，故． 6．（2026·江苏扬州·三模）函数在区间上的最大值为_________． 【答案】2 【详解】∵ ，， ∴ 对求导得. 令，解得，，均属于区间. 分别计算在区间端点和极值点处的函数值： 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 比较上述函数值大小：， ∴ 函数在区间上的最大值为. 四、解答题 7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性,得到函数的极小值点，求得极小值. （2）把所解不等式移项后,构造函数,利用导数研究函数的单调性，利用单调性解得不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时,,在时为减函数； 当时,,在时为增函数， 所以的极小值为，无极大值. （2）不等式， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，且，由，解得， 所以原不等式的解集为． 8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)若，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)函数的单调增区间为，单调减区间为. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导，利用导函数的正负确定函数单调区间即可. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 由题设知函数的图象在点处的切线斜率为，即， 所以； （2）由于的定义域为， 当时，单调增；当单调减， 故函数的单调增区间为，单调减区间为. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用给定单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数是增函数，得，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在R上单调递增，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 2．（2026·江苏·三模）设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的正负得出的单调性，再结合是偶函数得出的对称轴，由函数图像的对称性即可求解． 【详解】由得，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又是偶函数，所以的对称轴为直线， 因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以． 二、多选题 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ） A．的图象为中心对称图形 B．时，函数在上单调递减 C．对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值 D．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A：计算可得，即的图象关于点中心对称；对B：求导后计算即可得；对C：分及进行讨论，计算值域即可得；对D：求导后结合极值点定义计算即可得. 【详解】对A：， 故的图象关于点中心对称，故A正确； 对B：， 当时，， 故函数在上单调递增，故B错误； 对C：由， 则当时，，无最大、最小值； 当时，，则，无最大、最小值； 综上可得，对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值，故C正确； 对D：，令，则， 若有两个不同的极值点，则有两个不同根， 当时，，，无实数根，不符； 当时，若，则，不符，则， 令，， 有，则为偶函数， 当时，，则由对勾函数性质可知单调递增， 又单调递增，故单调递减，且， 故，则； 故有两个不同的极值点的充要条件为，故D正确. 三、填空题 4．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 【答案】 【分析】先设切点为，根据切线方程可得，进而可得，再构造函数，用导数求得函数的最大值可得. 【详解】设切点为，对曲线求导得：. 因为切线斜率为，因此：且， 所以，即，得. 再将代入得：，即， 两边取对数整理得： . 所以， 令，求导： ， 令，得，即， 因为在上单调递减， 所以当时，；当时，. 因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以是函数的极大值点也是最大值点， 因此. 故的最大值为. 四、解答题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·河南南阳·模拟预测）下列函数中，满足“，当时，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数则单调递减，利用函数图象，导数，依次判断函数的单调性即可. 【详解】“，当时，都有等价于，当时，都有.令则单调递减. 对于A，，，故该函数在上不单调，不满足题意； 对于B, ，该函数在上不单调，不满足题意； 对于C，，在上单调递增，在上单调递增，又，故在上单调递增，不满足题意； 对于D，， 时，，在上单调递减； 时，显然在上单调递减；又， 故在上单调递减，满足题意. 故选：D 二、多选题 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知，若，则下列选项正确的是（     ） A．有两个极值点 B．当时， C．当时， D．对任意的实数， 【答案】ABD 【分析】对于A选项，通过求导可得存在两个极值点；对于B、C、D选项，结合集合的定义，即在时的取值范围，结合其单调性和极值点进行判断即可. 【详解】，，，，解得或， 当时，，当时，，当时，， 所以为其极小值点，为其极大值点，故A正确； 当时，，，即为在时的取值范围， 又当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取得最大值， 又，当时，， 所以，故B正确； 当时，，，即， 当时，，单调递减，所以时，取得最大值， 又时，，所以， 所以，故C错误； 对任意的实数，当时， 若，的最大值为，此时； 若，的最大值为，此时； 综上所述，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 3．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的两个极值点为，记，．点在的图象上，满足均垂直于轴，设点的横坐标为． （1）______； （2）若四边形为菱形，则______． 【答案】 0 【分析】因为函数有两个极值点，所以先对求导，利用导数与极值点的关系，得到是导数为0的方程的两根，再结合韦达定理得到的值,因为垂直于y轴，所以A和B、C和D的纵坐标相等，由此建立关于m、n的方程，继而推导出与的关系，即可求得第一空答案；若四边形为菱形，则，建立关于a的方程求解，可求得第二空答案. 【详解】由，得， 由题意可知为的两实数根，则判别式，即， 则，且， 均垂直于轴，则，即， 整理得，而，故， 结合，得，解得或（此时重合，舍）， 同理可得，故； 由上面分析可知， 此时的中点为，即， 的中点为，即， 即，的中点重合，四边形为平行四边形； 若四边形为菱形，则垂直，则； ， 由于，则， 则， ， 由，得，结合，解得. 四、解答题 4．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数，其中． (1)证明：当时，仅有一个零点． (2)设的三个零点为，，（）． （ⅰ）求的取值范围． （ⅱ）证明：为定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）把代入，利用函数零点的意义变形并构造函数，再利用导数确定函数单调性即可推理得证. （2）（i）利用函数零点的意义变形并构造函数，求出导数，按，分类讨论确定单调性，结合零点存在性定理判断即可； （ii）由（i）的信息确定，，的取值范围，再确定，关系即可推理得证. 【详解】（1）证明：当时，，定义域为. 由，得. 令，则， 则函数在上单调递增， 而，即为的唯一零点. 故当时，仅有一个零点. （2）（ⅰ）函数的定义域为， 由，得. 令，依题意，则函数有3个零点， ，方程，. 当，即时，， 函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当，即时，方程的两个根为，. 又，则， 又，则. 当，时，；当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 则，而， 因此，， 又当时，，当时，， 则函数在，，各有一个零点，故函数有3个零点， 即函数有3个零点. 综上，. （ⅱ）由（ⅰ）得，，，. 而 ， 故，而，所以. 则也是函数的一个零点， 又，函数只有3个零点，所以， 所以， 因此，为定值. 5．（2026·湖北黄冈·二模）设，． (1)若，讨论的单调性； (2)若，求的最大值（用表示）； (3)若有三个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) (3) 【分析】（1）对求导后分析导数符号即可得的单调性； （2）将的解析式变为，令，通过分析单调性得到使得，再利用得到，且可在处取得等号，从而最大值即为，也可以通过分析的单调性，得到其只有一个零点，进而得到在取得最大值并结合求出最大值表达式； （3）依题意有三个变号零点，从而得到有三个变号零点，首先判断出时是减函数，至多有一个零点，不合题意，再令，求得其极小值为，根据和分类讨论得到的符号变化，进而得到的单调性，最后分析的零点情况. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，则. 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以当时，，即；当时，，即， 故在上单调递增，在上单调递减． （2）解法一：， 令，若，则在上单调递增， 又时，；当时，， 所以，使得，接下来证明一个不等式： 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值也即最小值， 所以恒成立，当且仅当时等号成立， 于是有（当且仅当时等号成立）， 所以，时等号成立，所以． 解法二：， 令， 若，则，在上递减， 又时，，， 所以在上存在唯一的()使得， 当时，，即，递增； 当时，，即，递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，且有， 即，变形得. 设，则，在上递增， 又，所以，得， 故． （3）依题意有三个变号零点， 令，则有三个变号零点， . 若，，在上递减，至多有一个零点，不合题意； 因此，令， 则， 故当或时，，递增； 当或时，，递减， 在取得极小值，又，当时，， ①若，此时，即在上恒成立， 所以在上递减，至多有一个零点，不合题意； ②若，即，解得， 又，且，所以， 故在上有且只有两个零点，设为，如图所示， 当或时，，即，递减； 当时，，即，递增， 因为，所以，， ， 令，，则，在上递增， 所以，从而， ，由知， 设，，则， 所以在上递增，有，即， 又时，，时，，如图所示， 所以有三个变号零点， 综上，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲导数与函数的单调性、极值、最值 （知识清单+8典例精讲+7方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 利用 判断单调区间，极值判定： 且两侧导数变号 解答题 12分 函数单调性辨析、极值点个数判断、区间最值与导数综合应用 单选、多选、解答题 5分/6分/12分 含参数函数单调性分类讨论，利用极值、最值求解参数范围 解答题 12分 综合考查单调区间求解、极值判定、闭区间最值比较 解答题 12分 极值点正误辨析，单调性结合最值求解函数值域与不等式问题 多选、解答题 6分/12分 单峰函数极值、最值快速求解，利用单调性比较函数值大小 多选、解答题 6分/12分 导数讨论单调性，结合极值点分析函数零点个数问题 多选、填空题 6分/5分 单调性比大小、极值最值综合，含参函数单调性分类讨论 解答题 12分 极值点判定、单调区间求解、导数最值的实际综合应用 多选、解答题 6分/12分 含参复杂函数单调性讨论，极值存在性判断与最值求解 多选、填空、解答题 6分/5分/12分 【知识点01】函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f'(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 【例1】判断函数 的导数符号与单调性。 【知识点02】利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f'(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 【例2】求函数 的单调区间。 【知识点03】函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【例3】求函数 的极值。 【知识点04】函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【例4】求函数 在区间 上的最值。 【题型一】用导数判断或证明已知函数的单调性 【例1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·贵州毕节·三模）已知函数（且），若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2024·河北衡水·模拟预测）下列函数在定义域上为增函数的有（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·四川凉山·二模）已知，则的取值范围为__________. 【题型二】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【例1】（2025·陕西榆林·模拟预测）在一个电路中，流过的电荷量（单位：C）关于时间（单位：）的函数关系式为.记时流过的电荷量为时流过的电荷量为，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（多选）（2026·浙江·三模）已知a，x，，，，则（    ） A．当时， B．存在实数a，使得 C．对任意，都有 D．当时， 【变式2】（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 【变式3】（2025·河南鹤壁·模拟预测）设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【题型三】由函数在区间上的单调性求参数 【例3】（2025·河南·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 【变式3】（2024·重庆·三模）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 【题型四】利用导数求函数(含参)的单调区间 【例4】（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【变式1】（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 【变式3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若，，求的单调区间. 【题型五】求已知函数的极值 【例5】（2025·河南·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【变式1】（2026·河北张家口·三模）若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东·模拟预测）函数的极小值为____________． 【变式3】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 【题型六】根据极值点求参数 【例6】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C． D．3 【变式1】（2026·贵州·模拟预测）（多选）已知函数在处取得极小值，则的取值可能是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【变式2】（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则______． 【变式3】（2025·四川乐山·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)若在区间有唯一极值点，求的取值范围． 【题型七】由导数求函数的最值(不含参) 【例7】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖北恩施·二模）已知，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式2】（2026·湖北襄阳·二模）已知曲线，，，，当轴时，________． 【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若是的两个极值点，且，求a的最大值． 【题型八】函数单调性、极值与最值的综合应用 【例8】已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·江苏南通·二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，且，则的最小值为______． 【变式3】（2025·四川成都·模拟预测）已知. (1)若是的极值点，求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； (2)设的最小值为. （i）求的解析式； （ii）证明：的最大值为2. 【解题大招01】函数单调性快速判定技巧 核心技巧：求导后不复杂解方程，优先因式分解、判断导函数正负，快速划分单调区间，规避多余计算。 核心结论 避错口诀：定义域优先、因式再判号、零点分区间、正负定增减。 【例1】求函数 的单调区间。 【解题大招02】含参函数单调性分类讨论技巧 核心思路：导函数为一次、二次型含参函数，优先讨论参数范围、零点大小、开口方向，按顺序分类，不重不漏。 讨论顺序：二次项系数→判别式→根的大小。 【例2】讨论函数 （）的单调性。 【解题大招03】极值快速判定秒杀技巧 核心技巧：驻点 只是必要条件，左右导数变号才是极值核心，不变号一定无极值。 秒杀结论 左正右负 极大值点，左负右正 极小值点 【例3】求 的极值。 【解题大招04】真假极值点辨析技巧 易错点： 不一定是极值点，若导数在该点左右符号不变，为假极值点。 典型反例技巧：幂函数、三次函数常出现驻点非极值点情况。 【例4】判断 是否存在极值。 【解题大招05】闭区间最值万能求解技巧 万能步骤：不求复杂单调性，只找区间内极值点+计算端点值，三者对比直接出最值。 核心公式 【例5】求 在 上的最值。 【解题大招06】开区间最值快速判断技巧 核心结论：开区间 函数无端点值，只有极值，无绝对最值；若函数单调，则无最值。 【例6】判断 在 内是否存在最值。 【解题大招07】导数比大小秒杀技巧（利用单调性） 比较多个函数值大小，无需代入计算，求导判断单调性，利用自变量大小直接比函数值。 若函数单调递增： 若函数单调递减： 【例7】已知 ，比较 的大小。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·福建漳州·二模）已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 4．（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 三、填空题 5．（2026·河北承德·一模）已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 6．（2026·江苏扬州·三模）函数在区间上的最大值为_________． 四、解答题 7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求不等式的解集． 8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)若，求函数的单调区间. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏·三模）设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ） A．的图象为中心对称图形 B．时，函数在上单调递减 C．对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值 D．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 三、填空题 4．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 四、解答题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·河南南阳·模拟预测）下列函数中，满足“，当时，都有”的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知，若，则下列选项正确的是（     ） A．有两个极值点 B．当时， C．当时， D．对任意的实数， 三、填空题 3．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的两个极值点为，记，．点在的图象上，满足均垂直于轴，设点的横坐标为． （1）______； （2）若四边形为菱形，则______． 四、解答题 4．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数，其中． (1)证明：当时，仅有一个零点． (2)设的三个零点为，，（）． （ⅰ）求的取值范围． （ⅱ）证明：为定值． 5．（2026·湖北黄冈·二模）设，． (1)若，讨论的单调性； (2)若，求的最大值（用表示）； (3)若有三个极值点，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $