25.1 一元二次方程的概念 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 练习聚焦一元二次方程概念，通过基础辨析、变式应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|方程定义、一般形式、解的直接应用|如单选4识别一元二次方程、填空15化为一般形式，夯实抽象能力| |进阶层|解的性质、判别式简单应用|如单选5判别式求参数范围、填空16含参数方程实根条件，培养推理意识| |综合层|概念与代数变形综合应用|如解答20根与参数关系证明及求值，发展创新意识与应用能力|

25.1一元二次方程的概念 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 3．若m是方程的一个根，则的值是（    ） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 4．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 7．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 8．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 9．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 11．将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 12．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 二、填空题 13．方程是关于的一元二次方程，则的值为_______． 14．已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 15．把方程化为一般形式为_______，其中一次项系数为_______． 16．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是___________． 17．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 三、解答题 18．当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 19．已知是方程的一个根，求代数式的值． 20．已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． (1)求证：； (2)求的值． 21．已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 《25.1一元二次方程的概念》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B B B A D D C 题号 11 12 答案 C C 1．C 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：是方程的解， ， ，故A错误； 由题意得，该方程有两个实数根， ， ∴，故B错误； 的两个解为，， ， ，故C正确，D错误． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 3．C 【分析】根据m是方程的一个根得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 4．B 【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程解答即可，掌握定义也是解题关键． 【详解】解：A．，未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B．，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； C．，不是整式方程，即不是一元二次方程，不符合题意； D．，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 5．B 【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数的限制，再利用方程无实数根时判别式小于0列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴ ∵方程没有实数根， ∴判别式， 整理得 解得． ∴k的取值范围是． 6．B 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 7．A 【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】A．为一元二次方程，故选项符合题意； B．是二元一次方程，故选项不符合题意； C．，整理得到，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D．含有分式，不是一元二次方程，故选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，形如的方程叫做一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 8．D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 9．D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：D 10．C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 11．C 【分析】对原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理得到符合要求的一般形式即可． 【详解】解：∵原方程为 先去括号，可得 将所有项移到等号左侧，移项变号得 合并同类项得． 12．C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 利用一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，先利用多项式乘以多项式的法则进行等式左边展开，再把方程化成一般形式，进而写出一次项系数即可． 【详解】解：， ， ， 故一次项系数为； 故答案为：， 16．且 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 17． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 18．当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，， 【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当时，方程是一元二次方程，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 关于的方程是一元二次方程， ， 即当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，． 19．5 【分析】本题考查了分式的除法，一元二次方程的解． 先化简代数式，再利用方程条件求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵m是方程的根， ∴， 即， ∴原式的值为5． 20．(1) 证明：∵， ∴， 是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ． ． 由①+②，得， ． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式得到方程根的表达式，结合的表达式及的条件，确定的表达式，再通过两式相加证明． （2）通过将、的表达式相乘得到，结合、为正整数且互不相等的条件确定、的值，最后代入方程求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， ①②，得， ． 均为正整数，， ． 把代入，得． ． 21． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．把方程的解代入原方程，可得，所求代数式可化简为，再将代入其中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， 原式 ． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $