25.1 一元二次方程的概念 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习围绕“一元二次方程的概念”，通过★☆☆、★★☆、★★★三级分层设计，实现从基础概念辨析到综合应用建模的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|一元二次方程定义、一般形式、系数识别、根的概念|以选择题为主，直接考查概念辨析，如方程判断、系数提取，强化符号意识| |★★☆|参数取值范围、根的应用、规律探究|选择与填空结合，如含参方程分类、根的代入计算，培养推理意识| |★★★|综合分类讨论、实际问题建模|解答题形式，如参数方程类型判断、矩形花园面积建模，发展模型意识|

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 难度：★☆☆ 1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x² + 3y = 5 B. x³ - 2x = 0 C. 2x² - 5x + 1 = 0 D. + x = 3 2. 一元二次方程 3x² - 2x - 5 = 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，-2，-5 B. 3，2，-5 C. -3，-2，5 D. 3，-2，5 3. 将方程 (x-1)(x+2) = 4 化为一般形式，正确的是（ ） A. x² + x - 2 = 4 B. x² + x - 6 = 0 C. x² - x - 6 = 0 D. x² + x + 2 = 0 4. 若 x = 2 是方程 x² + ax - 6 = 0 的一个根，则 a 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 5. 关于 x 的方程 (m-1)x² + 2x - 3 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） A. m ≠ 0 B. m ≠ 1 C. m > 1 D. m < 1 6. 方程 2x² - 3x + 1 = 0 中的二次项、一次项和常数项分别是（ ） A. 2x²，-3x，1 B. 2x²，-3x，0 C. -2x²，3x，1 D. 2x²，3x，-1 7. 下列方程：① x² = 0；② x² - 3x + 1 = 0；③ 2x² - = 3；④ x(x-2) = x² + 1；⑤ (a²+1)x² + x = 0（a为常数）。其中是一元二次方程的有（ ）个。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 将方程 2x(x-3) = 3(x+1) 化为一般形式 ax² + bx + c = 0 后，a + b + c 的值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 9. 若关于 x 的方程 (k+2)x|k| + 3x - 1 = 0 是一元二次方程，则 k 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. ±2 D. 0 10. 已知关于 x 的方程 (m-2)x² + (m+1)x - 3 = 0（m 为常数），下列说法正确的是（ ） A. 当 m = 0 时，方程化为 -2x² + x - 3 = 0，二次项系数为 -2 B. 当 m = 2 时，该方程不再是一元二次方程 C. 将方程化为一般形式 ax² + bx + c = 0 后，有 a = m-2，b = m+1，c = -3 D. 对任意实数 m，该方程都是一元二次方程 11. 将方程 3x² - 7 = 2x² + x 化为一般形式，正确的是（ ） A. x² + x - 7 = 0 B. x² - x - 7 = 0 C. x² + x + 7 = 0 D. x² - x + 7 = 0 12. 观察下列表格： x -3 -2 -1 0 1 2 3 x² - x - 2 10 4 0 -2 -2 0 4 根据表格可知，方程 x² - x - 2 = 0 的根为（ ） A. x = -1 B. x = 2 C. x₁ = -1，x₂ = 2 D. x₁ = 1，x₂ = -2 13. 定义：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）满足 a + b + c = 0，则称此方程为“和谐方程”。 (1) 判断方程 2x² - 3x + 1 = 0 是否为“和谐方程"，并说明理由。 (2) 若方程 (m-2)x² + (2m+1)x + (m+3) = 0 是“和谐方程”，求 m 的值。 (3) 试举一个“和谐方程”的例子，并验证它必有一个根为 x = 1。 14. 阅读材料： 我国古代称未知数为"元"，《九章算术》中已有"方程"一章。下面五道关于 x 的方程： ① 3x² + 2x - 5 = 0 ② x³ - 2x = 0 ③ + x = 1 ④ (x+1)(x-2) = x² - 3 ⑤ (a²+1)x² + x - 1 = 0（a 为常数） (1) 上述方程中，是一元二次方程的有（ ）个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (2) 将其中的一元二次方程化为一般形式 ax² + bx + c = 0，并写出各项系数。 (3) 在⑤中，当 a 取何值时，方程仍是一元二次方程？请说明理由。 难度：★★☆ 15. 若关于 x 的方程 (m-2)xm²-2 + (2m+1)x - 3 = 0 是一元二次方程，则 m 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. ±2 D. 无法确定 16. 方程 (a-1)x² + x + a² - 1 = 0 的一个根为 0，则 a 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 1 或 -1 D. 0 17. 判断下列关于 x 的方程，其中是一元二次方程的有（ ） ① (k²+1)x² + 3x - 2 = 0（k 为常数） ② x(x+3) = x² + 1 ③ 4x² - 3x = ④ x³ - 4x + 1 = 0 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 18. 将下列方程化为一般形式 ax² + bx + c = 0，并填空： （1）3x² - 7 = 2x² + x → 一般形式：______________，a = ____，b = ____，c = ____ （2）x(x+3) = 2x² - 5 → 一般形式：______________，a = ____，b = ____，c = ____ （3）5x² - 2x = 3x² - x + 4 → 一般形式：______________，a = ____，b = ____，c = ____ 19. 若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）满足 4a - 2b + c = 0，则方程必有一个根为______。 20. 将方程 (2x+1)(x-3) = x² + 5 化为一般形式后，二次项系数与常数项的差为______。 21. 若 m 是方程 x² - 2025x + 1 = 0 的一个根，则 m² - 2025m + 2026 的值为______。 22. 已知关于 x 的方程 (k²-1)x² + (k+1)x - 2 = 0，当 k______时，它是一元二次方程；当 k______时，它是一元一次方程。 23. 已知关于 x 的方程 x² - 4x + m = 0（m 为常数），且 x = 2 是该方程的一个根。将 x = 2 代入方程，可得 m = ____。 24. 观察下列方程的变化规律，并填空： 第 1 个方程：x² - x = 0 → 一般形式：x² - x + 0 = 0，a = 1，b = -1，c = 0 第 2 个方程：x² - 2x = 0 → 一般形式：x² - 2x + 0 = 0，a = 1，b = -2，c = 0 第 3 个方程：x² - 3x = 0 → 一般形式：x² - 3x + 0 = 0，a = 1，b = -3，c = 0 第 4 个方程：____________ → 一般形式：_______________________，a = ____，b = ____，c = ____ 根据规律，第 n 个方程的一般形式中，a = ____，b = ____，c = ____。 难度：★★★ 25. 已知关于 x 的方程 (m+1)xm²+1 + (m-2)x - 1 = 0。 (1) 当 m 为何值时，它是一元二次方程？ (2) 当 m 为何值时，它是一元一次方程？ (3) 当 m = 0 时，请判断它属于哪种方程，并写出方程。 26. 若+3+4=0是关于x的一元二次方程，求a和b的值。 27. 某校计划在一块长 30 m、宽 20 m 的长方形空地上修建一个矩形花园，要求四周留有宽度相同的绿化带（绿化带宽度为 x m），花园内部种植面积为 400 m²。 (1)根据题意，列出关于 x 的方程，并化为一元二次方程的一般形式 ax² + bx + c = 0。 (2)指出你所列方程的二次项系数 a、一次项系数 b 和常数项 c，并求 a + b + c 的值。 参考答案 1. C 2. A 3. B 4. A 5. B 6. A 7. B 解析：①②⑤是一元二次方程，③含分母不是整式方程，④化简后为 -3x - 1 = 0 是一次方程。 8. A 9. A 解析：|k|=2 且 k+2≠0，故 k=2 10. B 11. B 解析：3x²-7=2x²+x → 移项：3x²-2x²-x-7=0 → x²-x-7=0，选 B。 12. C 解析：x=-1 和 x=2 时函数值为 0 13. (1) 是，2-3+1=0，满足 a+b+c=0； (2) 由 (m-2)+(2m+1)+(m+3)=0，得 4m+2=0，m = - ； (3) 例如x²-3x+2=0，1-3+2=0，满足；此时 x=1 代入 ax²+bx+c=0 即 a+b+c=0。 14. (1) B 解析：①⑤，共 2 个 (2) 例如 ① 化为 3x²+2x-5=0，a=3，b=2，c=-5；④ 化简：x²-x-2 = x²-3，得 -x+1=0 不是一元二次方程；⑤ 化为 (a²+1)x²+x-1=0，a²+1≠0，故 a 取任意实数都是一元二次方程。 (3) 由于 a²+1 > 0 恒成立，所以 a 取任何实数方程仍是一元二次方程。 15. B 解析：m²-2=2 且 m-2≠0，得 m=±2 且 m≠2，故 m=-2 16. C 17. A 解析：①k²+1≥1≠0，是一元二次方程；②化简：x²+3x=x²+1 → 3x-1=0，是一次方程；③是分式方程，不是整式方程，不属于一元二次方程；④最高次数为3，不是。共 1 个，选 A。 18. (1)x²-x-7=0，a=1，b=-1，c=-7 (2)x²-3x-5=0，a=1，b=-3，c=-5 (3)2x²-x-4=0，a=2，b=-1，c=-4 19. x = -2 解析：4a-2b+c=0 即把 x=-2 代入 ax²+bx+c=0 所得 20. 9 解析：(2x+1)(x-3) = 2x²-6x+x-3 = 2x²-5x-3；方程变为 2x²-5x-3 = x²+5，即 x²-5x-8=0。 二次项系数 1 与常数项 -8 的差为 1-(-8)=9 21. 2025 解析：m²-2025m = -1，故 m²-2025m+2026 = -1+2026 = 2025 22. k ≠ ±1 时是一元二次方程；k = -1 时是一元一次方程 23. m=4 24. 第4个方程：x²-4x=0；一般形式：x²-4x+0=0，a=1，b=-4，c=0 第n个方程：a=1，b=-n，c=0 25. (1) 由 m²+1=2 且 m+1≠0，得 m=±1 且 m≠-1，故 m=1； (2) 要为一元一次方程需 m²+1=1 且 m+1=0 同时成立，无解。 若仅需方程是“关于 x 的一次方程”，则要 m²+1=1 且 m+1≠0，得 m²=0 即 m=0，方程为 -x-1=0； (3) m=0 时方程为 x + x - 1 = 0 即 2x - 1 = 0，是一元一次方程。 26. 解析:根据题意，分情况讨论: ①x2a+6为二次项，3xa+b为一次项时，可得解得 ②x2a+6为二次项，3xa+b为常数项时,可得解得 ③3xa+b为二次项，x2a+6为一次项时，可得解得 ④3xa+b为二次项，x2a+6为常数项时，可得解得 ⑤3xa+b，x2a+6为二次项时，可得解得 所以，或，或，或，或 27. (1)花园长 (30-2x)m，宽 (20-2x)m，面积为 (30-2x)(20-2x)=400 化简：600-60x-40x+4x²=400 → 4x²-100x+200=0，即一般形式：4x²-100x+200=0 (2)a=4，b=-100，c=200，a+b+c=4-100+200=104 学科网（北京）股份有限公司 $