21.2.4 一元二次方程根的判别式 学案 2025--2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“一元二次方程根的判别式”，引导学生掌握Δ=b²-4ac与根的数量关系。导入通过回顾直接开平方法等四种解方程方法，结合矩形绿地面积实际问题，搭建新旧知识联系的学习支架，自然过渡到新课探究。 此导学案注重数学运算规范、逻辑推理严谨和模型观念构建，通过例题解析与分层作业设计，帮助学生理解判别式本质，培养运算能力、推理意识和模型意识，提升解决参数及实际问题的能力。

分课时学案 课题 21.2.4 一元二次方程根的判别式 单元 21 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1.数学运算：熟练准确计算一元二次方程根的判别式，规范运算步骤，规避符号、平方、加减运算错误，提升代数运算的准确性与熟练度。 2. 逻辑推理：经历根的判别式规律的探究过程，理解判别式三种取值与根的数量的对应逻辑，掌握正向判断、反向推理的思维方法，培养严谨的分类讨论推理能力。 3. 模型观念： 建立“系数→判别式→根的情况”的固定数学模型，能快速套用模型判断任意一元二次方程的根，形成系统化解题思维。 重点 1. 掌握判别式三种取值对应的根的情况，能不解方程判断根的个数； 2. 运用判别式解决基础判断与简单参数问题。 难点 1.理解判别式与根的对应规律的本质原理； 2. 区分“两个相等实数根”与“一个实数根”的概念差异； 教学过程 导入新课 【思考】根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何根据方程的特点选用的？ 现在我们来解决问题1：绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m. 求绿地的长和宽. 新知讲解 我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 只有当b2-4ac≥0时，才能直接开平方，得 【想一想】如果b2-4ac<0会怎么样？ 也就是说，只有当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、b、c满足条件b2-4ac≥0时才有实数根. 因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况. (1)当b2-4ac>0时，方程的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根 (2)当b2-4ac=0时，方程 的右边是0，因此方程有两个相等的实数根： (3)当b2-4ac<0时，方程 的右边是是一个负数，而对于任何实数x，方程左边，因此方程没有实数根. 总结归纳 概括： 这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况: 当Δ >0时，方程有两个不相等的实数根; 当Δ =0时，方程有两个相等的实数根; 当Δ <0时，方程没有实数根. 【例7】不解方程，判断下列方程的根的情况. (1)3x2 =5x -2； (2) 4x2 -2x+ =0；(3) 4(y2+1)-y=0. 【试一试】已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根? (3)当k取何值时，方程没有实数根? 巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是( ). A. x2＋1＝0 B.＋2x＝5 C. y＝x2 D. ax2＋2x＋1＝0 2. 若关于x的方程(a－1)x2＋ax＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是_________． 若关于x的方程(m＋1)x|m－1|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝________. 3. 方程2x2＋4x－3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　). A．2，－3，－4 B．2，－4，－3 C．2，－4，3 D．2，4，－3 4. 把方程x(x+1)=5(x-2)化成一般形式ax2+bx+c=0，则a+b+c的值为( ). A. -3 B. 7 C. -5 D. 1 【知识技能类作业】选做题： 5. 关于x的一元二次方程(4-a)x2+a2x=16x+1化为一般形式后不含一次项，则a的值为( ). A. 0 B. ±4 C. 4 D. -4 6. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，则下列结论一定正确的是(　　). A. a＋b＋c＝1 B. a－b＋c＝0 C. a＋b＋c＝0 D. a－b＋c＝1 【综合拓展类作业】 7.已知关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0. (1)当m为何值时，该方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，该方程是一元二次方程？ 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.关于x的方程x2＋mx－2＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述：①当a<0，b＋c>0，a＋c<0时， 方程一定没有实数根；②当a<0，b＋c>0，b－c<0时，方程一定有实数根； ③当a>0，a＋b＋c<0时，方程一定没有实数根； ④当a>0，b＋4a＝0，4a＋2b＋c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是________． 【知识技能类作业】选做题： 3.已知关于x的一元二次方程x2 -mx-n2+mn+1=0，其中m，n满足m -2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( ). A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 4. 已知关于x的一元二次方程c(1-x2)-2bx=a(1+x2)，其中a，b，c 分别为△ABC三边的长，若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状. 【综合拓展类作业】 5.已知关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0. (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若□ABCD的两邻边AB，AD的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，□ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 答案： 引新 【思考】根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何根据方程的特点选用的？ 解一元二次方程主要有四种解法： ①直接开平方法；② 因式分解法；③配方法；④ 公式法 解方程时，优先观察方程形式，能直接开方或因式分解的优先使用（速度最快）；若无法快速分解或开方，则考虑配方法（适合系数简单的方程）或直接套用公式法（适合复杂或通用情况）。 现在我们来解决问题1：绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m. 求绿地的长和宽. x(x + 10) = 900， x2+10x-900=0, 它们都是所列方程的根，但负数根x，不符合题意，应舍去. 取 x + 10 ≈35.4，符合题意. 因此绿地的长约为35.4m，宽约为25.4m. 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1. 一元二次方程x2－5x＋2＝0的根的判别式的值是(　A　). A．33 B．23 C．17 D. 27 2. 已知一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的判别式的值为___-3___，它___<___0(填“＞”“＜”或“＝”)，故这个方程根的情况为没有实数根． 3. 一元二次方程x2＋4x＋5＝0的根的情况是(　A　). A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　D　) A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0 C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0 【知识技能类作业】选做题： 5. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0没有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　A　). 6.已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　D　). A．m≤4 B．m≥4 C．m≥－4且m≠2 D．m≤4且m≠2 【综合拓展类作业】 7. 已知关于x的方程(a－x)2－4(b－x)·(c－x)＝0. (1)求证：此方程必有实数根； 证明：整理方程(a－x)2－4(b－x)(c－x)＝0， 得3x2－(4b＋4c－2a)x＋4bc－a2＝0. Δ＝[－(4b＋4c－2a)]2－12(4bc－a2)＝16b2＋16c2＋16a2－16ab－16bc－16ac＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]． 因为(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，　 所以Δ≥0.所以原方程必有实数根． (2)若a，b，c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根，求证：△ABC为等边三角形． 证明：因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0， 所以a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0， 即a＝b＝c.易知a，b，c均不为0， 所以△ABC为等边三角形． 作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1.关于x的方程x2＋mx－2＝0的根的情况是(　A　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述：①当a<0，b＋c>0，a＋c<0时， 方程一定没有实数根；②当a<0，b＋c>0，b－c<0时，方程一定有实数根； ③当a>0，a＋b＋c<0时，方程一定没有实数根； ④当a>0，b＋4a＝0，4a＋2b＋c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是____②____． 【知识技能类作业】选做题： 3.已知关于x的一元二次方程x2 -mx-n2+mn+1=0，其中m，n满足m -2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( B ). A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 4. 已知关于x的一元二次方程c(1-x2)-2bx=a(1+x2)，其中a，b，c 分别为△ABC三边的长，若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状. 解：原方程可以化为(a+c)x2+2bx+a-c=0，∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=(2b)2- 4(a+c)(a-c)=0，∴a2=b2+c2， ∴△ABC为直角三角形. 【综合拓展类作业】 5.已知关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0. (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； 证明：因为Δ＝(－m)2－4×1×(m－1) ＝m2－4m＋4 ＝(m－2)2≥0， 所以无论m取何值，方程总有两个实数根． (2)若□ABCD的两邻边AB，AD的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，□ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 解：因为四边形ABCD是菱形， 所以AB＝AD，即关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ ＝(m－2)2＝0，所以m＝2，所以原方程变为x2－2x＋1＝0，所以x1＝x2＝1，所以此时菱形的边长为1. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $